Mekanika : USAHA - ENERGI 9/17/2013 Mekanika : USAHA - ENERGI Agustina Widiyani INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA

Konservasi Energi USAHA-ENERGI Pada bab ini akan diperkenalkan konsep: INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA Konservasi Energi Pada bab ini akan diperkenalkan konsep: Energi Potensial Gaya konservatif dan non-konservatif Energi Mekanik Konservasi Energi Mekanik Teorema konservasi energi akan digunakan untuk menyelesaikan berbagai problem. Pada bab sebelumnya, digunakan skalar seperti kerja, energi kinetik, dan energi mekanik daripada vektor. Pendekatan selanjutnya dengan matematika sederhana.

Usaha dan Energi Potensial USAHA-ENERGI INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA 9/17/2013 A B g vo h Usaha dan Energi Potensial Tinjau tomat bermassa m yang ditunjukkan dalam gambar. Tomat dan bumi sebagai sebuah sistem yang akan dipelajari. Tomat dilemparkan ke atas dengan kecepatan awal v0 pada titik A. Dalam aksi terdapat gaya gravitasi yang membuat tomat melambat dan berhenti pada titik B. Kemudian tomat jatuh kembali mencapai titik A. Selama perjalanan dari A ke B dari sistem tomat-bumi, gaya gravitasi 𝐹 𝑔 melakukan kerja negatif 𝑊 1 =−𝑚𝑔ℎ. Energi ditransfer oleh 𝐹 𝑔 ke energi kinetik tomat ke energi potensial gravitasi U. Selama perjalanan dari B ke A, transfer sebaliknya. Kerja yang dilakukan oleh 𝐹 𝑔 adalah positif 𝑊 2 =𝑚𝑔ℎ. Gaya gravitasi mentransfer energi dari energi potensial gravitasi U ke energi kinetik tomat. Perubahan energi potensial didefinisikan sebagai:

INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA USAHA-ENERGI INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA A B k m Tinjau balok bermassa m yang menabrak pegas dengan konstanta pegas k seperti ditunjukkan dalam gambar. Balok dan pegas sebagai sebuah sistem yang akan dipelajari. Balok mempunyai kecepatan awal v0 pada titik A. Pada aksi gaya pegas tersebut, sistem bergerak melambat sampai akhirnya berhenti pada titik B dengan menekan pegas sejauh x. Kemudian balok membalikkan arah gerakan mencapai titik A kembali. Selama perjalanan dari A ke B, gaya pegas 𝐹 𝑠 melakukan usaha negatif W1 = -kx2/2. Energi ditransfer oleh gaya pegas 𝐹 𝑠 dari energi kinetik balok ke energi potensial sistem balok-pegas U. Selama perjalanan dari B ke A, terjadi transfer sebaliknya. Gaya pegas 𝐹 𝑠 melakukan usaha positif W2 = kx2/2. Gaya pegas mentransfer energi potensial sistem balok-pegas U ke energi kinetik balok. Perubahan energi potensial U didefinisikan sebagai:

INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA Gaya Konservatif dan Non-konservatif USAHA-ENERGI INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA Gaya Konservatif dan Non-konservatif Gaya gravitasi dan gaya pegas disebut gaya “konservatif” karena dapat mentransfer energi kinetik sistem ke energi potensial dan sebaliknya. m A B vo fk x d Gesekan dan gaya tarik merupakan gaya “non-konservatif” dengan alasan berikut: Tinjau sistem yang terdiri balok bermassa m dan lantai. Balok bergerak pada arah horisontal dengan kecepatan awal v0 pada titik A. Koefisien gesekan kinetik antara lantai dengan balok adalah μk. Balok akan melambat karena adanya gaya gesek kinetik fk dan berhenti pada titik B dengan perpindahan sejauh d. Selama perjalanan dari titik A ke B, gaya gesek melakukan kerja Wf = - μkmgd. Gaya gesek mentransfer energi dari energi kinetik balok menjadi suatu energi yang disebut energi panas. Transfer energi ini tidak dapat dilakukan sebaliknya. Energi panas tidak dapat dikembalikan menjadi energi kinetik balok oleh gesekan kinetik. Ini adalah ciri dari gaya non-konservatif.

USAHA-ENERGI INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA Lintasan pada Gaya Konservatif Sebuah gaya dikatakan konservatif jika total gaya yang dilakukan partikel selama berjalan dalam suatu lintasan selalu sama dengan nol (lihat gambar b). Seperti berjalan dalam lintasan tertutup pada gambar b, contoh yang lain yaitu sistem tomat-bumi dan sistem balok-pegas: Wnet = Wab,1 + Wba,2 = 0 . Dapat dibuktikan bahwa jika gaya konservatif maka usaha yang dilakukan pada partikel antara dua titik a dan b tidak bergantung pada lintasan. Dari gambar b, Wnet = Wab,1 + Wba,2 = 0  Wab,1 = - Wba,2 (pers 1) Dari gambar a, Wab,2 = - Wba,2 (pers 2) Jika dibandingkan pers 1 dan pers 2 diperoleh:

USAHA-ENERGI INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA Latihan 1:

USAHA-ENERGI INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA Jawaban Latihan 1:

. USAHA-ENERGI Menentukan Nilai Energi Potensial INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA Menentukan Nilai Energi Potensial Gaya konservatif 𝐹 menggerakkan sebuah benda sepanjang sumbu-𝑥 dari titik awal 𝑥 𝑖 ke titik akhir 𝑥 𝑓 . Usaha yang dilakukan gaya 𝐹 terhadap benda: O x . xi xf F(x) Perubahan energi potensial 𝛥𝑈 didefiniskan sebagai: Kemudian ekspresi 𝛥𝑈 menjadi:

. Energi Potensial Gravitasi USAHA-ENERGI INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA Energi Potensial Gravitasi Tinjau sebuah partikel bermassa m yang bergerak secara vertikal sepanjang sumbu-y dari titik 𝑦 𝑖 ke titik 𝑦 𝑓 . Pada waktu yang sama, gaya gravitasi melakukan kerja 𝑊 pada partikel dengan perubahan energi potensial pada sistem partikel-bumi. Hasilnya digunakan untuk menghitung 𝛥𝑈: O y . yi yf mg dy m Misal ditetapkan titik akhir 𝑦 𝑓 menjadi titik “umum” y pada sumbu-y sehingga potensialnya adalah Karena hanya berubah pada potensial, secara fisika ini berarti, sehingga didefinisikan 𝑦 𝑖 dan 𝑈 𝑖 . Untuk memudahkan, dipilih 𝑦 𝑖 =0 dan 𝑈 𝑖 =0, diperoleh:

Usaha Potensial Pegas USAHA-ENERGI INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA Usaha Potensial Pegas Tinjau sistem balok-pegas seperti pada gambar di samping. Balok bergerak dari titik 𝑥 𝑖 ke titik 𝑥 𝑓 . Pada waktu yang sama, gaya pegas melakukan usaha 𝑊 pada balok dengan merubah energi potensial pada sistem balok-pegas dengan besarnya: O (b) xi x (c) xf (a) Misal ditetapkan titik akhir 𝑥 𝑓 menjadi titik “umum” 𝑥 pada sumbu-𝑥 sehingga potensialnya: Karena perubahan hanya pada potensial yang secara fisika berarti sehingga didefinisikan 𝑥 𝑖 dan 𝑈 𝑖 . Untuk memudahkan, dipilih 𝑥 𝑖 =0 dan 𝑈 𝑖 =0, diperoleh:

INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA Konservasi Energi Mekanik USAHA-ENERGI INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA 9/17/2013 Konservasi Energi Mekanik Energi mekanik sistem didefinisikan sebagai penjumlahan energi kinetik dan energi potensial, E𝑚𝑒𝑘=K+𝑈. Anggap sistem terisolasi yaitu tidak ada gaya yang merubah energi sistem. Asumsikan juga seluruh gaya pada sistem adalah konservatif. Ketika gaya internal melakukan kerja 𝑊 pada sebuah benda pada sistem, maka merubah energi kinetik 𝛥𝐾=𝑊 (pers 1). Kerja ini juga merubah energi potensial sistem 𝛥𝑈=−𝑊 (pers 2). Jika pers 1 dan pers 2 dibandingkan, diperoleh: 𝛥𝐾=−𝛥𝑈 → 𝐾 2 − 𝐾 1 =− 𝑈 2 − 𝑈 1 → 𝐾 1 + 𝑈 1 = 𝐾 2 + 𝑈 2 Persamaan ini dikenal sebagai prinsip konservasi energi mekanik. Hal ini dapat diringkas seperti: Untuk sistem yang terisolasi dimana gayanya adalah campuran gaya konservatif dan gaya non-konservatif, maka prinsipnya dalam bentuk berikut: Dimana, 𝑊 𝑛𝑘 didefinisikan sebagai usaha seluruh gaya non-konservatif sistem.

USAHA-ENERGI INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA Contoh prinsip konservasi energi mekanik ditunjukkan dalam gambar disamping. Sistem tsb terdiri dari pendulum bermassa m yang bergerak dalam pengaruh gaya gravitasi. Total energi mekanik pada sistem pendulum-bumi adalah konstan. Seperti ayunan pendulum, total energi E ditransfer kembali dan seterusnya antara energi kinetik K pada pendulum dan energi potensial U pada sistem pendulum-bumi. Anggap bahwa U bernilai nol pada titik terendah pendulum. K bernilai maksimum pada (a) dan U bernilai minimum pada (e).

USAHA-ENERGI INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA Latihan 2: Seorang anak duduk diatas tanah yang tertutup oleh es dan berbentuk setengah bola berjejari R seperti tampak pada gambar di samping. Jika permukaan tanah yang tertutup es tersebut dianggap licin, tentukan posisi dimana anak tidak akan bersentuh dengan permukaan tanah tersebut saat dia bergerak turun ke bawah.

USAHA-ENERGI INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA Jawaban Latihan 2: Pada suatu titik di saat anak tersebut akan terlepas, akan terdapat bahwa gaya normal/kontaknya nol, sehingga yang menjadi gaya sentripetalnya hanyalah komponen gaya berat yang tegak lurus terhadap permukaan sentuh dan diperoleh persamaan berikut: g cos q = v2/R. Sehingga berdasarkan hukum kekekalan energi denganlaju awal adalah nol diperoleh persamaan berikut:

USAHA-ENERGI INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA 9/17/2013 Mencari gaya 𝑭 (𝒙) secara analitik dari energi potensial 𝑼(𝒙) Tinjau sebuah benda yang bergerak sepanjang sumbu-𝑥 yang berpengaruh terhadap gaya 𝐹 dengan energi potensial 𝑈(𝑥) yang diketahui pada semua titik sumbu-𝑥. Benda bergerak pada titik A mendekati titik B. Gaya melakukan usaha pada benda yang diberikan oleh persamaan: Usaha pada gaya yang merubah energi potensial 𝑈 sistem bernilai: Jika dikombinasikan pers 1 dan pers 2 diperoleh: Ambil limit 𝛥𝑥→0 dan persamaan akhir: O x . x + Δx F A B