3. Peubah2 Acak (Random Variables) Mis (, F, P) adalah model peluang suatu percobaan, dan X adalah sebuah fungsi Di sini,  adalah lambang himpunan semua bilangan real yg seringkali dinyatakan sebagai garis bilangan. Lihat Fig. 3.1. Jika B  , fungsi P : F  [0,1] menghitung nilai peluang himpunan Untuk menghitung peluang ini, perhatikan himpunan Dlm ilustrasi B = {x  | x1  x  x2} B A Fig. 3.1  x

Tentu saja agar bisa dihitung peluangnya, harus menjadi anggota lap F, sehingga A adalah sebuah kejadian yg nilai peluangnya sudah terdefinisi. Dalam hal ini, kita bisa mengatakan bahwa Sayangnya, tidak selalu mrpk unsur dari F, shg muncul masalah. Konsep peubah acak memastikan bahwa fungsi balikan (invers) X1 selalu menghasilkan kejadian2 (yang peluangnya bisa dihitung, sebab sudah terdef). Peubah Acak: Fungsi X: Ω yg memetakan semua hasil2 eksperiment (unsur2 kejadian elementer) ξ ke dalam  disebut peubah acak jhj untuk setiap a  , himpunan {ξ  Ω | X(ξ)  a} (di dalam buku2 teks lebih sering ditulis {X  a} atau (X  a)) adalah sebuah kejadian (artinya F). (3-1)

{a < X  b} merupakan suatu kejadian. Dengan kata lain, X adalah peubah acak jika untuk setiap selang B = (, a] atau untuk setiap himpunan yang ditu-runkan dari selang-selang semacam (lewat operasi gabung-an, irisan atau komplemen), himpunan X1(B) F. Koleksi semua subhimpunan B   - disebut lapangan Borel - adl lap- terkecil yg memuat semua selang berbentuk (, a], untuk sembarang a . Jadi apabila X adalah peubah acak, maka untuk setiap bilangan real a adalah sebuah kejadian. Bgm dengan himpunan2 {X = a}, {a X  b}, dsb, apakah mereka juga termasuk kejadian ? Dg asumsi b > a, karena dan adl kejadian2, maka dan = {a < X  b} merupakan suatu kejadian. (3-2)

Jadi untuk setiap n, { } adl suatu kejadian Jadi untuk setiap n, { } adl suatu kejadian. Sbg akibatnya (dan sbg akibat aksioma peluang ke-iv) juga mrpk kejadian yang semuanya bisa dikenai fungsi peluang. Jadi nilai peluang kejadian dlm peubah acak X selalu tergantung pada nilai x. Nyatakan dimana subindeks X dalam (3-4) menyatakan peubah acak sesungguhnya. FX disebut Fungsi Distribusi Kumulatif (FDK) dari peubah acak X. (3-3) (3-4) PILLAI

Dengan kata lain, jika F adl FDK dari X, maka (i) (ii) jika maka dan Fungsi Distribusi Kumulatif: Setiap FDK FX (di sini selanjutnya ditulis F, tanpa ‘X’) adalah fungsi tak pernah turun (nondecreasing), kontinu kanan dan memenuhi Dengan kata lain, jika F adl FDK dari X, maka (i) (ii) jika maka dan (iii) untuk setiap a  , Harus dibuktikan bahwa di (3-4) memenuhi semua sifat2 (3-6). Sesungguhnya, untuk setiap peubah acak X, (3-5) (3-6)

(ii) Jika maka Sbg akibatnya, dan (ii) Jika maka Sbg akibatnya, Karena berakibat maka Ini membuktikan bahwa FDK adalah tak negatif dan juga monoton tak turun. (iii) Misalkan dan perhatikan kejadian Karena (3-7) (3-8) (3-9) (3-10) (3-11)

maka dengan menggunakan sifat2 kejadian ME, diperoleh Tetapi sehingga Jadi Tetapi adl limit kanan untuk a, jadi Dg kata lain, FX adalah kontinu kanan. Ini adl justikfikasi terakhir pemenuhan syarat FX sebagai FDK. (3-12) (3-13) (3-14)

Sifat2 Tambahan sebuah FDK (iv) Jika  a, FX(a) = 0, maka FX(x) = 0, x  a. sebab FX(a) = P{X()  a} = 0 berakibat {X()  a} adl kejadian berpeluang nol padahal jika x  a maka {X()  a}  {X()  a} sehingga (dari ekspresi (3.6)) 0  P{X()  a}  P{X()  a} = 0. (v) karena adl dua kejadian ME. (vi) sebab kejadian dan saling ME, gabungannya sama dengan (3-15) (3-16) (3-17)

(vii) Misalkan dan Dari (3-17), Ini adalah pernyataan Menurut (3-14), FX(a+) (limit dari FX (x) ketika x  a dari kanan) selalu ada dan sama dengan FX(a). Sebaliknya nilai limit kiri FX(a) tidak harus sama dg FX(a). Jadi FX tidak harus kontinu kiri. Pada titik2 tak kontinu dari FX, kedua limit kiri dan kanan berbeda sehingga dari (3-20) berlaku (3-18) (3-19) (3-20) (3-21)

Contoh 3.1: X dirumuskan dengan X() = c,   . Jadi jenis diskontinu di titik x = a dari FX hanyalah jenis loncatan (sebesar FX(a)  FX(a)) yg terjadi pada titik2 di mana (3-21) berlaku. Titik-titik ini membentuk barisan titik-titik diskontinu a1, a2, a3, … yg banyaknya paling banyak terhitung (countable), mungkin berhingga. Contoh 3.1: X dirumuskan dengan X() = c,   . Tentukan FX ! Solusi: Untuk x  c, {X() < x} =  shg FX(x) = 0, jika x  c. Untuk x > c, {X() < x} =  shg FX(x) = 1, jika x > c (Fig.3.2) Contoh 3.2: Mis  = {H, T} adl ruang kejadian dalam percobaan lempar koin dan Y adalah p.a. dengan Y(T) = 0 dan Y(H) = 1. Tentukan FY ! Fig. 3.2

pi = P(X = ai) = FX(a)  FX(a) > 0. Solusi: Utk y < 0, {Y() < y} =  shg FY (y) = 0, jika y < 0. Utk 0  y < 1, {Y() < y} = {T} shg FY(y) = P(T) = 1  p, jika 0  y < 1. Utk y  1, {Y() < y} = {H, T} =  shg FY(y) = P(H) = 1, jika y  1. X disebut p.a. jenis kontinyu jika FDK-nya adalah fungsi kontinyu. Dalam hal ini berlaku a  , FX(a) = FX(a) shg dari (3-21) disimpulkan: P(X = a) = 0. Jika FX konstan, kecuali pada sebanyak hingga titik2 lon-catan, yaitu diskontinyu se-potong2, berjenis tangga (step-type), maka X disebut p.a. jenis diskrit. Jika x = ai, i = 1, 2, 3, … adl salah satu titik diskontinyu FX, maka dari (3-21) pi = P(X = ai) = FX(a)  FX(a) > 0. Fig.3.3 (3-22)

P(Y = 0) = FY(0)  FY(0) = q  0 = q. Dari Fig.3.2, di titik diskontinyu x = c berlaku P(X = c) = FX(c)  FX(c) = 1 sedangkan dari Fig.3.3, di titik diskontinyu y = 0 berlaku P(Y = 0) = FY(0)  FY(0) = q  0 = q. Contoh 3.3: Sebuah koin ideal dilemparkan dua kali dan Z menyatakan banyaknya head yang muncul. Tentukan FZ ! Solusi: Jelas  = {HH, HT, TH, TT} shg menurut premis dalam soal di atas, p.a. Z:    didef sbb (Fig.3.4): Z(HH) = 2  , Z(HT) = Z(TH) = 1  , Z(TT) = 0  . z < 0, {Z() < z} =   FZ(z) = 0, 0  z < 1, {Z() < z} = {TT}  FZ(z) = ¼, 1  z < 2, {Z() < z} = {TT, HT, TH}  FZ(z) = ¾, 2  z, {Z() < z} = {TT, HT, TH, HH} =   FZ(z) = 1.

Dari Fig.3.4, P(Z = 1) = FZ(1)  FZ(1) = ¾  ¼ = ½. Fungsi Peluang Massa (FDM) Turunan fungsi distribusi FX disebut Fungsi Peluang Massa (probability density/mass function) fX dari X. Jadi Karena (ketaksamaan ‘ 0’ adl akibat sifat monoton naik FDK FX ). Fig. 3.4 (3-23) (3-24)

Dg (3-26) sifat pertama FX di ekspresi (3.7): FX(+) = 1, Jadi untuk setiap x  , berlaku f(x)  0. fX kontinyu jika X adl p.a. jenis kontinyu. Tetapi dalam kasus X adl p.a. jenis diskrit, spt pada (3-22), FDK-nya memiliki bentuk umum semacam (Fig. 3.5) di mana xi menyajikan titik2 diskontinyu-lompat FX. Dari Fig. 3.5, fX(x) menyatakan kumpulan massa diskrit, sesuai dengan namanya PDM. Dalam kasus kontinyu, definisi (3-23) memungkinkan penggunaan integral tak tentu, tetapi tak sejati (improper) Dg (3-26) sifat pertama FX di ekspresi (3.7): FX(+) = 1, bisa ditulis sbg Fig. 3.5 (3-25) (3-26) (3-27)

Nama density function (bukan mass function) diilhami oleh ekspresi (3 Nama density function (bukan mass function) diilhami oleh ekspresi (3.27). Lebih jauh, dari (3-26) diperoleh (Fig. 3.6b) Pada Fig 3.6, luas daerah fX(x) di dalam selang buka (x1, x2) adalah visualisasi nilai peluang (3-28). Karena suatu peubah acak sering hanya dinyatakan oleh FDMnya (diskrit atau kontinyu), berikut diberikan beberapa FDM untuk masing-masing kategori (diskrit dan kontinyu). (3-28) Fig. 3.6 (b) (a) PILLAI

Peubah Acak Jenis Kontinyu 1. Distribusi Normal (Gauss): X dikatakan berdistribusi normal atau Gauss, jhj Grafik fungsi ini berbentuk bel yang simetri terhada garis tegak x =  (lengkapnya X, mean dari X). FDM-nya adl Daftar nilai banyak tersedia dan FX tergantung pada parameter  dan  2 (variance dari X). P.a. X yang disajikan melalui (3-29) biasa ditulis dg lambang X  N(,  2) . (3-29) (3-30) Fig. 3.7 O

2. Dist. seragam (uniform) pada [a, b], X  U(a, b) (Fig. 3.8) (3.31) 3. Eksponensial: X  () (Fig. 3.9) (3-32) Fig. 3.9 Fig. 3.8 PILLAI

4. Dist. Gamma: X  G(α, β), α > 0, β > 0, jika (Fig. 3.10) Hanya utk α = n bulat, 5. Dist. Beta: X  β(a, b), dg a > 0, b > 0, jika (Fig. 3.11) dimana fungsi Beta β(a, b) didefinisikan sbb Fig. 3.10 (3-33) (3-34) Fig. 3.11 (3-35)

6. Distr. Chi-Square: X   2 (n) jika (Fig. 3.12) Perhatikan bahwa  2(n) = 7. Distr. Rayleigh, X  R(2) jika (Fig. 3.13) 8. Distribusi Nakagami-m dinyatakan oleh FDM-nya Fig. 3.12 (3-36) Fig. 3.13 (3-37) (3-38)

9. Distr. Cauchy: X  C(α, ) apabila (Fig. 3.14) 10. Distribusi Laplace: (Fig. 3.15) 11. Distribusi-t ‘Student’ dg n derajat kebebasan (Fig 3.16) (3-39) (3-40) (3-41) Fig. 3.16 Fig. 3.15

12. F-distribution dari Fisher (3-42) PILLAI

Peubah Acak Jenis Diskrit Distr. Bernoulli: daerah hasil X adl {0, 1} dengan P(X = 0) = q dan P(X = 1) = p. 2. Binomial: X  B(n, p) jika (Fig. 3.17) 3. Poisson: X  P() jika (Fig. 3.18) (3-43) (3-44) (3-45) Fig. 3.17 Fig. 3.18 PILLAI

4. Distr. Hipergeometrik: 5. Geometrik: X  g(p) jika 6. Negative Binomial: ~ if 7. Dist. Seragam-Diskrit: Kita simpulkan dengan distribusi umum yang diberikan oleh (3-46) (3-47) (3-48) (3-49) PILLAI

Polya. Distribusi ini menjadikan distribusi Binomial dan Hipergeometrik sebagai kasus-kasus khusus. Distribusi Polya: Sebuah kotak berisi a bola putih dan b bola hitam. Sebuah bola diambil secara acak, dikembalikan bersama-sama dg penambahan c buah bola yang berwarna sama. Jika X menyatakan banyak bola putih yang terambil, X = 0, 1, 2, …, n, cari FDM dari X ! Solusi: Renungkan satu kejadian ketika k bola putih terambil secara berurutan, disusul oleh n – k bola hitam. Peluang k bola putih terambil secara berurutan adalah Jadi peluang k bola putih terambil secara berurutan, diikuti (3-50)

oleh n – k bola hitam, adalah Sangat menarik bahwa pk di (3-51) juga menyatakan peluang k bola putih dan (n – k) bola hitam terambil tanpa mengikuti urutan pengambilan tertentu (yaitu, pembilang dan penyebut dalam (3-51) memberi kontribusi sama pada urutan apa pun. Jadi (3.51) berlaku untuk semua urutan hasil pengambilan yang berbeda. Dengan menjumlah semuanya, distribusi Polya diperoleh, yaitu (3-51) (3-52)

Telah disinggung bahwa distribution Binomial dan Hipergeo- metrik adalah kasus khusus dari (3-52). Sesungguhnya jika c = 0, maka (3-52) adalah distribusi binomial dengan Demikian pula, apabila pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, maka dalam (3-52) berlaku c = – 1 sehingga P(X = k) = (3-53)

yang membuktikan bahwa X berdistribusi hipergeometri. Nilai c = +1 menghasilkan (penggantian dua kali lipat bola yang sama dengan bola yang terambil) FDM yang disebut distribution +1 Polya. Bentuk umum distribusi Polya dalam (3-52) pernah digunakan dalam study penyebar- an penyakit menular (epidemic modeling). (3-54) (3-55)