PENGANTAR STATISTIKA INDUSTRI

Statistika

Statistika: Definisi & Tujuan Statistika adalah ilmu yang berkaitan dengan pengumpulan, pengolahan, presentasi (deskritif), dan interpretasi (inferensi) data Secara ilmiah dalam kerangka proses pengambilan keputusan yang berkaitan dengan adanya ketidakpastian (resiko) dan variasi.

Statistika Deskriptif vs Inferensi Statistika deskriptif digunakan apabila peneliti hanya bertujuan mendapatkan ringkasan data yang dimilikinya. Ringkasan ini meliputi lokasi pemusatan data, variabilitas data, dan karakteristik umum distribusi data. Statistika inferensi digunakan apabila peneliti ingin membuat suatu kesimpulan tertentu atas karakteristik/hubungan antar beberapa variabel dalam populasi, diberikan jika hanya memiliki data sampel.

Statistika Deskriptif vs Inferensi Statistik Deskriptif Collect Organize Summarize Display Analyze Statistik Inferensi - Memperkirakan dan meramalkan nilai parameter populasi - Menguji hipotesis tentang nilai - Membuat keputusan Tidak dilakukan generalisasi Inferensi berdasarkan keterbatasan informasi sample

Statistika Inferensi Statistika inferensi: Menduga dan meramalkan (estimasi) nilai parameter populasi... Menguji hipotesis nilai parameter populasi... Mengambil keputusan... Berdasarkan statistik sampel yang diambil dari sejumlah terbatas (tidak lengkap) informasi sampel Observasi pada sebagian populasi Melakukan generalisasi terhadap populasi...

Populasi vs Sampel Oleh karenanya, lingkup ‘data’ dapat dikategorikan sebagai: populasi merupakan kumpulan semua individu dari jenis objek yang menjadi perhatian penelitian, dan sampel adalah bagian dari populasi yang dapat dikumpulkan oleh peneliti (sebatas kemampuannya dalam melakukan pengumpulan data). Besaran populasi disebut parameter, sedangkan besaran sampel disebut statistik.

Statistik sebagai estimator parameter Statistik vs Parameter Parameter populasi adalah ukuran karakteristik populasi. Statistik adalah ukuran karakteristik sampel. Statistik sebagai estimator parameter Estimator adalah statistik yang digunakan untuk mengestimasi parameter populasi. Estimasi dari sebuah parameter adalah nilai numerik tertentu (dari statistik sampel) yang diperoleh melalui sampling. Titik estimasi adalah sebuah nilai yang digunakan untuk mengestimasi sebuah parameter populasi.

Distribusi dan rata-rata X Rata-rata populasi () Titik sampel Distribusi frekuensi populasi Sample mean ( ) Perbedaan antara rata-rata sampel dengan rata-rata populasi disebut bias

Proses Sampling & Inferensi Kaitan populasi dan sampel, serta proses sampling, proses inferensi & statistika deskriptif: Populasi Sampel Sampling Inferensi Statistika Deskriptif

Proses Sampling & Inferensi Dapat disimpulkan bahwa statistika berkaitan dengan proses pengambilan sampel (sampling) sehingga dapat dilakukan penyajian dan peringkasan data (statistika deskriptif) atau lebih jauh lagi dilakukan pendugaan dan pengujian nilai parameter populasi (statistika inferensi).

Sensus vs Sampling Sebuah metoda survey yang mencakup seluruh anggota populasi disebut sensus. Sementara teknik untuk mengumpulkan informasi dari sebagian populasi disebut sampling.

Sampel Random Sederhana Sampling dari populasi dilakukan secara random, sedemikian sehingga setiap sampel berukuran sama (n) memiliki kesempatan yang sama untuk diambil atau dipilih Sebuah sampel yang diambil dengan cara tersebut disebut sebuah sampel random sederhana atau sample random.

Pengambilan Sampel Pada statistika inferensi, pengambilan sampel menentukan hasil inferensi. Idealnya sampel diambil secara random. Pengambilan sampel yang tidak tepat dapat menyebabkan bias  systematic error

Pengambilan Sampel Setiap data sampel yang diambil dapat mencakup: Nilai sebenarnya (true value), Kesalahan sistematis, dan Kesalahan acak (random). Data sampel = true value + kesalahan sistematis + kesalahan acak

Pengambilan Sampel Data sampel = true value + kesalahan sistematis + kesalahan acak Statistika membantu peneliti untuk mengetahui komponen-komponen nilai data sampel tersebut.

Pengambilan Sampel Data sampel selalu mengandung kesalahan karena adanya “ketidak-pastian (error)”, Ekspektasi [error] = variansi + (bias)2 Variansi (kesalahan acak) berkaitan dengan masalah kepresisian. Bias (kesalahan sistematis) berkaitan dengan masalah akurasi.

Presisi  ukuran seberapa jauh suatu tools memberi hasil yang konsisten  variasi data coefficient standard error/koefisien kesalahan baku Akurasi: seberapa tepat suatu tools mengukur apa yang seharusnya diukur jarak yang diukur dari target ketepatan menentukan sample dalam menggambarkan karakteristik populasi Sample akurasi tinggi: kesimpulan dari sample menggambarkan karakteristik populasi.

Representative sample Sample yang sebesar mungkin mewakili karakteristik populasi dikatakan sebagai representative sample. Besarnya dugaan keterwakilan populasi dalam sampel dinyatakan dengan (1-α). Notasi α selanjutnya disebut: tingkat keyakinan (confidence) dalam melakukan pendugaan atau estimasi, dan tingkat pembedaan (significance) dalam melakukan pengujian hipotesis nilai parameter populasi (juga dikenal sebagai kesalahan tipe pertama).

Statistika dan permasalahannya Kecil kemungkinan karakteristik sampel persis sama dengan karakteristik populasi. Teori probabilitas membantu kita dalam melakukan penarikan kesimpulan atas dugaan atau hipotetis yang terkait dengan karakteristik populasi.

Statistika dan permasalahannya Peran statistika dan teori probabilitas dalam proses deduksi dan induksi: Hipotesis 1  Deduksi  Konsekuensi Modifikasi (hipotesis 2)  Induksi Fenomena  Eksperimen  Data

Statistika dan permasalahannya Secara alamiah seorang anak dapat memiliki dugaan (hipotesis 1) bahwa warna merah umumnya panas dan warna biru umumnya dingin. Kemudian dia mendapat pengalaman (deduksi) bahwa ternyata api berwarna biru dari kompor gas lebih panas dari api berwarna merah (konsekuensi). Hal ini merubah dugaan awalnya (induksi) sehingga dia memperoleh dugaan baru (hipotesis 2). Dengan cara ini manusia belajar secara alamiah dari pengalaman yang dihadapi.

Statistika dan permasalahannya Proses deduksi & induksi ini dapat “diciptakan” melalui eksperimen dengan memanfaatkan statistika dan probabilitas sehingga dapat diperoleh data atau estimasi untuk mempercepat proses belajar (tidak perlu menunggu kejadian alamiah).

Statistika dan permasalahannya Kerangka pemikiran kesisteman dan statistika: Proses  Variasi  Data  Perbaikan Kerangka kerja ini dikenal sebagai Statistical Thinking (Statistical Division ASQ) yang digunakan sebagai acuan dalam implementasi statistika di dunia nyata. Falsafah kesisteman Analisis Tindakan & resiko

Skala pengukuran Ada empat type skala, yaitu: Nominal Ordinal Interval Ratio

Skala pengukuran Skala Nominal – group atau kelas Jenis kelamin Skala Ordinal – urutan Ranking Skala Interval – perbedaan, selisih, jarak Temperatur Skala Rasio – perbandingan Ongkos per unit

Statistika Deskriptif distribusi frekuensi & ukuran statistik

Presentasi Data Grafik/diagram  penyampaian informasi data berupa angka secara visual Line Chart/ Diagram Garis Histograms/Diagram Batang Frequency Polygon/Diagram Frekuensi Ogives/Distribusi Frekuensi Kumulatif Pie Chart/ Diagram Lingkaran

Sifat Kelompok Data Mutually exclusive tidak overlapping – sebuah observasi hanya ada dalam sebuah kelompok Exhaustive setiap observasi ditempatkan dalam sebuah kelompok Equal-width (if possible) kelompok pertama dan terakhir dapat berbeda

Distribusi Frekuensi Frekuensi dari setiap kelompok jumlah observasi dalam setiap kelompok Jumlah frekuensi adalah jumlah observasi, yaitu N untuk populasi n untuk sampel Kelompok midpoint adalah nilai tengah kelompok, kelas atau interval Frekuensi relatif adalah prosentase dari total observasi dalam setiap kelompok jumlah frekuensi relatif = 1

Frekuensi (jumlah produk) Distribusi Frekuensi Waktu operasi perakitan kendaraan bermotor Contoh frekuensi relatif: 30/184 = 0.163 Jumlah frekuensi relatif = 1 x Waktu operasi (menit) f(x) Frekuensi (jumlah produk) f(x)/n Frekuensi relatif 0 to less than 100 100 to lesss than 200 200 to less than 300 300 to less than 400 400 to less than 500 500 to lesssthan 600 30 38 50 31 22 13 184 0.163 0.207 0.272 0.168 0.120 0.070 1.000

Distribusi Frekuensi Kumulatif x Waktu operasi (menit) f(x) Frekuensi (jumlah produk) f(x)/n Frekuensi relatif 0 to less than 100 100 to less than 200 200 to less than 300 300 to less than 400 400 to less than 500 500 to lesssthan 600 30 68 118 149 171 184 0.163 0.370 0.641 0.810 0.929 1.000 Frekuensi kumulatif dari setiap kelompok adalah jumlah frekuensi dari kelompok sebelumnya .

Distribusi frekuensi Tahapan penyusunan: Menghitung jumlah kelas interval (k), dengan rumus (Sturges) : k = 1 + 3,3 Log n dimana : k = Jumlah kelas interval n = Jumlah data  Menghitung Rentang Data (R)   R = Nilai data maksimum – Nilai data minimum  Menghitung Panjang Kelas Interval (p), dengan rumus :   p = R/k  Tabel Distribusi Frekuensi : Interval Kelas (Limit) Batas Kelas (Boundaries) Mid Point (xi) Frek. (fi) Frek. Kumulatif (fkum) fi.xi (xi)2 fi (xi)2 Jumlah

Ukuran Statistik Ukuran Pemusatan 1. Rata-rata (Mean) 2. Nilai Tengah (Median) 3. Modus Ukuran Letak 1. Kuartil 2. Desil 3. Persentil Ukuran Penyebaran 1. Jangkauan (Range) 2. Variasi (Variance) 3. Simpangan Baku (Standard deviation) Ukuran Lain 1. Skewness 2. Kurtosis

Ukuran Pemusatan – Rata-rata Untuk data tunggal dimana : xi = Nilai dari data n = Jumlah data atau banyaknya data didalam sample   Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) : dimana : fi = Frekuensi untuk kelas interval ke-i xi = Nilai tengah x0 = Nilai tengah yang akan diberi coding ci = Variabel coding untuk kelas interval ke-i p = Panjang kelas interval

Ukuran Pemusatan – Median Untuk data tunggal dimana: xi = Nilai tengah dari data n = Jumlah data atau banyaknya data didalam sample Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) : dimana : Li = Batas bawah kelas median, yaitu kelas dimana median akan terletak. p = Panjang kelas interval n = Jumlah data F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas median f = Frekuensi kelas berisi median  

Ukuran Pemusatan – Modus Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) : dimana : Li = Batas bawah kelas modus, yaitu kelas interval dengan frekuensi terbanyak p = Panjang kelas interval b1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya b2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya

Ukuran Letak – Kuartil ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 4 bagian yang sama, sesudah disusun menurut urutan nilainya. Untuk data tunggal:  Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) : dimana : Li = Batas bawah kelas Ki, yaitu kelas interval dimana Ki akan terletak n = Jumlah data p = Panjang kelas interval F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Ki f = Frekuensi kelas Ki

Ukuran Letak – Desil ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 10 bagian yang sama besarnya. Untuk data tunggal:   Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) : dimana : Li = Batas bawah kelas Di, yaitu kelas interval dimana Di akan terletak n = Jumlah data p = Panjang kelas interval F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Di f = Frekuensi kelas Di

Ukuran Letak – Persentil ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 100 bagian yang sama. Untuk data tunggal: Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) : dimana : Li = Batas bawah kelas Pi, yaitu kelas interval dimana Pi akan terletak n = Jumlah data p = Panjang kelas interval F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Pi f = Frekuensi kelas Pi

Ukuran Penyebaran – Variansi & Simpangan Baku Untuk data tunggal: Untuk data berkelompok (data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi) : Dimana: xi = Nilai tengah f = Frekuensi yang sesuai dengan nilai tengah n = Jumlah frekuensi Sehingga Standar Deviasi (Simpangan Baku) adalah :

Ukuran Lain Skewness  Ukuran kesimetrisan distribusi data  Kemiringan atau kecenderungan distribusi data Kurtosis  Ukuran kedataran atau keruncingan distribusi data Kurva Simetris Kurva Miring ke Kiri Kurva Miring ke Kanan (0) (-) (+) (A) Leptokurtik (B) Platikurtik (C) Mesokurtik

Sampling & distribusi sampling

Teknik Penarikan Sampel (Sampling) Proses mendapatkan sampel dari populasi  mencerminkan populasi  kesimpulan dari sampel= kesimpulan dari populasi Masalah dalam bagaimana proses pengambilan sampel Satuan sampling: segala sesuatu yang dijadikan satuan (unit) yang nantinya akan menjadi objek penelitian. Daftar yang berisi satuan-satuan sampling yang ada dalam sebuah populasi, yang berfungsi sebagai dasar untuk penarikan sample.

Metode Penarikan Sample Berdasarkan proses pemilihannya. a. Sampling with replacements b. Sampling without replacements 2. Berdasarkan peluang pemilihannya. a. Probability sampling b. Non-probability sampling

Non-Probability Sampling Convenience/accidental sampling: sample diambil secara spontanitas  mudah dan murah Judgement/purposive sampling: sample diambil berdasarkan karakteristik yang ditentukan oleh tujuan penelitian Quota sampling: = (2), kuota (jatah) dan jumlah sample tertentu  mirip stratified tapi tidak acak Snow ball sampling: =(2), populasi kecil dan spesifik  teknik berantai (sample berikut ditentukan sample sebelumnya)  biaya relatif kecil tapi bias/penyimpangan besar.

Probability Sampling Random sampling: sampel (ni) diambil secara random dari populasi (Ni). Systematic sampling: sampel diambil secara random untuk pertama kali, dan selanjutnya diambil secara sistematis. Random dari 5 titik sampel pertama Sistematis setiap 5 titik sampel

7 6 5 4 3 2 1 Group Population Distribution Sample Distribution Stratified sampling: sampel random (ni) dipilih dari setiap kelompok populasi (Ni). Cluster sampling: observasi dilakukan pada m cluster dari M cluster populasi.

Prosedur Sampling Menentukan populasi target Menentukan area populasi Menentukan ukuran populasi Membuat kerangka sampling Menentukan ukuran sample Menentukan teknik dan rencana pengambilan sample Melakukan pengambilan sample

Distribusi Sampling Distribusi sampling : distribusi peluang suatu statistik  tergantung ukuran populasi, ukuran sample dan metode penarikan sample Distribusi peluang disebut distribusi sampling dari rataan Distribusi sampling dari rataan Distribusi Chi Square Distribusi Student-t Distribusi F

Estimasi Parameter

Pendahuluan x = 550 Sebuah nilai estimasi yang memberikan sedikit informasi tentang rata-rata populasi. Peneliti 99% yakin bahwa  ada dalam interval [449,551] Sebuah estimasi interval yang sempit dengan tingkat keyakinan yang besar. Peneliti 90% yakin bahwa μ ada dalam interval[400,700] Sebuah estimasi interval yang sempit dengan tingkat keyakinan yang kecil.

Tipe Estimasi Estimasi Titik Estimasi interval Estimasi nilai tunggal dari distribusi sampling Memberikan informasi tentang parameter populasi. Estimasi interval Sebuah interval atau rentang yang diyakini mencakup nilai parameter populasi yang tidak diketahui. Mengukur tingkat keyakinan (confidence) bahwa interval tersebut sesungguhnya mengandung nilai parameter yang dicari.

Estimator yang baik Unbiased Efisien Konsisten (Sufisien)

Unbiased Sebuah estimator dikatakan unbiased jika nilai ekspektasinya sama dengan nilai parameter populasi. Jika E(X)=  maka rata-rata sampel adalah estimator unbiased untuk rata-rata populasi. Rata-rata dari sebuah sampel mungkin tidak sama dengan rata-rata populasi, tetapi jika dilakukan pengulangan sampel secara independen akan diperoleh nilai yang sama dengan parameter populasi. Setiap penyimpangan (deviation) oleh estimator dari parameter populasi disebut bias.

Unbiased

Estimator Bias & Unbiased Estimator unbiased ada tepat pada target Estimator biased tidak berada tepat pada target. { Bias

Efisien Sebuah estimator dikatakan efisien jika memiliki variansi yang relatif kecil. Estimator efisien berada pada target dengan sebaran yang kecil. Estimator tidak efisien mungkin pada target dengan sebaran yang besar.

Konsisten Sebuah estimator dikatakan konsisten jika kemungkinan untuk mendekati parameter populasi semakin besar seiring dengan meningkatnya ukuran sampel. n = 100 n = 10 Consistency

Sufisien Sebuah estimator dikatakan sufisien jika mencakup semua informasi tentang parameter populasi dalam data sampelnya.

Estimasi Titik Ada tiga metoda estimasi titik (point estimation): Metoda Unbiased Metoda Momen Metoda Maximum Likelihood

Estimasi Interval Estimasi interval memiliki 2 komponen, yaitu: Estimasi interval adalah rentang yang diyakini akan mencakup nilai parameter populasi yang tidak diketahui. Rentang ini juga memberikan besarnya keyakinan bahwa rentang tersebut mencakup nilai parameter yang diamati. Estimasi interval memiliki 2 komponen, yaitu: Sebuah rentang nilai Terkait dengan tingkat keyakinan (level of confidence)

Estimasi Interval

Estimasi Interval

Estimasi Interval Rata-rata dengan variansi diketahui/tidak Selisih rata-rata dengan variansi sama/tidak dan diketahui/tidak Variansi tungal dan rasio Proporsi

Contoh Rumus: Untuk sampel besar ( n > 30) Untuk populasinya tidak terbatas atau terbatas yang pengambilan sampel dengan pengembalian dan  diketahui, interval kepercayaan (1- )100% untuk  adalah : Untuk populasinya terbatas tanpa pengembalian dan  diketahui, interval kepercayaan (1- )100% untuk  adalah

Contoh Pembacan Tabel Luas di bawah kurva normal 1- = 95% =5% /2 = 2.5% (uji dua arah) X = 1-0.025 = 0.975 Z =…… Z = 1,96 z 0.00 ... 0.06 0.09 1.9 0.9750

Contoh Interpolasi Data: 1- = 96% =4% (uji satu arah) X = 0.9600 Z1 = 1.75 X1 = 0.9599 Z = …… X = 0.9600 Z2 = 1.76 X3 = 0.9608   z 0.00 ... 0.05 0.06 1.7 0.9599 0.9608

Contoh : Perusahaan XYZ memiliki karyawan 250 orang. Untuk keperluan tertentu, ingin diketahui rata-rata jam kerjanya per minggu. Untuk itu, diambil sampel sebanyak 35 orang dan diperoleh data bahwa rata-rata jam kerja karyawan tersebut adalah 39,76 jam per minggu. Jika simpangan baku rata-rata jam kerjanya 0,93 jam estimasilah dengan tingkat keyakinan 90%, rata-rata jam kerja karyawan tersebut!

Penyelesaian : N = 250 n = 35 X = 39,76  = 0,93 1- = 90%  = 10% Z/2 = Z0.05 = 1,65   Kesimpulan: Jadi rata-rata jam kerja karyawan perusahaan XYZ dengan tingkat keyakinan 90% berada antara 39,53 jam sampai 39,99 jam perminggu.

Uji Hipotesis

Pengertian Hipotesis Statistik Hipotesis (Hypothesis)  Greece Hupo= Sementara, dan Thesis= Pernyataan/Dugaan Jenis Hipotesis: Hipotesis Penelitian (Research Hypothesis)  Proporsional (Verbal)  Tidak bisa diuji secara empiris 2. Hipotesis Statistik (Statistical Hyphothesis)  Berdasarkan data  Dapat diuji secara empiris Suatu asumsi mengenai parameter fungsi frekuensi peubah acak Hipotesis Penelitian  Hipotesis Statistik  Dugaan penelitian dalam H0 dan H1

Pengertian Hipotesis Statistik Hipotesis Penelitian  Hipotesis Statistik  Dugaan penelitian dalam H0 dan H1 H0 merupakan hipotesis nol (null hypothesis) dan merupakan hipotesis yang akan diuji dan yang nantinya akan diterima atau ditolak tergantung pada hasil eksperimen atau pemilihan sampelnya. H1 merupakan hipotesis alternative atau hipotesa tandingan (alternative hypothesis)

Pengujian Hipotesis 1. Uji Hipotesis Satu Arah (One Tail Test) Jika H0 Benar Jika H0 Benar Daerah Penolakan Daerah Penerimaan (1-α） Daerah Penerimaan (1-α） Titik kritis Titik kritis

Pengujian Hipotesis 2. Uji Hipotesis Dua Arah (Two Tail Test) Jika H0 Benar Daerah Penerimaan (1-α） Daerah Penolakan bagi μyang terlalu besar Daerah Penolakan bagi μyang terlalu kecil

Kesalahan pada Pengujian Hipotesis Keputusan Pengujian HIPOTESIS Jika H0 Benar Jika H0 palsu (H1 Benar) Terima H0 Keputusan yang benar. Probabilitas = 1 - α “Tingkat Keyakinan” Kesalahan jenis II. Probabilitas = β Tolak H0 Kesalahan jenis I. Probabilitas = α “Taraf Nyata” Probabilitas =1 - β “Kuasa Pengujian” α= Level of Signifinace 1 – α= Level of Confidence 1 – β= Power of the Test

Tahapan Pengujian Hipotesis Nyatakan hipotesis ststistik (H0 dan H1) yang sesuai dengan hipotesis penelitian yang diajukan. Menentukan taraf nyata/ alpha (Level of significance) Menentukan jumlah sampel. Mengumpulkan data melalui sampel probabilitas (probability sample/random sample) Gunakan statistik uji yang tepat (distribusi z, t, …) Menentukan titik kritis dan daerah kritis (daerah penolakan) H0 Menghitung nilai statistik uji berdasarkan data yang dikumpulkan. Perhatikan apakah nilai hitung statistik uji jatuh di daerah penerimaan atau penolakan. Berikan kesimpulan statistik (statistical conclusion)

Contoh soal : Suatu perusahaan pembuat pesawat terbang komersial menyatakan, bahwa hasil produksinya setelah dipergunakan dalam waktu 1 tahun diperlukan pengecheckan kembali selama 11 jam dengan standar deviasi 3,5 jam. Setelah berselang 3 tahun teknisi pesawat meragukan hipotesis ini, sehingga perlu dilakukan pengamatan kembali dengan mengambil sampel sebanyak 49 buah pesawat, ternyata waktu rata-rata yang diperlukan untuk mengadakan pemeliharaan ini 12 jam. Teknisi masih percaya bahwa standar deviasinya tetap tidak berubah. Apakah ada alasan untuk meragukan bahwa waktu yang diperlukan untuk pemeliharaan pesawat terbang dalam 1 tahun diperlukan 11 jam, apabila dipergunakan taraf keberartian 10% ?

Penyelesaian: Formulasi hipotesis : Ho :  = 11 jam H1 :   11 jam Digunakan pengujian dua sisi (two-tailed) Taraf keberartian (level of significance)  = 10%, dari tabel kurva normal diperoleh nilai  Z/2 = 1.645. Kriteria pengujian Ho diterima jika : -1.645  Z  1.645 H1 ditolak jika : Z > 1.645 dan Z < -1.645 Statistik uji, distribusi Z :

Kesimpulan : Karena nilai Z hitung lebih besar dari nilai Z tabel (+2 > +1.645) maka Ho ditolak pada level significance 10%, dan dapat dinyatakan bahwa rata-rata pemeliharaan pesawat terbang tersebut lebih dari 11 jam. Agar lebih jelas dapat dilihat dalam gambar dibawah ini