Fluks Listrik, Hukum Gauss, dan Divergensi

Materi Fluks listrik Hukum Gauss Divergense

Permukaan Tertutup E E q + E Permukaan tertutup adalah sebuah permukaan khayal yang mencakup muatan netto Untuk menentukan kandungan kotak tsb, Anda hanya perlu mengukur medan listrik E pada permukaan tertutup

Fluks Listrik Fluks listrik E adalah ukuran aliran medan listrik yang melalui sebuah permukaan tertutup. Arah fluks listrik bergantung pada tanda muatan netto. Muatan di luar permukaan tertutup tidak berpengaruh pada fluks listrik. Ukuran permukaan tertutup tidak berpengaruh pada fluks listrik.

Menghitung Fluks Listrik Fluks listrik E yang melalui sebuah permukaan didefinisikan sebagai: E = EA Jika luas permukaan tidak tegak lurus terhadap medan listrik maka luas yang diperhitungkan adalah A⊥ = A cos  , dimana  adalah sudut antara A⊥ dan A, sehingga: E = EA cos 

Menghitung Fluks Listrik Jika medan listrik E tidak homogen tetapi berubah dari titik ke titik pada luas A, maka fluks listrik itu sama dengan hasil perkalian elemen luas dan komponen tegak lurus dari E, yang diintegralkan pada sebuah permukaan. E = ∫ E cos  dA = ∫ E⊥ dA = ∫ E·dA

Contoh Soal Fluks listrik melalui sebuah cakram Sebuah cakram dengan jari-jari 0,10 m diorientasikan dengan vektor satuan normal n terhadap sebuah medan listrik homogen yang besarnya 2,0 x 103 N/C. Berapa fluks listrik yang melalui cakram jika: a) membentuk sudut 30o? b) tegak lurus terhadap medan listrik? c) sejajar dengan medan listrik?

Penyelesaian Diketahui : r = 0,10 m; E = 2,0 x 103 N/C Ditanya : E jika a) =30o b) =90o c) =0o Jawab : Luas A = (0,10 m)2 = 0,0314 m2 a) b) c)

Contoh Soal Fluks listrik melalui sebuah bola Sebuah muatan titik positif q = 3,0 μC dikelilingi oleh sebuah bola dengan jari-jari 0,20 m yang berpusat pada muatan itu. Carilah fluks listrik yang melalui bola yang ditimbulkan muatan itu

Penyelesaian Diketahui : r = 0,20 m; q = 3,0 μC Ditanya : E = ? Jawab : Besar E pada setiap titik adalah: Fluks total yang keluar dari bola itu adalah:

Hukum Gauss Hukum Gauss menyatakan bahwa fluks listrik total yang melalui sebuah permukaan tertutup sama dengan muatan listrik total di dalam permukaan itu, dibagi o. E = ∮ E · dA = Qtercakup o Qtercakup = q1 + q2 + q3 + … E = ∮ E cos  dA = ∮ E⊥dA = ∮ E · dA

Selanjutnya Secara logika Hukum Gauss ekuivalen dengan hukum Coulomb. E = EA = 1 q (4R2) = q 4o R2 o Fluks tersebut tidak bergantung pada jari-jari R dari bola itu, tapi hanya bergantung pada muatan q yang yang dicakup oleh bola itu

Perhatian Permukaan tertutup dalam hukum Gauss adalah permukaan khayal Tidak perlu ada sebuah objek material pada permukaan itu Permukaan tertutup disebut juga permukaan Gaussian

Aplikasi Hukum Gauss Hukum Gauss dapat digunakan dengan dua cara: Jika distribusi muatan mempunyai simetri yang cukup untuk menghitung integral dalam hukum Gauss, maka kita dapat mencari medan listrik tersebut. Jika medan listrik diketahui, maka hukum Gauss dapat digunakan untuk mencari muatan pada permukaan konduktor.

Fakta yang Mengagumkan Dalam soal-soal praktis sering dijumpai situasi dimana kita ingin mengetahui medan listrik yang disebabkan oleh distribusi muatan pada sebuah konduktor. Perhitungan ini dibantu oleh fakta yang mengagumkan: Bila muatan yang berlebih ditempatkan pada sebuah konduktor padat dan berada dalam keadaan diam, maka muatan yang berlebih itu seluruhnya berdiam pada permukaan, bukan di bagian dalam material tersebut.

Strategi Penyelesaian Soal Hukum Gauss Jika mencari medan di titik tertentu, maka letakkan titik itu pada permukaan Gaussian Jika distribusi muatan memiliki simetri silinder atau bola, pilihlah permukaan Gaussian itu berturut-turut sebagai sebuah silinder bersumbu atau sebuah bola yang konsentris Jika medan listrik menyinggung sebuah permukaan di setiap titik, maka E⊥= 0 dan integral pada permukaan itu adalah nol Jika E = 0 di tiap-tiap titik pada sebuah permukaan, maka integral itu adalah nol

Muatan pada Konduktor Dalam situasi elektrostatik, muatan listrik di setiap titik dalam konduktor adalah nol dan setiap muatan yang berlebih diletakkan seluruhnya pada permukaannya (Gambar a). Tapi apa yang terjadi jika ada rongga di dalamnya (Gambar b) dan ada muatan muatan titik di dalam rongga (Gambar c)?

Contoh Soal Sebuah konduktor mengangkut muatan total sebesar = +3 nC. Muatan di dalam rongga yang diisolasi dari konduktor adalah -5 nC. Berapakah muatan pada permukaan sebelah dalam dan sebelah luar konduktor?

Penyelesaian Karena muatan dalam rongga adalah q = -5 nC, maka muatan pada permukaan sebelah dalam harus sama dengan –q = +5 nC. Konduktor mengangkut muatan total sebesar +3 nC yang semuanya tidak berada di bagian dalam material itu. Jika +5 nC berada pada permukaan sebelah dalam rongga itu, maka harus ada (+3 nC) – (+5 nC) = -2 nC pada permukaan konduktor sebelah luar.

Medan di Permukaan Konduktor Jika  adalah kerapatan muatan permukaan sebuah konduktor dan E⊥adalah komponen medan listrik yang tegak lurus permukaan konduktor, maka fluks total yang melalui permukaan itu adalah E⊥A. Muatan yang tercakup dalam permukaan Gaussian itu adalah, sehingga dari hukum Gauss: E⊥A = A dan E⊥ =  0 0

Contoh Soal Medan Listrik Bumi Bumi mempunyai muatan listrik netto. Dengan instrumen elektronik yang peka, pengukuran medan listrik di permukaan bumi menghasilkan nilai rata-rata 150 N/C dengan arah menuju pusat bumi. a) Berapakah kerapatan muatan permukaan di permukaan bumi? b) Berapakah muatan permukaan total bumi?

Penyelesaian Berdasarkan arah medan listrik diketahui bahwa  adalah negatif. Muatan total Q adalah hasil kali luas permukaan bumi dan kerapatan muatan  : Q = 4(6,38 X 106 m)2(-1,33 X 10-9 C/m2) = -6,8 X 105 C

Tabel Medan Listrik (1) DISTRIBUSI MUATAN Muatan titik tunggal q Muatan q pada permukaan bola konduksi dengan jari- jari R Kawat tak berhingga, muatan per satuan panjang  Silinder konduksi tak berhingga dengan jari-jari R, muatan per satuan panjang  TITIK DALAM MEDAN LISTRIK Jarak r dari q Di luar bola, r > R Di dalam bola, r < R Di dalam bola, jarak r dari kawat Di luar silinder, r > R Di dalam silinder, r < R BESAR MEDAN LISTRIK E = 1 q 4o r2 E = 0 E = 1  2o r

Tabel Medan Listrik (2) DISTRIBUSI MUATAN TITIK DALAM MEDAN LISTRIK Bola pengisolasi padat dengan jari-jari R, muatan Q yang didistribusikan secara homogen di seluruh volume Lembaran muatan tak berhingga dengan muatan homogen per satuan luas  Dua pelat konduksi yang bermuatan berlawanan, dengan kerapatan muatan permukaan + dan - TITIK DALAM MEDAN LISTRIK Di luar bola, r > R Di dalam bola, r < R Sebarang titik Sebarang titik di antara kedua pelat BESAR MEDAN LISTRIK E = 1 Q 4o r2 E = 1 Qr 4o R3 E =  2o E =  o

Soal Latihan Selembar kertas yang luasnya 0,250 m2 diorientasikan sehingga normal ke lembar itu membentuk sudut sebesar 60o terhadap sebuah medan listrik homogen yang besarnya 14 N/C. a) Carilah besar fluks listrik yang melalui lembar itu. b) Apakah jawaban a) tergantung bentuk lembar tersebut? c) Sudut berapakah yang menghasilkan fluks paling besar dan paling kecil?

Penyelesaian Diketahui : E = 14 N/C A = 0,25 m2 Ditanya: a) E = ? b) Apakah E tergantung bentuk lembar? c)  untuk nilai E max dan minimum? Jawab :

Penyelesaian b) Nilai E tidak tergantung bentuk lembar c) E maksimum = EA cos 0o = EA  = 0o E minimum = EA cos 90o = 0  = 90o

Divergensi Secara umum, divergensi pada titik tertentu adalah bagian luar fluks per satuan volume sebagai volume menyusut disekitar titik tersebut. Perhatikan gambar dibawah :

Lanjutan Oleh karena itu : Dimana ∆v adalah volume tertutup oleh permukaan tertutup S di mana titik P berada. Secara fisik, kita menganggap divergensi dari vektor medan A pada suatu titik tertentu adalah ukuran berapa banyak medan divergensi atau medan yang berasal dari titik itu.

Lanjutan Dengan melakukan evaluasi pada gambar ini : Maka akan mendapatkan persamaan Divegensi

Lanjutan Persamaan diatas disebut sebagai teorema divergensi, atau dikenal sebagai teorema Gauss-Ostrogradsky. Teorema Divergensi menyatakan bahwa total fluks luar dari medan vektor A sampai permukaan tertutup S besarnya sama dengan volume integral dari divergensi A.