Matematika diskrit BAB IV

GRAF Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.

Teori graf ditulis pertamakali pada tahun 1736 oleh seorang matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler. Yang digunakan untuk menyelesaikan masalah jembatan Königsberg (sekarang, bernama Kaliningrad). Berikut adalah ilustrasi masalah tersebut :

Definisi Graf Graf merupakan struktur diskrit yang terdiri simpul (vertices, vertex) dan himpunan sisi (edges) Notasi sebuah graf adalah G = (V, E), dimana : V merupakan himpunan tak kosong dari simpul-simpul (vertices), misalkan V = { v1 , v2 , ... , vn } E merupakan himpunan sisi – sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul, misalkan E = {e1 , e2 , ... , en } Jika graf tersebut mempunyai himpunan sisi yang merupakan himpunan kosong, dinamakan null graph atau empty graph.

CONTOH Jembatan Königsberg Misalkan graf tersebut adalah G(V, E) dengan V = { A, B, C, D } E = { (A, C), (A, C), (A, B), (A, B), (B, D), (A, D), (C, D)} = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}

LATIHAN Gambarkan Graf G(V,E) dengan : V terdiri dari 4 simpul, yaitu simpul A, B, C dan D E terdiri dari 6 sisi, yaitu e1 = (A, C) ; e2 = (A, A) e3 = (A, D) ; e4 = (C, D) ; e5 = (B, C) ; e6 = (B, C)

Lintasan dan Sirkuit Euler Lintasan Euler dalam suatu graf merupakan lintasan yang melalui masing-masing sisi didalam graf tersebut tepat satu kali. Jika lintasan tersebut kembali kesimpul awal, sehingga membentuk lintasan tertutup (sirkuit) maka lintasan ini dinamakan sirkuit Euler. Dengan demikian, sirkuit Euler merupakan sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali. Graf yang memuat sirkuit Euler dinamakan graf Euler (Eulerian graph), sedangkan graf yang memuat lintasan Euler dinamakan graf semi Euler (semi-Eulerian graph).

Contoh Perhatikan graf berikut ini : Graf G1 merupakan graf Euler. karena memiliki lintasan yang membentuk lintasan tertutup (sirkuit), yaitu : pr – rt – ts – sq – qt – tp

Beberapa sifat tentang lintasan dan sirkuit Euler : Suatu graf G merupakan graf Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul pada graf tersebut berderajat genap. Graf terhubung G merupakan graf semi Euler (memiliki lintasan Euler) jika dan hanya jika di dalam graf tersebut terdapat tepat dua simpul berderajat ganjil. Suatu graf terhubung berarah G merupakan graf Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul pada graf tersebut memiliki derajat masuk dan derajat keluar yang sama. Suatu graf terhubung berarah G merupakan graf semi Euler (memiliki lintasan Euler) jika dan hanya jika G terhubung setiap simpul pada graf tersebut memiliki derajat masuk dan derajat keluar yang sama, kecuali dua simpul yaitu simpul petama (simpul awal lintasan) memiliki derajat keluar satu lebih besar dari pada derajat masuk dan simpul yang kedua (simpul akhir lintasan) memiliki derajat masuk satu lebih besar dari pada derajat keluar.

Lintasan dan Sirkuit Hamilton Pada ilustrasi diatas, sirkuit hamilton adalah lintasan yang dicetak tebal.

Lintasan Hamilton suatu graf merupakan lintasan yang melalui setiap simpul dalam graf tersebut tepat satu kali. Jika lintasan tersebut kembali kesimpul awal, sehingga membentuk lintasan tertutup (sirkuit) maka lintasan ini dinamakan sirkuit Hamilton. Dengan demikian, sirkuit Hamilton merupakan sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali. Graf yang memuat sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton (Hamiltonian graph), sedangkan graf yang memuat lintasan Hamilton dinamakan graf semi Hamilton (semi- Hamiltonian graph).

Bersisian (Incidency) Suatu sisi e dikatakan bersisian dengan simpul v1 dan simpul v2 jika e menghubungkan kedua simpul tersebut, dengan kata lain e = (v1, v2). Contoh : Perhatikan graf dari masalah jembatan Königsberg berikut ini : maka e1 bersisian dengan simpul A dan simpul C , tetapi sisi tersebut tidak berisian dengan simpul B.

3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex) Jika suatu simpul tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya maka simpul tersebut dinamakan simpul terpencil Contoh : Perhatikan graf berikut : Simpul T dan simpul U merupakan simpul terpencil.

4. Derajat (Degree) Derajat suatu simpul merupakan jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Misalkan, suatu simpul v mempunyai 3 buah sisi yang bersisian dengannya maka dapat dikatakan simpul tersebut berderajat 3, atau dinotasikan oleh d(v) = 3. Contoh Pada graf diatas : d(P) = d(Q) = d (S)= 5, sedangkan d(R) = 3. Derajat sebuah simpul pada suatu graf berarah dijelaskan sebagai berikut : • din(v) merupakan jumlah busur yang masuk ke simpul v • dout(v) merupakan jumlah busur yang keluar dari simpul v Dengan demikian derajat pada simpul tersebut, diperoleh : d(v) = din(v) + dout(v)

5. Lintasan (Path) Lintasan dari suatu simpul awal v0 ke simpul tujuan vT di dalam suatu graf G merupakan barisan sebuah sisi atau lebih (x0, x1), (x1, x2), (x2, x3), …, (xn-1, xn) pada G, dimana x0 = v0 dan xn = vT. Lintasan ini dinotasikan oleh : x0, x1, x2, x3, …, xn Lintasan ini mempunyai panjang n, karena lintasan ini memuat n buah sisi, yang dilewati dari suatu simpul awal v0 ke simpul tujuan vT di dalam suatu graf G. Suatu lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama dinamakan Siklus (Cycle) atau Sirkuit (Circuit).

contoh Perhatikan Graf Berikut: Pada graf tersebut lintasan P, Q, R memiliki panjang 2. Sementara itu lintasan P, Q, S, R memiliki panjang 3. Lintasan P, Q, R, S, P dinamakan siklus atau sirkuit dengan panjang 4. Antara simpul P dan U maupun T tidak dapat ditemukan lintasan.

6. Cut-Se t Cut-set dari suatu graf terhubung G adalah himpunan sisi yang jika dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung. Jadi, cut-set selalu menghasilkan dua buah subgraf . Pada graf di bawah, {(1,4), (1,5), (2, 3), (2,4)} adalah cut-set. Terdapat banyak cut-set pada sebuah graf terhubung. Himpunan {(1,5), (4,5)} juga cut-set, tetapi {(1,4), (1,5), (4,5)} bukan cut-set. 3

BEBERAPA JENIS GRAF Graf tak berarah Graf berarah

Beberapa jenis graf tak berarah adalah Graf sederhana (simple graph ) Graf sederhana merupakan graf tak berarah yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda

Graf Ganda (multigraph). Graf ganda merupakan graf tak berarah yang tidak mengandung gelang (loop).

Graf semu (Pseudo graph) Graf semu merupakan graf yang mengandung gelang (loop).

Beberapa jenis graf berarah Graf berarah (directed graph atau digraph). Graf berarah merupakan graf yang setiap sisinya mempunyai arah dan tidak mempunyai dua sisi yang berlawanan antara dua buah simpul (tak mempunyai sisi ganda)

Graf ganda berarah (directed multigraph). Graf ganda berarah merupakan graf berarah yang membolehkan adanya sisi ganda pada graf tersebut (boleh mempunyai dua sisi yang berlawanan antara dua buah simpul).

Macam Graf Khusus Graf Teratur Graf Lingkaran

GRAF TERATUR

GRAF LINGKARAN

Graf Isomorfik Perhatikan dua graf berikut ini : Graf diatas, terdiri dari empat buah simpul dimana setiap simpul adalah berderajat tiga.

Definisi : Graf tersebut dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul pada kedua graf tersebut dan antara sisi-sisi keduanya sehingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v Suatu graf dapat digambarkan dengan berbagai cara. Dua buah graf dikatakan isomorfik jika memenuhi ketiga syarat berikut (Deo, 1989): 1. Mempunyai jumlah simpul yang sama. 2. Mempunyai jumlah sisi yang sama 3. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu

Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix) dan Matriks Bersisian (incidency matrix) dari Suatu Graf Matriks ketetanggaan untuk graf sederhana merupakan matriks bujur sangkar yang unsur-unsurnya hanya terdiri dari dua bilangan yaitu 0 (nol) dan 1 (satu). Baris dan kolom pada matriks ini, masing-masing merupakan representasi dari setiap simpul pada graf tersebut. Misalkan aij merupakan unsur pada matriks tersebut, maka : Jika aij = 1 maka hal ini berarti simpul i dan simpul j bertetangga. Jika aij = 0 maka hal ini berarti simpul i dan simpul j tidak bertetangga.

Contoh Perhatikan graf sederhana berikut ini : Bagaimana Matriks ketetanggaan dari graf diatas?

JAWAB

MATRIK ADJASENSI Matriks Adjasensi dari G dengan ukuran m x m matriks A = [aij] menunjukkan jumlah busur yang menghubungkan vi dan vj. Xij bernilai 1 jika busur (i. j) Î E mempunyai arah dari simpul i Î V ke simpul j Î V, dan bernilai 0 jika tidak ada hubungan sama sekali. Jika loop diberi nilai 2. Jika graf G merupakan graf tak berarah, setiap busur (i, j) dapat dinyatakan sebagai suatu busur dengan dua arah. Dalam hal ini matriks Adjasensi X merupakan matriks simetris.

CONTOH 1 Matriks Adjasensi X dari graf berarah diatas adalah:

CONTOH 2 Matriks Adjasensi X dari graf tak berarah diatas adalah

Beberapa sifat penting dapat diturunkan dari representasi matriks suatu graf berarah maupun graf tak berarah : Matriks Adjasensi X dari graf berarah : Suatu kolom yang seluruh elemennya bernilai 0 menyatakan suatu sumber. Suatu baris yang seluruh elemennya bernilai 0 menyatakan suatu muara. Jika seluruh elemen diagonal utamanya bernilai 0, maka menyatakan tidak terdapat loop dalam graf tersebut. Sebaliknya, suatu elemen yang tidak bernilai 0 pada diagonal menyatakan suatu loop.

Matriks Adjasensi X dari graf tak berarah : Jika pada graf ditambahkan suatu simpul yang tidak terhubung, maka pada matriks X akan ditambahkan pula baris dan kolom yang seluruh elemennya bernilai 0. Matriks X simetris. Elemen yang tidak bernilai 0 pada diagonal utama menyatakan suatu loop

MATRIK INSIDENSI Secara khusus, jika V(G) = {v1,v2, ..., vm} dan E(G) = {e1, e2, ..., en} kita definisikan sebagai matriks Insidensi dari G dengan ordo m x n. Matriks Insidensi Z dari graf berarah merupakan matriks [zij] di mana zij bernilai 1 jika elemen j insedensi ke dan orientasi meninggalkan simpul i , zij bernilai -1 jika elemen j insedensi ke dan orientasi menuju simpul i dan bernilai 0 jika elemen j tidak insidensi ke simpul i hal34

CONTOH Matriks Insidensi Z dari graf berarah tersebut adalah :

Pada graf berarah : Pada suatu baris yang semua elemen-elemen tidak nolnya adalah 1 menunjukkan bahwa barisan (simpul) merupakan suatu sumber. Suatu baris yang semua elemen-elemen tidak nolnya adalah -1 menunjukkan bahwa baris (simpul) merupakan muara. Jumlah elemen 1 pada suatu baris menunjukkan derajat keluar dari baris (simpul). Jumlah elemen -1 pada suatu baris menunjukkan derajat masuk dari simpul. Setiap kolom mempunyai satu elemen -1 dan satu elemen 1. Hal ini sebagai akibat bahwa setiap busur selalu mempunyai satu simpul awal dan satu simpul akhir.

CONTOH Matriks Insidensi Z dari graf tak berarah adalah matriks [zij] di mana zij bernilai 1 jika simpul i dihubungkan dengan busur dan bernilai 0 jika lainnya

Dari representasi matriks Insidensi Z pada contoh di atas dapat dilihat bahwa : Pada graf tak berarah : Jumlah elemen tidak nol pada suatu baris menunjukkan derajat dari simpul. Setiap kolom mempunyai tepat dua elemen yang tidak nol. Suatu kolom yang hanya mempunyai satu elemen tidak nol menunjukkan suatu gelung.

LATIHAN Tentukan matrik Adjasensi dan Insidensi dari Graf tak berarah Berikut V4 V5 V2 V3 V1 e6 e5 e4 e3 e2 e1 e8 e7 JAWAB

MATRIK RUAS Matriks ukuran (2 X M) atau (M X 2) yang menyatakan ruas dari Graf. Matriks ini tidak dapat mendeteksi adanya simpul terpencil, kecuali jumlah simpul yang terdapat dalam Graf disebutkan.

CONTOH V4 V5 V2 V3 V1 e6 e5 e4 e3 e2 e1 e8 e7 Atau

GRAF PLANAR Sebuah graf dikatakan graf planar bila graf tersebut dapat disajikan (secara geometri) tanpa adanya ruas yang berpotongan. Sebuah graf yang disajikan tanpa adanya ruas yang berpotongan disebut dengan penyajian planar/map/peta.

Pada penyajian planar/map, dikenal istilah region Pada penyajian planar/map, dikenal istilah region. Derajat dari suatu region adalah panjang walk batas region tersebut. CONTOH d ( r1 ) = 3 d ( r2 ) = 3 d ( r3 ) = 4 d ( r4 ) = 4 d ( r5 ) = 3 d ( r1 ) = 3 d ( r2 ) = 3 d ( r3 ) = 5 d ( r4 ) = 4 d ( r5 ) = 3

FORMULA EULER UNTUK GRAF PLANAR Untuk Graf Planar berlaku Formula Euler berikut : V – E + R = 2 Dimana V = jumlah simpul, E = jumlah ruas, R = jumlah region

Jawab 1 Matriks Adjacency Matriks Incidence