HOMOMORFISMA GRUP (Lanjutan)

Teorema VII.2 Misalkan < G, . > grup dan < B,* > sistem aljabar dengan operasi *. Maka fungsi f : G  B mengawetkan operasi maka Im(f) merupakan grup terhadap operasi * yang termuat dalam sistem B. Bukti: Dengan sedikit perubahan pada pembuktian Teorema VII.1 maka dapat dibuktikan sifat ketertutupan, identitas dan hukum invers. Tinggal dibuktikan bahwa hukum assosiatif berlaku. Misalkan f(a), f(b), f(c) dalam f(G). Pada satu sisi, ( f(a)*f(b) ) * f(c) = f(ab)*f(c) = f((ab)c) Sedangkan pada sisi lain, f(a) * (f(b)*f(c)) = f(a)*f(bc) = f(a(bc)) Karena G grup maka (ab) c = a (bc) sehingga kedua hasil di atas sama.

Definisi VII.4 Misalkan f : G  H homomorfisma grup. Inti dari f atau Ker(f) didefinisikan sebagai anggota G yang dipetakan oleh f ke anggota identitas dari H yaitu Ker(f) = { x  G | f(x) = e }. Contoh VII.7 Bila didefinisikan pemetaan f : Z20*  Z20* dengan f(x) = x2 maka dengan menggunakan metode trial and error akan diperoleh Ker(f) = { 1, 9, 11,19 }.

Teorema VII.3 Jika f : G  H homomorfisma grup maka Ker(f) grup bagian dari G. Bukti : Akan dibuktikan bahwa e dalam Ker(ƒ). Telah ditunjukkan bahwa f(e) = e. Akibatnya identitas e dalam G merupakan anggota Ker(f).

Akan ditunjukkan bahwa Ker(ƒ) tertutup. Misalkan x, y dalam Ker(f). Karena x, y dalam Ker(f) maka f(x) = e dan f(y) = e sehingga (xy) = f(x) f(y) = e e= e. Oleh karena itu , xy dalam Ker(f). Akan ditunjukkan bahwa Ker(ƒ)mengandung invers dari anggotanya. Misalkan x dalam Ker(f). Karena x dalam Ker(f) maka f(x) = e sehingga f(x) = e f(x) f(x-1) = e f(x-1) f(x x-1) = f(x-1) f(e)= f(x-1) e= f(x-1) Berarti x-1 dalam Ker(f).■

Teorema VII.4 Misalkan f : G  H homografisma grup dengan peta f(g). Sifat-sifat berikut ini berlaku : Jika G berhingga maka orde dari f(G) membagi orde G. Jika G siklik maka f(G) siklik. Jika a  G mempunyai orde berhingga maka order dari f(a) membagi order a. Jika G abelian maka f(G) abelian.

Contoh VII.8 : Fungsi f : dengan f(x) = 8x merupakan homomorfisma 2 ke 1. Karena f(0) = 0 dan f(5) = 0 maka K=Ker(f) = { 0, 5 }. Koset dari K dibawa ke anggota dari peta f yaitu 10 anggota dibawa dalam 2 ke 1 cara ke 5 anggota peta f. { 0 , 5 }  0 { 1 , 6 }  8 { 2 , 7 }  6 { 3 , 8 }  4 { 4 , 9 }  2

Teorema VII.5 Misalkan f : G  H homomorfisma grup dengan inti Ker(f) dan peta f(G). Sifat-sifat berikut ini berlaku : Fungsi f injektif jika dan hanya jika Ker(f)={ 0 } Jika f injektif maka G isomorfis dengan f(G).

Contoh VII.9 : Didefinisikan pemetaan f : Z  Z dengan aturan f(x) = 3x. Karena f(x+y) = 3(x+y) = 3x+3y = f(x) + f(y) maka f homomorfisma. Penyelesaian persamaan 3x = 0 adalah x = 0 sehingga Ker(f) = { 0 } atau f injektif. Dengan menggunakan teorema maka Z isomorfis dengan Im(f) = { 3x | x dalam Z } = (3) yang merupakan grup bagian sejati dari Z.■

Soal VII.1 Misalkan diketahui R himpunan bilangan real dan R* = R – {0}. Didefinisikan f : R*  R* dengan f(x) = x2 Buktikan f homomorfisma tetapi f tidak injektif. Jawab : Berdasarkan Contoh VII.4, dengan mengingat R* grup terhadap operasi perkalian maka f homomorfisma tetapi Ker(f) = { x  R* | f(x) = x2 = 1 } = { 1, -1 } ≠ { 1 } sehingga f tidak injektif.

Latihan Tentukan fungsi ini homomorfisma atau bukan. f : Z  R* dengan f(k) = 2 . f : R  R dengan f(x) = x . f : Z  Z dengan f(k. 1) = k. 1. Jika pada soal nomor 1 di atas homomorfisma maka tentukan intinya.

Diketahui f : R  R+ dengan f(x) = 2-x Diketahui f : R  R+ dengan f(x) = 2-x. Tunjukkan bahwa f homomorfisma yang injektif dengan uji kernel.

TERIMA KASIH