The Logical Basis For Computer Programming Richard Waldinger Zohar Manna

Introduction Kebenaran suatu pernyataan bisa ditentukan dari strukturnya saja, tanpa harus tahu kebenaran pembentuk-pembentuknya (constituents). Seperti P or (not P) dan setiap pernyataan dengan bentuk serupa adalah benar, tidak peduli apakah P benar atau salah. Suatu kalimat abstrak adalah valid jika bernilai benar tanpa mempedulikan kebenaran atau kesalahan dari proposisi-proposisi pembentuknya.

INTRODUCTION (CONT) Sebagai contoh, jika kita tahu bahwa kalimat abstrak not ( P and (not P) ) or Q valid, maka kita bisa dengan cepat menyimpulkan bahwa kalimat-kalimat kongkrit not ( [x  0] and (not [x  0]) ) or ( y  0 ) bernilai true (benar), tanpa harus tahu apakah x  0 dan y  0 bernilai true atau false (salah).

INTRODUCTION (CONT) Sebaliknya, setiap instance dari suatu kalimat abstrak seperti P and (not P) bernilai false tanpa harus tahu apakah P bernilai true atau false. Selanjutnya, kalimat semacam ini akan disebut kalimat contradictory. Perhatikan bahwa suatu kalimat F adalah valid precisely when (ketika secara pasti) negasi (negation) nya, yaitu (not F) adalah contradictory.

INTRODUCTION (CONT) Di samping itu, banyak kalimat-kalimat abstrak seperti P or Q dan not P tidak valid maupun tidak contradictory; karena mereka mempunyai instances yang bisa bernilai true atau false.

INTRODUCTION (CONT) Kemudian ada pasangan kalimat-kalimat abstrak seperti if P then Q dan if (not Q) then (not P), adalah ekuivalen, dalam pengertian bahwa suatu instance konkrit salah satu dari keduanya bernilai true precisely when contoh yang bersesuaian dari satunya bernilai true. Sebagai contoh, dua kalimat kongkrit “Jika seorang mahasiswa mengikuti ujian akhir suatu matakuliah, maka mahasiswa tersebut akan mendapat nilai untuk matakuliah tersebut.” dan “Jika seorang mahasiswa tidak mendapat nilai suatu matakuliah, maka mahasiswa tersebut tidak mengikuti ujian akhir untuk matakuliah tersebut.” adalah contoh dari pasangan kalimat di atas dan keduanya bernilai true. Akan tetapi keduanya tidak valid.

Language Seperti halnya bahasa pada umumnya, maka logika proposisional terdiri dari kalimat-kalimat (sentences), khususnya kalimat abstrak (abstract sentence). Aturan sintaktik (syntactic rules) menerangkan tata cara pembentukan kalimat dalam logika proposisional ( pengertiannya sesuai dengan aturan sintaktik dalam setiap bahasa pemrograman (programming language) ).

Language (propositions ) Kalimat-kalimat dalam (bahasa) logika proposisional dibentuk dari simbol-simbol, yang disebut proposisi (propositions). Simbol-simbol yang dimaksud dikelompokkan menjadi dua, yaitu : Simbol-simbol kebenaran (truth symbols) true dan false Simbol-simbol proposisional (propositional symbols) P, Q, R, S, P1, Q1, R1, S1, P2, Q2, R2, S2, ... (huruf-huruf besar P, Q, R, atau S, dan mungkin dengan indeks-indeks numerik).  Dalam pembicaraan tidak resmi, huruf-huruf skrip E, F, G, dan H, dan mungkin dengan subskrip (indeks) numerik akan digunakan untuk menyatakan kalimat.

Language (sentences) Kalimat-kalimat dalam logika proposisional dibangun dari proposisi-proposisi dengan menerapkan propositional connectives : not, and, or, if-then, if-and-only-if, if-then-else Kalimat dibentuk menurut aturan-aturan (rules) berikut : setiap proposisi, yaitu suatu simbol kebenaran atau suatu simbol proposisi merupakan kalimat. apabila F kalimat, maka demikian juga negasi (negation) nya (not F). apabila F dan G kalimat, maka demikian juga konjungsi (conjunction) nya, yaitu (F and G), selanjutnya F maupun G disebut conjuncts dari (F and G).

Language (sentences - CONT) Kalimat dibentuk menurut aturan-aturan (rules) berikut : apabila F dan G kalimat, maka demikian juga disjungsi (disjunction) nya, yaitu (F or G), selanjutnya F maupun G disebut disjuncts dari (F or G). apabila F dan G kalimat, maka demikian juga implikasi (implication) nya, yaitu (if F then G). Selanjutnya F disebut antecedent dan G disebut consequent dari (if F then G). Kalimat (if G then F) disebut converse dari kalimat (if F then G). apabila F dan G kalimat, maka demikian juga ekuivalensi (equivalence) nya, yaitu (F if and only if G), selanjutnya F disebut sisi-kiri (left-hand side) dan G disebut sisi-kanan (right-hand side) dari (F if and only if ). G apabila F, G dan H kalimat, maka demikian juga kondisional (conditional) nya, yaitu (if F then G else H). Selanjutnya F, G, dan H masing-masing disebut klausa-if (if-clause), klausa-then (then-clause), dan klausa-else (else-clause) dari kondisional (if F then G else H).

SENTENCE (EXAMPLES) Ekspresi berikut E : ((not(P or Q)) if and only if ((not P) and (not Q))) merupakan kalimat (sentence), karena P dan Q keduanya merupakan kalimat, jadi (P or Q), (not P), dan (not Q) merupakan kalimat, sehingga (not (P or Q)) and ((not P) and (not Q)) merupakan kalimat, jadi ekspresi E, ((not(P or Q)) if and only if ((not P) and (not Q))), merupakan kalimat.

Notation (not (P and (not Q))) not (P or Q) if and only if (if ((P or Q) and (if Q then R)) then (if (P and Q) then (not R)))

Notation (cont) bisa ditulis sebagai berikut : (if ((P or Q) and (if Q then R)) then (if (P and Q) then (not R))) bisa ditulis sebagai berikut :

Notation (conventional) Notasi yang digunakan Notasi konvensional and  atau & or  not ~ atau  if – then  atau  if and only if  atau  if – then - else tidak ada ((~(P  Q))  ((~P)  (~Q)), dan (((P  Q)  (Q  R))  ((P  R)  (~R)))

Meaning of a Sentence Memperlihatkan bagaimana memberi (atau memasang) nilai-nilai kebenaran (truth values), true atau false, ke kalimat logika proposisional. Apakah nilai kebenaran suatu kalimat seperti (P or (not Q)) adalah true atau false jika diketahui apakah nilai-nilai kebenaran dari simbol-simbol proposisional P dan Q itu sendiri true atau false. Informasi ini disediakan oleh suatu interpretation.

Interpretation Suatu interpretasi I merupakan suatu pemberian (assignment) suatu nilai kebenaran, true atau false, ke masing-masing himpunan simbol-simbol proposisional; interpretasi kosong (empty interpretation) tidak memberi nilai kebenaran ke suatu simbol proposisional manapun. Untuk sebarang kalimat F, suatu interpretasi I dikatakan sebagai interpretasi untuk (interpretation for) F jika I memberi suatu nilai kebenaran, true atau false, ke masing-masing simbol proposisional dari F. Sebagai contoh, perhatikan kalimat F : P or (not Q) Salah satu interpretasi untuk F memberi nilai false ke P dan nilai true ke Q, yaitu :

Interpretation (cont) Interpretasi lain untuk F adalah : Selanjutnya bisa dikatakan bahwa P bernilai false dan Q bernilai true di bawah (under) I1 dan P bernilai false dan Q bernilai false under I2.

Semantic Rules Menjelaskan bagaimana cara menentukan nilai kebenaran suatu kalimat (sentence), atau aturan-aturan (rules) apa saja yang diperlukan untuk menentukan nilai kebenaran dari suatu kalimat.

Semantic Rules (cont) Misal E suatu kalimat dan I merupakan suatu interpretasi untuk E. Maka nilai kebenaran dari E (dan semua kalimat-kalimat bagiannya) di bawah I ditentukan dengan menerapkan secara berulang-ulang aturan-aturan semantik berikut : aturan proposisi nilai kebenaran dari masing-masing simbol proposisional P, Q, R, ... dalam E sama dengan nilai kebenaran yang diberikan oleh I pada simbol tersebut.

Semantic Rules (cont) aturan true kalimat true bernilai true under I. aturan false kalimat false bernilai false under I. aturan not negasi (negation) dari F (yaitu, not F) bernilai true jika F false, dan bernilai false jika F true. aturan and konjungsi (conjunction) (yaitu, F and G) bernilai true jika kedua F dan G bernilai true, sebaliknya bernilai false (yaitu, jika F false atau G false). aturan or disjungsi (disjunction) (yaitu, F or G) bernilai true jika F true atau G true, dan sebaliknya bernilai false (yaitu, F dan G G bernilai false).

Semantic Rules (cont) aturan if-then implikasi (implication) (yaitu, if F then G) bernilai true jika F false atau G true, dan sebaliknya bernilai false (yaitu, jika F true dan G false). aturan if-and-only-if ekuivalensi (equivalence) (yaitu, F if and only if G) bernilai true jika nilai kebenaran F sama dengan nilai kebenaran G (yaitu, jika F dan G keduanya bernilai true atau jika F dan G keduanya bernilai false), dan sebaliknya bernilai false (yaitu, jika F true dan G false atau jika F false dan G true). aturan if-then-else nilai kebenaran dari kondisional (conditional) (yaitu, if F then G else H) adalah sama dengan nilai kebenaran dari G jika F bernilai true, dan sama dengan nilai kebenaran dari H jika F bernilai false.

Sentence Properties Suatu kalimat F dikatakan valid jika F bernilai true di bawah (under) setiap interpretasi untuk F . Kalimat valid dalam logika proposisional kadang-kadang disebut tautologies. Suatu kalimat F dikatakan satisfiable jika F bernilai true di bawah suatu interpretasi untuk F . Suatu kalimat F dikatakan contradictory (atau unsatisfiable) jika F bernilai false di bawah setiap interpretasi untuk F .

Sentence Properties Suatu kalimat F implies kalimat G jika untuk setiap interpretasi I sekaligus untuk F dan G. Jika F bernilai true di bawah I maka G juga bernilai true di bawah I. Dua kalimat F dan G dikatakan equivalent jika di bawah setiap interpretasi I untuk F dan G, F mempunyai nilai kebenaran sama dengan nilai kebenaran G Suatu kumpulan kalimat-kalimat F1, F2, ... dikatakan consistent jika ada beberapa interpretasi untuk F1, F2, ... di mana masing-masing Fi bernilai true.

Remark (satisfiable and valid) Suatu kalimat F satisfiable precisely when negasinya (not F) tidak valid. Diketahui bahwa F satisfiable precisely when (dengan definisi satisfiabilitas) bernilai true di bawah suatu interpretasi I precisely when (dengan aturan not) (not F) bernilai false di bawah suatu interpretasi I precisely when (dengan definisi validitas) (not F) tidak valid. 