Geometri terurut Disusun oleh: Ana Samrotul Jannah (4101408131) Manis Rahayu (4101408141) Dewi Khodijah (4101408151) Winaningsih (4101408162)

KONSEP URUTAN PADA GARIS Sistem Aksioma urutan, yaitu U1: (ABC) mengakibatkan (CBA). (ABC) dibaca “Titik B antara titik A dan titik C”. U2: (ABC) mengakibatkan ~ (BCA), ~ (BCA) berarti: Tidak BCA. U3: A, B, C berlainan dan segaris jika dan hanya jika (ABC), (BCA) atau (CAB). U4: Jika P segaris dan berbeda dengan A, B, C maka (APB) mengakibatkan (BPC) atau (APC) tetapi tidak dua-duanya. U5: Jika A  B, maka ada X, Y, Z sehingga (XAB), (AYB), (ABZ).

SIFAT-SIFAT ELEMENTER KE-ANTARA-AN Dari aksioma U3.1 kita dapat menarik kesimpulan hal sebagai berikut : (ABC) mengakibatkan garis AB = garis BC = garis AC, atau disingkat AB = BC = CA. (ABC) mengakibatkan bahwa AB memuat C, BC memuat A, AC memuat B.

SIFAT-SIFAT ELEMENTER KE-ANTARA-AN Teorema 1: (ABC) mengakibatkan (CBA) dan (ABC) mengakibatkan ~ (BCA), (BAC) ~ (ACB) dan ~ (CAB). Bukti : Menurut U1, (ABC)  (CBA), menurut U2, (ABC) dan (CBA) mengakibatkan ~ (BCA) dan ~ (BAC). Andaikan (ACB) maka menurut U1 kita peroleh (BCA). Hal ini berlawanan dengan ~ (BCA). Jadi haruslah ~ (ACB). Andaikan (CAB) menurut U2, diperoleh ~ (ABC). Ini berlawanan dengan (ABC). Ini haruslah ~ (CAB).

RUAS GARIS Definisi: Apabila A  B, maka himpunan H = {X  (AXB)} disebut ruas garis atau disingkat . A dan B disebut ujung ruas. Akibat: = {X  (AXB)}. Teorema 2: Jika A  B, maka =  AB A  , B  himpunan tak kosong.

Bukti: Oleh karena (AXB) = (BXA) dan ruas garis BA = {X: (BXA)} maka ruas garis AB = ruas garis BA. Andaikan X  ruas garis AB; maka (AXB). Ini berarti A, X, B segaris sehingga X AB. Jadi AB  ruas garis AB. Andaikan A  AB. Jadi berlakulah (AAB). Ini berlawanan dengan U3.1. Jadi A  AB. Begitu pula B  AB. Oleh karena A  B, menurut U5, ada X sehingga (AXB). Jadi X  AB

SINAR ATAU SETENGAH GARIS Definisi: Jika dua titik A dan B, A  B, maka himpunan H = {X  (XAB)} dinamakan sinar atau setengah garis. Sinar itu ditulis sebagai A/B (“A atas B”). Kadang-kadang A/B dinamakan perpanjangan AB melampaui A. Titik A dinamakan suatu ujung sinar A/B. (Gambar 1).

SINAR ATAU SETENGAH GARIS Teorema 3: Jika A  B, maka A/B  AB; B/A  AB. A  A/B; B  A/B. A/B tidak hampa. Teorema 4: Jika A  B maka AB = A/B  {A}   {B}  B/A. Himpunan-himpunan pada ruas kanan saling lepas. Teorema 5: Jika sinar P/A memotong sinar P/B, maka P/A = P/B

Bukti teorema 3: Kita buktikan i. Ambil X  A/B sehingga (XAB). Ini berarti X  AB. Ambil Y  B/A. Jadi (YBA). Ini berarti Y  BA atau Y  AB Jadi A/B AB ;B/A AB.

Bukti teorema 4:   Andaikan S = A/B  {A}   {B}  B/A. Kita kan membuktikan S = AB. Untuk ini kita akan membuktikan S  AB dan AB  S. Berdasarkan teorema 2 dan teorema 3 di atas, , A/B, B/A, {A} dan {B} adalah himpunan bagian dari AB. Jadi telah terbukti bahwa S  AB. Kita buktikan sekarang bahwa AB  S. Andaikan X  AB. Apabila X = A atau X = B, jelas X  S. Apabila X  A atau X  B, maka ada salah satu kemungkinan berikut, yaitu (ABX), (BXA), atau (XAB). Andaikan (ABX) maka (XBA), ini berarti X  B/A. JAdi X  S. Andaikan (BXA), ini berarti X  = sehingga X  S. Andaikan (XAB), ini berarti X  A/B, jadi pula X  S. Jadi tiap X  AB ada di S. Ini berarti AB  S. Oleh karena S  AB, B  A/B, maka ini berarti bahwa S = AB. Sekarang akan kita buktikan ii. Diketahui A  B. Menurut teorema 2 dan teorema 3, A  , A  A/B, A  B/A; begitu pula B  , B  A/B. Andaikan dan A/B tak lepas, jadi ada X   A/B sehingga X  AB dan X  , dan X A/B. Ini berarti (AXB) dan (XAB). Dari (AXB) kita peroleh (BXA) sehingga ~ (XAB), menurut U2. jadi berlawanan dengan (XAB). Jadi  A/B = .

Bukti teorema 6: Oleh karena P/A memotong P/B, maka ada C  P/A dan C  P/B. Jadi (CPA) dan (CPB). Jadi P  C, P  A, P  B sedangkan P, C, A, B segaris menurut U4, (CPA) mengakibatkan (CPB) atau (APB), tetapi tidak bersamaan. Oleh karena (CPB) maka ~ (APB). Untuk membuktikan P/B = P/B, akan kita buktikan P/A  P/B dan P/B  P/A. Andaikan X  P/A, maka (XPA). Oleh karena P  X, P  A dan P, X, A, B segaris maka menurut U4, berlaku (XPB) atau (APB). Oleh karena telah terbukti bahwa ~ (APB), maka (XPB). Ini berarti X  P/B sehingga P/A  P/B.

SINAR ATAU SETENGAH GARIS Akibat 1: Jika P  A, maka hanya ada satu sinar dengan ujung P dan yang memuat A. Definisi: Jika P  A, sinar tunggal dengan ujung P yang memuat A, ditulis sebagai (dibaca “sinar PA”). Akibat 2: Andaikan R sebuah sinar dengan ujung P. Jika A  R maka R = . Akibat 3: Tiap sinar P/X dengan ujung P dapat dtulis

SINAR ATAU SETENGAH GARIS Akibat 4. (APB) mengakibatkan = P/B, dan = P/A. Akibat 5: Apabila A  B maka  AB. Akibat 6: Apabila = P/B maka = P/A. Akibat 7: jika dan hanya jika P/A = P/B.

SINAR ATAU SETENGAH GARIS Definisi: Sinar R dan sinar R dinamakan berlawanan (arah) apabila memiliki titik ujung P yang sama dan P terletak antara tiap titik R dan tiap titik R. Teorema 6 : Andaikan R dan R dua sinar dengan titik ujung P yang sama. Andaikan A  R dan B  R sehingga (APB). Maka P terletak antara tiap titik R dan tiap titik R berlawanan, Akibat 1 : Sinar dan sinar P/A berlawanan dan P terletak antara tiap titik sinar dan titik sinar P/A.

Bukti teorema 6: Andaikan X  R, Y  R. Kita akan membuktikan bahwa (XPY). Oleh karena A  R dan B  R kita peroleh R = = ……………(1) R = ………….(2) Oleh karena (APB) maka PA = P/B…………………(3) Sehingga = P/B……...(4) Jadi = P/X…………..(5) Jadi dari (APB) kita peroleh = P/A………………(6) Sehingga = P/A……(7) Jadi = P/Y………..(8) Menurut (1) PX = P/Y Sehingga terkandung dalam sinar P/Y atau X  P/Y. Ini berarti (XPY). Hasil ini dapat kita capai pula dari persamaan (2) dan (5).

SINAR ATAU SETENGAH GARIS Akibat 2: Andaikan (APB) maka P/A dan P/B berlawanan dan P ada dianrtara tiap dua titik masing-masing sinar itu. Akibat 3: Tiap pasang dua sinar yang berlawanan arah saling lepas. Akibat: Sebuah sinar tidak berlawanan dengan diri sendir

PEMISAHAN GARIS Pemisahan adalah salah satu konsep yang sangat penting dalam geometri. Untuk memperkenalkan konsep ini perhatikanlah gambar berikut Definisi: Sebuah titik P memisah himpunan titik A pada sebuah garis menjadi dua himpunan S dan S apabila dipenuhi syarat-syarat sebagai berikut: A = S  S  {P} P terletak antara tiap titik S dan tiap titik S P tidak terletak antara dua titik S atau antara dua titik S S, S dan {P} saling lepas.

PEMISAHAN GARIS Teorema 7: (Pemisahan garis). Andaikan (APB) maka P memisah garis AB menjadi sinar P/A dan P/B. Akibat 1. Pemisahan garis Teorema di atas berlaku apabila P/A dan P/B masing-masing diganti dengan dan Akibat 2. (Kemanunggalan pemisahan) Andaikan l sebuah garis dan P  l. Maka P memisahkan l menjadi dua himpunan yang tunggal; kedua himpunan ini berujung di P dan merupakan sinar.

Bukti teorema 7: P/A dan P/B masinng-masing tak hampa (teorema 3). Kita harus membuktikan AB = P/A  {P}  P/B P terletak antara tiap titik P/A dan tiap titik P/B P tidak antara dua titik P/A atau tidak antara dua titik P/B P/A, P/B dan {P} saling lepas. Bukti: Andaikan P/A  {P}  P/B = S. Kita akan membuktikan bahwa AB = S. untuk ini akan kita buktikan S  AB dan AB  S. diketahui (APB), jadi AB = PA = PB menurut teorema 3, P/A  PA, P/B  PB. Jadi pula P/A AB, P/B  AB. Oleh karena P  PA = AB kita peroleh bahwa P/A  P/B  {P}  AB atau S  AB.

Sebaliknya, andaikan X  AB. Apabila X = P jelas X  S Sebaliknya, andaikan X  AB. Apabila X = P jelas X  S. Apabila X  A, maka (APB) mengakibatkan P  A, P  B, P  X dan segaris dengan A, B, X. Menurut U4, (APB) menngakibatkan (APX) atau (XPB) jadi (XPA) atau (XPB). Ini berarti X  P/A atau X  P/B. Ini berarti bahwa X  S. Sehingga AB  S, maka terbuktilah AB = S. Menurut akibat 2 teorema 6, (APB) mengakibatkan P terletak antara tiap titik P/A dan tiap titik P/B. Andaikan X  P/A dan Y  P/A dan andaikan P antara X dan Y menurut teorema 6, P/A berlawanan dengan P/A. Ini bertentangan dengan akibat 4, teorema 6. Begitu pula untuk P/B. P  P/A, P  P/B sedangkan P/A dan P/B berlawanan arah, jadi saling lepas. Jadi ketiga himpunan {P}, P/A dan P/B saling lepas.

PEMISAHAN GARIS Akibat 3: (Dekomposisi garis). Apabila A  B maka AB = A/B  {A}  . Himpunan A/B, {A} dan saling lepas. Akibat 4: (Dekomposisi sinar). Jika A  B maka Himpunan pada ruas kanan saling lepas Akibat 5: Andaikan A  B maka X  jika dan hanya jika (AXB) atau X = B dan (ABX)

PEMISAHAN GARIS Akibat 6: (ABC) mengakibatkan dan A/B = A/C. Teorema 8: (Pemisahan ruas garis) Andaikan (APB) maka P memisah ruas menjadi AP dan PB Akibat 1: Apabila P  maka dan Akibat 2: Tiap ruas garis adalah sebuah himpunan tak hingga.

HIMPUNAN KONVEKS Definisi: Himpunan titik S dikatakan konveks, apabila X  S, Y  S dan X  Y mengakibatkan . Akibat: Kalau A dan B dua titik berlainan maka garis AB adalah konveks. Teorema 9: Tiap sinar adalah konveks. Teorema 10: Tiap ruas garis adalah konveks.

KONSEP URUTAN 6 (aksioma Pasch) Andaikan g sebuah garis yang sebidang dengan titik A, B, C tetapi g tidak melalui A, B atau C. Apabila g mamotong maka g memotong atau tetapi tidak duaduanya. Perhatikan juga bahwa U6 juga berlaku apabila A, B, C berlainan dan segaris atau apabila C = A atau C = B.

KONSEP URUTAN Definisi: Sebuah geometri insidensi yang di dalamnya telah didefinisikan konsep urutan yang memenuhi U1 hingga U6 dinamakan geometri insidensi urutan. Definisi: Jika A  g himpunan semua titik X hingga memotong g dinamakan setengah bidang yang dilambangkan dengan g/A (dibaca “g atas A”); garis g disebut tepi setengah bidang. Setengah bidang itu serupa dengan sebuah sinar P/A. Sebab P/A = {X/(XPA)}. Jadi himpunan semua X sehingga ruas memotong P.

KONSEP URUTAN Teorema 1: Apabila A  g maka: g/A  gA; gA adalah bidang yang melalu g dan A. g, g/A dan {A} saling lepas. g/A   Teorema 2: Apabila g/A memotong g/B, maka g/A = g/B. Akibat 1: Apabila A  g, maka hanya ada tepat satu setengah bidang dengan tepi g dan yang memuat A.

KONSEP URUTAN Definisi: Jika A  g, berarti setengah bidang bertepi g yang memuat A; dibaca “setengah bidang gA”. Akibat 2: Andaikan H setengah bidang bertepi g. Kalau A  H maka H = . Akibat 3: Setiap setengah bidang g/X bertepi g dapat disahikan sebagai . Akibat 4: Jika AB memotong g dan A  g, B  g maka = g/B dan = g/A. Akibat 5: Jika A  g, maka  gA = gA. Andaikan C  g/A, maka = g/C  gC = gA.

SETENGAH BIDANG YANG BERHADAPAN Definisi: Dua setengah bidang S dan S dinamakan berhadapan apabila S dan S memiliki tapi yang sama sedangkan tiap titik di S dapat dihubungkan dengan tiap titik di S oleh sebuah ruas garis yang memotong g. Teorema 3: Andaikan S dan S dua setengah bidang yang bertepi g. Andaikan titik A  S dan titik B  S sehingga memotong g, maka tiap ruas garis yang menghubungkan sebuah titik di S dengan sebuah titik di S akan memotong g.

SETENGAH BIDANG YANG BERHADAPAN Definisi: Dua setengah ruang S dan S dinamakan berhadapan apabila tepi S dan tepi S sama dan tiap titik dalam S dapat dihubungkan dengan tiap titik dalam S oleh sebuah ruas garis yang memotong tepi sekutu itu. Atau apabila X  S, Y  S dan V tepi S dan S, maka memotong V.

PEMISAHAN BIDANG Andaikan g sebuah garis, g memisah sebuah himpunan titik-titik B menjadi dua himpunan S dan S, apabila syarat-syarat berikut telah dipenuhi: B = S  S  g. Tiap ruas garis yang menghubungkan sebuah titik di S atau dua titik di S tidak memotong g. Tiap ruas garis yang menghubungkan dua titik di S atau dua titik di S tidak memotong g. S, S dan g saling lepas.

PEMISAHAN BIDANG Teorema 4: Andaikan titik A, B  V dan garis g  V (V bidang), A  g, B  g. Andaikan memotong g, maka g memisah bidang V menjadi setengah bidang g/A dan g/B. Dalil Bantu 1: Jika P  g, maka ,asal saja A  g. Dalil Bantu 2: Tiap setengah bidang termuat dalam bidang tunggal. Teorema 6: Tiap setengah bidang tepinya tunggal.

PEMISAHAN BIDANG Teorema 7: Tiap setengah bidang memiliki setengah bidang berhadapan yang tunggal. Teorema 8: Andaikan V sebuah bidang. Apabila A, B, C titik-titik yang tidak pada bidang V dan apabila V memotong maka V memotong atau , tetapi tidak memotong dua-duanya.

PEMISAHAN BIDANG Definisi: Andaikan V sebuah bidang yang tidak memuat titik A. Dengan V/A dimaksud himpunan semua titik X (dalam ruang), sehingga memotong V. jadi V/A = {X  memotong V}. V/A dinamakan setengah runag dan V dinamakan tepi setengah ruang itu.

SISI GARIS Pengertian sudut menyangkut berbagai konsep yaitu: Sebuah gambar yang terdiri atas dua garis. Daerah pada bidang yang dibatasi oleh dua garis yang berpotongan. Sebuah ukuran yang dinyatakan dengan bilangan real yang menggambarkan selisih arah dua garis yang berpotonga

SISI GARIS Definisi: Setengah bidang dengan tepi g disebut sebuah sisi dari g. Dua setengah bidang yang berhadapan dengan sisi g dinamakan sisi yang berhadapan. Dua titik atau dua himpunan titik dikatakan terletak pada sisi g yang sama apabila mereka terletak pada setengah bidang bertepi g yang sama, mereka terletak pada sisi g yang berhadapan apabila mereka terletak pada dua setengah bidang bertepi g yang berhadapan.

SISI GARIS Sifat-sifat: Andaikan titik A dan B terletak pada sisi g yang sama dan B dan C pada sisi g yang sama maka A dan C juga pada sisi g yang sama. Andaikan A dan B pada sisi g yang sama dan B dan C pada sisi g yang berhadapan maka A dan C treletak pada sisi g yang berhadapan. Andaikan A dan B terletak pada sisi g yang berhadapan dan B dan C terletak pada sisi g yang berhadapan maka A dan C terletak pada sisi g yang sama.

SISI GARIS Teorema 1: Dua titik yang berbeda terletaak pada sisi garis g yang sama jika dan hanya jika Kedua titik itu sebidang dengan g, Tidak terletak pada g dan Ruas garis yang menghubungkan kedua titik itu tidak memotong g. Teorema 2: Dua titik yang berbeda terletak pada dua sisi garis g yang berhadapan jika dan hanya jika dua titik itu tidak terletak pada g dan ruas garis kedua titik tersebut memotong g.

SISI GARIS Teorema 3: Jika P  g dan A  g maka P/A  g/A dan Teorema akibat 1: Andaikan P  g dan A  g maka Semua titik pada terletak pada sisi g yang sama dengan A. Semua titik P/A terletak pada sisi g yang berhadapan dengan sisi g tempat letaknya titik A. Teorema akibat 2: Jika P  g dan A  g maka semua titik ruas PA terletak pada sisi g yang sama dengan A.

SISI GARIS Teorema Akibat 3: Jika P  g dan A  g maka (P/A) kedua atau semua titik pada PA yang terletak pada sisi g yang sama (berhadapan) dengan A dan sebaliknya.

KEDUDUKAN ANTAR SINAR Definisi: Andaikan , dan tiga sinar yang berpangkalan sama di titik O. Andaikan dan berlainan dan tidak berlawanan (Gambar 3). Andaikan ada titik A1, B1 dan C1 sehingga A1  OA, B1  OB, C1  OC dan andaikan (A1, B1, C1) maka dikatakan bahwa sinar terletak antara dan . Ditulis

KEDUDUKAN ANTAR SINAR Pernyataan itu dapat pula dituangkan dalam bentuk yang setara, sebagai berikut: O, A, C berlainan dan tak kolinear. O  AC. dan tak kolinear. Teorema 4: mengakibatkan Teorema 5: mengakibatkan bahwa tiap pasang sinar dalam ganda berlainan dan tidak berlawanan.

KEDUDUKAN ANTAR SINAR Teorema 6: mengakibatkan: A, B terletak pada sisi OC yang sama. B, C terletak pada sisi OA yang sama. A, C terletak pada sisi OB yang berhadapan.

KEDUDUKAN ANTAR SINAR Teorema akibat: Andaikan maka Tiap titik dan tiap titik terletak pada sisi OC yang sama. Tiap titik dan tiap titik terletak pada sisi OA yang sama. Tiap titik dan tiap titik terletak pada sisi OB yang berhadapan. Teorema 7: Andaikan dan A1  , C1  maka memotong .

HUBUNGAN ANTARA URUTAN TITIK DAN URUTAN SINAR Teorema 8: mengakibatkan Teorema akibat: Andaikan diketahui (abc) di sini a, b, c melukiskan sinar yang sepangkal, maka akan berlaku (cba) dan (bca), (bac), (acb), (cab) tidak benar, dengan kata lain ~ (bca), ~ (bac), ~ (acb), ~ (cab). Teorema 9: dan mengakibatkan dan

BEBERAPA SIFAT SUDUT YANG SEDERHANA Teorema 10: Apabila maka ; OA’ adalah sinar yang berlawanan dengan . Teorema Akibat: mengakibatkan , dengan sinar yang berlawanan arah dengan

BEBERAPA SIFAT SUDUT YANG SEDERHANA Teorema 11: Andaikan titik B dan titik C terletak pada sisi OA yang berhadapan, andaikan berlawanan arah dengan , maka berlakulah dan atau dan berlawanan arah. Teorema 12: Apabila AB // DC dan AD // BC maka memotong

Definisi sudut: Andaikan ada tiga titik O, A, B yang berlainan dan tidak segaris himpunan titik. disebut sudut dan ditulis sebagai AOB. Jadi,

Sinar dan dinamakan sisi sudut dan O dinamakan titik sudut. Akibat: Dari sefinisi di atas mudah dilihat bahwa AOB = BOA dan AOB  AOB, di sini AOB menggambarkan bidang yang melalui A, O, dan B. Sebuah sudut adalah himpunan titik yang treletak pada sebuah bidang tunggal. Apabila dan berlainan dan tidak berlawanan arah dan apabila A  OA, B  OB maka AOB = AOB.

Definisi daerah dalam dan luar sudut: Daerah dalam sebuah AOB, yang dilambangkan dengan D(AOB) adalah himpunan titik X sehingga antara dan Dengan rumus Definisi: Dua buah sudut yang bertitik ujung sama membentuk sepasang sudut yang bertolakbelakang apabila kedua sisi sudut yang satu berlawanan arah dengan kedua kaki sudut yang lain.

Definisi: Dua garis l dan m dikatakan membentuk sebuah sudut apabila titik sudutnya berimpit dengan titik potong kedua garis itu dan apabila kedua kakinya tremuat dalam dua garis tersebut. Teorema 13: Dua garis yang berpotongan membentuk tepat 4 buah sudut .