Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Jambi 2017 PEMBUKTIAN TIDAK LANGSUNG Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Jambi 2017

Suatu argumen adalah valid secara logis jika premis-premisnya bernilai benar dan konklusinya juga bernilai benar. Berdasarkan pemikiran ini, jika premis-premis dalam suatu argumen yang valid membawa ke konklusi yang bernilai salah, maka paling sedikit ada satu premis yang bernilai salah. Cara pembuktian ini disebut pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kontradiksi atau reductio ad absurdum. Contoh : Premis 1 : Semua manusia tidak hidup kekal (Benar) Premis 2 : Chairil Anwar adalah manusia (Benar) Buktikan bahwa “Chairil Anwar tidak hidup kekal” (premis 3) dengan melakukan pembuktian tidak langsung.

Bukti : Misalkan bahwa : Chairil Anwar hidup kekal (premis 4) (dan kita anggap bernilai benar). Maka berarti : Ada manusia hidup kekal (premis 5). Tetapi premis 5 ini merupakan negasi dari premis 1. Yang sudah kita terima kebenarannya. Oleh karena itu premis 5 ini pasti bernilai salah. Karena premis 5 bernilai salah maka premis 4 juga bernilai salah. Sebab itu premis 3 bernilai benar. Jadi terbukti bahwa “Chairil Anwar tidak hidup kekal”. Ringkasnya: kita dapat membuktikan bahwa suatu pernyataan bernilai benar, dengan menunjukkan bahwa negasi dari pernyataan itu salah. Ini dilakukan dengan menurunkan konklusi yang salah dari argumen yang terdiri dari negasi pernyataan itu dan pernyataan atau pernyataan-pernyataan lain yang telah diterima kebenarannya.

Pembuktian dengan tak langsung terdiri dari: Proof by contrapositive (pembuktian dengan kontraposotive) Proof by contradiction (pembuktian dengan kontradiksi) 1. Proof by contraposotive Didefinisikan bahwa : Sehingga untuk membuktikan pernyataan p => q, cukup dengan membuktikan bahwa ~q akan mengakibatkan ~p.

Buktikan bahwa: “ jika 𝑛 2 bilangan ganjil , maka n adalah bilangan ganjil”. Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan kebenaran kontraposisinya. Misalnya: P = 𝑛 2 bilangan ganjil Q = n bilangan ganjil

Apakah p  q benar? Kita akan periksa apakah ~q  ~p benar? Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebgai n=2k, k bilangan asli. Akibatnya 𝑛 2 = (2𝑘) 2 =4 𝑘 2 =2 2 𝑘 2 . Artinya 𝑛 2 bilangan genap. Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil benar, sehingga kontraposisi ~q  ~p benar. Jadi implikasi p q benar, ini berarti 𝑛 2 bilangan ganjil maka n bilangan ganjil.

Pembukttian dengan kontradiksi -Pembuktian dilakukan dengan cara menambahkan negasi dari konklusi ke dalam premis, kemudian dibuktikan adanya kontradiksi - Dimulai dari negasi konklusi diikuti dengan premis -premis yang unsurnya berhubungan, sampai diperoleh suatu kontradiksi

Contoh: P  Q Q  R P PENYELESAIAN: P  Q Q  R P ~R (IP) ~Q 2,4 (MT) ~P 1,5 (MT) P Ʌ ~P 3,6 (Conj )