Probabilitas dan Statistik Random Variabel Probabilitas dan Statistik Hasdi Radiles 19770909 201101 1 005 Teknik Telekomunikasi Jurusan Elektro- Fakultas SainTek UIN Suska – Riau Pekanbaru, 01 April 2012

Syllabus Materi perkuliahan : Random variabel Random variabel diskrit Random variabel kontinu Distribusi khusus Analisa Join Distribusi Referensi: Douglas C. Montgomery: “Applied statistics and Probability for Engineers”, John Wiley & sons, Asia, 2007. http://stattrek.com/probability/random-variable.aspx?Tutorial=Stat, akses Mar 2012 Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Random variabel Definisi random variabel Sebuah fungsi yang memberikan bilangan real untuk setiap outcome yang terdapat dalam ruang sampel dari suatu eksperimen random (proses random). Dinotasikan dengan huruf kapital, dan setelah eksperimen dilakukan nilai yang didapat dari suatu random variabel di notasikan dengan huruf kecil. Diskrit: r.v. yang memiliki interval terbatas ( atau tak terbatas tetapi dapat hitung). Contohnya: jumlah garis pada permukaan, jumlah bit yang rusak, dll. Kontinu: r.v. yang memiliki interval bilangan real baik untuk terbatas maupun tak terbatas. Contohnya : arus listrik, panjang, tekanan, suhu, waktu, berat, dll Contoh soal 1: Manakah yang merupakan r.v. diskrit? Suatu percobaan melemparkan koin sebanyak tak terhingga Perhitungan mean munculnya gambar pada setiap pelemparan koin. Jumlah hari dalam setahun Jumlah anak yang lahir dalam setahun di kota pekanbaru Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Random variabel diskrit Penggambaran dari r.v. diskrit dapat disajikan dalam 2 fungsi yaitu: Fungsi distribusi probabilitas (probability mass function – pmf): Fungsi yang menggambarkan nilai probabilitas untuk masing-masing out come yang memenuhi syarat sebagai berikut: Untuk semua x: f (xi) ≥ 0 Total probabilitas:  f (xi) = 1 Definisi f (xi) = P(X = xi) Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function – CDF): Fungsi yang menggambarkan nilai kumulatif yang berarti lebih kecil atau sama dengan () nilai interval tertentu, dan memenuhi syarat: F(x) = P(X  x) ={  (xi) untuk xi  x} 0  F(x)  1 Jika x  y, maka F(x)  F(y) Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Random variabel diskrit Contoh soal 2: Dalam pengiriman 1000 bit informasi melalui kanal, 50 bit mengalami error selama transmisi. 2 bit dipilih secara random dengan metoda non-replacement dari 1000 bit tersebut. Misalkan r.v. X sebanding dengan jumlah bit yang error dalam sampel yang didapat. Berapakah fungsi distribusi kumulatif dari X? Jawab; P(X = 0) = (950/1000) x (949/999) =0.90245 P(X = 1) = 2 {950/1000 x 50/999} = 0.09509 P(X = 2) = 50/1000 x 49/999 =0.00245 Sehingga : F(0) = P(X  0) = 0.90245 F(1) = P(X  1) = 0.90245 + 0.09509 = 0.99754 F(2) = P(X  2) = 1 CDF harus digambarkan dari -< x <  dan bukan hanya untuk 0, 1, dan 2 saja. Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Random variabel diskrit Atribut r.v. Diskrit : Mean atau Nilai Ekspektasi Mean atau Nilai Ekspektasi dari r.v. diskrit dinotasikan dengan  atau E(X): Median : Merupakan nilai x dimana P(X  x) ≥ 0.5 atau P(X ≥ x) ≥ 0.5 Variansi (Var) dari X adalah: Standar Deviasi (SD) Nilai Ekspetasi dari fungsi random variabel Jika X adalah r.v. diskrit dengan pmf f(x), maka: Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Random variabel diskrit Contoh soal 3: Misalkan X adalah jumlah bit error dalam transmisi 4 bit sinyal. Kemungkinan nilai X adalah {0, 1, 2, 3, 4}. Misalkan model error diberikan adalah P(X = 0)=0.6561; P(X=1)=0.2916; P(X=2)=0.0486; P(X=3)=0.0036; P(X=4)=0.0001. Hitunglah mean dan variansi Gambarkan fungsi distribusi dan distribusi kumulatif dari r.v. X tersebut. Jawab: Tabel lebih mudah menggunakan ms office XL x x - 0.4 (x - 0.4)^2 f(X) f(x)(x-0.4)^2 -0.4 0.16 0.6561 0.104976 1 0.6 0.36 0.2916 2 1.6 2.56 0.0486 0.124416 3 2.6 6.76 0.0036 0.024336 4 3.6 12.96 0.0001 0.001296 Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Random variabel diskrit 0 1 2 3 4 x f(x) 0.6561 0.2916 0.0486 0.0036 0.0001 Probability mass function 0 1 2 3 4 x f(x) Cumulative Distribution function Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Random variabel kontinu Definisi : Jika X adalah r.v. kontinu, maka untuk sembarang x1 dan x2, berlaku: Penggambaran dari r.v. kontinu dapat disajikan dalam 2 fungsi yaitu: Fungsi distribusi probabilitas (probability density function – pdf): Memenuhi f (x) ≥ 0 Total probabilitas: Luas area dibawah fungsi f(x) untuk sembarang nilai a dan b berlaku: Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function – CDF): CDF dari suatu r.v. kontinu X adalah: Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Random variabel kontinu Contoh soal 4: Misalkan r.v. X menunjukkan arus yang di ukur dalam kawat tembaga dalam satuan mA dengan range [0, 20mA]. Diasumsikan bahwa pdf dari X adalah f(x) = 0.05 untuk 0  x  20mA. Berapakan probabilitas bahwa pengukuran arus yang didapatkan kurang dari 10 mA? Berapakah probabilitas pengukuran berkisar antara 5 dan 20? Buatlah grafik CDF dari r.v. X tersebut Jawab: Grafik pdf untuk r.v. X adalah dengan mengasumsikan diluar range f(x) = 0 Probabilitas arus kurang dari 10 mA adalah: Probabilitas arus berkisar antara 5 hingga 20mA adalah: Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Random variabel kontinu CDF dari r.v. X terdiri dari 3 bagian, yaitu F(X) = 0, untuk x < 0 mA F(X) = 0.05x untuk 0  x 20 mA F(X) = 1 untuk x > 20 mA 0 20 x F(x) 1 Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Random variabel kontinu Atribut r.v. kontinu Mean atau Nilai Ekspektasi Mean atau Nilai Ekspektasi dari r.v. diskrit dinotasikan dengan  atau E(X): Variansi (Var) dari X adalah: Standar Deviasi (SD) Nilai Ekspetasi dari fungsi random variabel Jika X adalah r.v. diskrit dengan pdf f(x), maka: Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Random variabel kontinu Contoh soal 5: Minimum arus yang mengalir pada sebuah perangkat elektronik adalah 10 mA. Pencatu daya perangkat tersebut mampu memberikan arus maksimal hingga 20 mA. Jika densitas dari arus tersebut adalah f(x) = 0.1 dengan hambatan 1, maka Berapakah mean dan variansi arus tersebut. Berapakah mean dari daya arus pada perangkat tersebut Jawab: Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Responsi #1 Sebuah provider internet memberikan 2 jenis layanan, yaitu layanan A dengan pembayaran tetap/bulan dan layanan B dengan bergantung pada pemakaian bandwidth. Diketahui jumlah pelanggan adalah 1000 sambungan dengan persentase 30% menggunakan layanan tetap dan sisanya adalah layanan B. Tarif layanan A adalah Rp. 500ribu/bulan, sedangkan layanan B Rp. 1/kb. Data menunjukkan bahwa 20% penggunaan bandwidth perbulan layanan B rata-rata 500MB, 80% 1GB dan sisanya 2GB. Berapakah mean dan variansi pembayaran layanan A dan B Manakah layanan yang lebih menguntungkan? Berikan alasannya Dari pengukuran lamanya baterai berfungsi didapatkan data bahwa minimal pemakaian adalah 5 menit. Akibat beragamnya umur laptop yang telah digunakan, fungsi f(x) = 20e-20(x-15) , dan x ≥ 15 menit, merupakan representasi data durasi baterai yang digunakan pada laptop di suatu perkantoran besar. Berapa persenkan jumlah baterai yang bekerja lebih dari 30 menit Jika standar kantor laptop harus berfungsi minimal 1 jam, berapa banyak laptop yang harus diganti baru? Hitunglah mean durasi baterai dan variansinya. Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Distribusi probabilitas join Illustrasi: [Telekomunikasi] Dalam penelitian suatu sistem komunikasi optik, besarnya error diklasifikasikan dalam 3 kelas (10-9, 10-10, 10-11, 10-12). Percobaan tersebut dilakukan dengan menggunakan fiber optik single mode, dan multimode. Bagaimanakah anda dapat memberikan analisa distribusi probabilitas errornya jika mengasumsikan jenis fiber yang digunakan? [komputer] Dalam sistem antrian pada komunikasi data, message dikirimkan melewati 4 kemungkinan server yang berbeda. Kondisi masing-masing server bisa dinyatakan dalam keadaan sibuk (congestion) atau dalam keadaan kosong (idle). Bagaimanakah anda menerangkan distribusi peluang message tersebut datang ke suatu server dan server sedang dalam keadaan sibuk? [Energi] kebutuhan listrik suatu kota berkisar [10 – 20MW]. Penggunaan energi ini bergantung pada hari pemakaiannya. Bagaimanakah kemungkinan distribusi penggunaan energi di kota tersebut? Kita perlu menganalisa join probablitas untuk dua atau lebih random variabel Untuk 2 r.v. disebut dengan bivariate distribution Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Probablitas join diskrit r.v. Joint probability mass function dari r.v. diskrit X dan Y di notasikan dengan fXY (x,y), memenuhi kondisi sebagai berikut: Marginal probability mass function dari r.v. diskrit X dan Y adalah: Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Probablitas join diskrit r.v. Contoh soal 6: Dalam sebuah drive test, seorang engineer melakukan panggilan dari lokasi yang berbeda-beda terhadap BTS yang baru on air. Setiap tempat dilakukan 4x panggilan dan rata-rata sinyal dicatatnya dalam satuan jumlah bar pada handpone. Misalkan X adalah r.v. yang menyatakan jumlah bar (kekuatan sinyal handphone) dan Y adalah r.v. Y yang menyatakan jumlah sukses panggilan yang dilakukan. Probabilitas data kedua r.v. tersebut diberikan oleh tabel disamping. Carilah marginal distribusi probabilitas X dan Y x = Jumlah bar dari kekuatan sinyal 1 2 3 Y= Jumlah sukses 4 0.15 0.1 0.05 0.02 0.03 0.2 0.01 0.25 Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Probablitas join diskrit r.v. Jawab: Penyelesaian dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu: dengan perhitungan persamaan dan perhitungan menggunakan tabel. dan dengan cara yang sama juga didapat kan distribusi marginal Y. perhatikan tabel disamping ini. x = Jumlah bar dari kekuatan sinyal fY(x,y) 1 2 3 Y= Jumlah sukses 4 0.15 0.1 0.05 0.3 0.02 0.17 0.03 0.2 0.25 0.01 0.28 fX(x,y) 0.55 Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Probablitas join diskrit r.v. Conditional pmf dari Y jika diberikan (X = x) adalah: memenuhi persyaratan Mean : Variansi Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Probablitas join diskrit r.v. Contoh soal 7 Carilah Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Probablitas join diskrit r.v. Independen Dua buah r.v. X dan Y dikatakan independen jika memenuhi salah satu yang mengakibatkan memenuhi smua kriteria berikut: untuk seluruh set A dan B dalam rentang X dan Y, dan sebaliknya Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012

Distribusi uniform Karakteristik: Finite possible value: memiliki range yang terbatas dan diskrit Equal probability: masing-masing outcome memiliki probabilitas yang sama Constant probability: probabilitas masing-masing outcome adalah konstan Atribut: Mean Variansi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x f(x) 0.1 Elektro - UIN SUSKA Update : 01 April 2012