PROBABILITY

Probability Concept There are 3 (three) ways of interpreting probabilities : Axiomatic Objective Subjective Classical (Equally Likely) Empirical (Relative Frequency)

Axiomatic Definisi : Misal S adalah sample space dan Peluang terjadi peristiwa A adalah P(A). Maka berlaku : P(A) > 0 P(S) = 1 If A1, A2, A3, … are mutually exclusive events then

OBJECTIVE Classical (Equally Likely) Jika suatu eksperimen dengan sampel space S berisi N titik sample yang mempunyai kesempatan yang sama (equally likely) dan MEE, kemudian jika n diantaranya adalah peristiwa A maka peluang peluang terjadinya peristiwa A dinotasikanP(A), didefinisikan sebagai :

OBJECTIVE Empirical Perhitungan peluang berdasarkan pendekatan empiris adalah atas dasar pengertian frekuensi relatifnya. Jika sebuah eksperimen dimana terjadi peristiwa A terjadi n kali, dari serangkaian kejadian N. Jika kejadian N makin makin besar maka peluang terjadi peristiwa A adalah frekuensi relatif dari peristiwa A yaitu :

Contoh : Undian dengan sebuah mata uang yang homogen 1.000 kali, misalnya didapat muka G sebanyak 519 kali. Maka frekuensi relatif muka G = 0,519. Bila dilakukan 2.000 kali maka didapat muka G sebanyak 1.020 kali. Frekuensi relatifnya = 0,510. Jika dilakukan 5.000 kali didapat muka G = 2.530, maka frekuensi relatifnya = 0,506. Jika proses demikian diteruskan, nilai frekuensi relatifnya lambat laun makin dekat kepada sebuah bilangan yang merupakan peluang untuk muka G. Dalam hal ini bilangan tersebut adalah 0,5.

Subjective Peluang P (A) adalah sebuah ukuran dari derajat kepercayaan seseorang mengenai suatu persitiwa A

Probability Theorems Theorem 1 : P(Φ) = 0 Theorem 2 : If A ϵ S  P(A) < 1 then implies : 0 < P(A) < 1

Probability Theorems Theorem 3 : If A, B ϵ S then Proof : B A

Probability Theorems Corollary, theorem 3 : B If B A, then P(A – B) = P(A) – P(B) A Proof : If B A, then A ∩ B = B  P(A – B) = P(A) – P(A ∩ B) = P(A) – P(B) S=A Corollary : B Proof : let A = S Theorem 3  P(S – B) = P(S) – P(S ∩ B) 

Probability Theorems Theorem 4 : if A, B S, then P(A υ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Proof : A υ B = (A – B) υ (B – A) υ (A ∩ B) P(A υ B) = P(A – B)+P(B – A)+P(A ∩ B) B A = (A – B) υ (A ∩ B) A B = (B – A) υ (A ∩ B) P(A υ B) = P(A – B)+P(B – A)+P(A ∩ B)  P(A υ B) = P(A) - P(A ∩ B) + P(B) - P(A ∩ B) +P(A ∩ B) P(A υ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Probability Theorems Corollary 1 : P(A υ B) < P(A) + P(B) Corollary 1 can be extended to an arbitrary of events υA j : Corollary 2 : if B = and A and B are disjoint, then

Example Suppose a students is taking two mathematics courses ( I, II ). Let A be the event that he passes course I and B be the event that he passes course II. He feels that P(A) = 0,8 ; P(B) = 0,9 ; and P(A⋂B) = 0,75 Describe an appropriate sample space for the experiment Using Venn diagrams, pictorially represent S Describe in words the events : Find the probabilities of the events in part (c) i. ii. iii. iv.

Example Solution : We use the ordered pair ( x1, x2 ) to represent passing or failing courses I and II respectively. Let xi = 1 designate passing and xi = 0 failing a. Then S = { (1,1),(1,0),(0,1),(0,0)} Example S b. Region 1 2 3 4 Outcomes (1,0) (0,1) (1,1) (0,0) Events  

Example c. (i) : passing at least one course ; alternatively, passing course I or course II or both (includes regions 1,2 and 3) (ii) : failing at least one course ; alternatively, failing course I or course II or both (includes regions 1,2 and 4) (iii) : passing course I and failing course II ( region 1) (iv) : failing both courses; alternatively, passing neither course (region 4)

Example d. (i) P(A⋃B) = P(A) + P(B) – P(A⋂B) = 0,8 + 0,9 – 0,75 (ii) P(Ā⋃ ) = P(Ā) + P( ) – P(Ā⋂ ) = 0,2 + 0,1 - P(Ā⋂ ) = Ā⋂  P( ) = P (Ā⋂ ) P(Ā⋂ ) = 1 – P(A⋃B) = 1 – 0,95 = 0,05 P(Ā⋃ ) = 0,2 + 0,1 – 0,05 = 0,25

Example (iii) P(A⋂ ) = ? P(A) = P(A⋂B) + P( A ⋂ ) (iv) P( ) = 1 - P(A⋃B) = 1 – 0,95 = 0,05