PERSAMAAN, DAFTAR CAYLEY YANG DIPERLUAS dan SEMIGRUP

TUJUAN Mahasiswa akan dapat membuktikan bahwa suatu sistem adalah struktur aljabar, grupoid, semigrup, monoid, kuasigrup dan loop

Cakupan Persamaan kiri dan kanan Daftar Cayley yang diperluas Semigrup

Persamaan Kiri dan Kanan Suatu grupoid (G,) memenuhi persamaan kiri jika xa = b selalu mempunyai jawab untuk setiap a,b G. Suatu grupoid (G,) memenuhi persamaan kanan jika ax = b selalu mempunyai jawab untuk setiap a,b G. Untuk grupoid yang komutatif, jika memenuhi persamaan kiri, maka pasti memenuhi persamaan kanan. Juga sebaliknya. Mengapa?

Contoh: Beri contoh-contoh grupoid yang memenuhi persamaan kiri dan kanan. Beri contoh-contoh grupoid yang tidak memenuhi persamaan kiri dan kanan.

Teorema Jika dalam grupoid yang memenuhi pencoretan kiri, persamaan ax = b dapat dipecahkan, maka jawabnya tunggal. Jika dalam grupoid yang memenuhi pencoretan kanan, persamaan xa = b dapat dipecahkan, maka jawabnya tunggal.

Hati-hati Grupoid yang memenuhi pencoretan kiri belum tentu memenuhi persamaan kanan. Grupoid yang memenuhi pencoretan kanan belum tentu memenuhi persamaan kiri. Grupoid yang memenuhi persamaan kanan belum tentu memenuhi pencoretan kiri. Grupoid yang memenuhi persamaan kiri belum tentu memenuhi pencoretan kanan.

Contoh: Himpunan bilangan asli dengan perkalian memenuhi pencoretan kiri dan kanan, tapi tidak memenuhi persamaan kanan dan kiri. Grupoid bilangan asli dengan operasi “” sbb: xy = x-y untuk xy dan xx = 1. Grupoid memenuhi persamaan kiri dan kanan, tetapi tidak memenuhi hukum pencoretan kanan dan kiri.

Tetapi….. Bila grupoid tersebut berhingga, maka pencoretan kiri  persamaan kanan dan pencoretan kanan  persamaan kiri.

Ciri persamaan kiri dan kanan Apa ciri grupoid yang memenuhi persamaan kanan dilihat dari tabel Cayley? Apa ciri grupoid yang memenuhi persamaan kiri dilihat dari tabel Cayley?

Semigrup Semigrup (G,) adalah himpunan tak kosong dengan operasi “” yang bersifat: Tertutup terhadap operasi “” Asosiatif, (xy)z = x(yz) untuk setiap x,y,zG. Beri contoh-contoh semigrup dan yang bukan semigrup.

Penutup Persamaan kiri dan kanan: ax=b dan xa=b punya jawab Daftar Cayley dapat diperluas untuk sistem tak berhingga Semigrup: sistem yang tertutup dan asosiatif