Matematika SMK Peluang Kelas/Semester: II/2 Persiapan Ujian Nasional

I. Permutasi dan Kombinasi 1. Notasi Faktorial      n ! = n(n - 1) (n -2) ... 3.2. 1. Definisi 0! = 1

Banyak permutasi k unsur dari n unsur adalah : P = n! / (n-k) ! Misalkan ada 3 unsur a, b, c. Kita dapat mengurutkan sebagai abc, acb, bac, bca, cab, cba. Tiap urutan disebut permutasi 3 unsur. Dalam contoh di alas: ada 6 permutasi terdiri 3 unsur diambil ketiga-tiganya. Ditulis P = 6 3 3 a. Secara Umum Banyak permutasi k unsur dari n unsur adalah : P = n! / (n-k) ! n k

Contoh: Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu. Jawab: Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong. Maka banyaknya cara duduk ada : 7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara

b. Permutasi Siklis Dari n obyek dapat disusun melingkar dalam (n-1) ! cara dengan urutan berlainan. Contoh: Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan? Jawab: Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 ! = 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.

Kombinasi k unsur dari n unsur adalah pemilihan k unsur dari n unsur itu tanpa memperhatikun urutannya. C = n! / k!(n-k)! n k Ada 6 kombinasi 2 unsur dari 4 unsur a, b, c, d yaitu ab, ac, ad, bc, bd, cd.

Contoh: Dalam sebuah kantong terdapat 6 bola merah dan 5 putih. Tentukan banyak cara untuk mengambil 4 bola dari kantong tersebut sehingga Keempat bola tersebut terdiri dari 2 merah dan 2 putih. b. Keempat bola tersebut warnanya sama.

Jawab: Untuk mengambil 2 dari 6 bola merah ada 6C2 cara, untuk mengambil 2 dari 5 bola putih ada 5C2 cara. Banyak cara untuk mengambil 4 bola terdiri 2 merah 2 putih adalah: 6C2 . 5C2 = 150 cara. b. 4 bola warna sama, jadi semua merah atau semua putih. Untuk mengambil 4 dari 6 bola merah ada 6C4 cara. Untuk mengambil 4 dari 5 bola putih ada 5C4 Banyak cara mengambi 14 bola yang warnanya sama: 6C4 + 5C4 =15 + 5 = 20

II. Peluang Kejadian a. Peluang Peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A dibagi dengan seluruh yang mungkin. P(A) = k / n Dimana k : jumlah terjadinya kejadian A n : jumlah seluruh yang mungkin Jika kita melakukan percobaan, maka himpunan semua hasil disebut Ruang Sampel (S)

Contoh: Percobaan melempar uang logam 3 kali. A adalah kejadian muncul tepat dua muka berturut- turut. Maka : S = {mmm,mmb,mbm,mbb, bmm, bmb, bbm, bbb} A = {mmb, bmm} n(S) = 2³ = 8 n(A) = 2 P(A) = 2/8 = 1/4

2. Percobaan melempar dadu satu kali. Contoh: 2. Percobaan melempar dadu satu kali. A adalah kejadian muncul sisi dengan mata dadu genap. Maka : S = {1,2,3,4,5,6} A = {2,4,6} n(S) = 6 n(A) = 3 P(A) = 3/6 = 1/2

Jika peluang terjadinya A adalah P(A) dan peluang tidak terjadinya A adalah P(A) maka berlaku P(A) + P(A) = 1 Contoh: Dari setumpuk kartu Bridge yang terdiri dari 52 kartu diambil 1 kartu. Berapakah peluang kartu yang terambil bukan kartu King? Jawab: P (King) = 4/52 = 1/13 P (bukan King) = 1 - 1/13 = 12/13

3. Peluang Kejadian Bebas dan Tak Bebas Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika P(AB) = P(A). P(B) Contoh: Dalam tas I terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Dalam tas II terdapat 3 bola putih dan 5 bola hitam. Sebuah bola diambil dari masing-masing tas. a) Keduanya berwarna putih b) Keduanya berwama hitam

Jawab: Misal A = bola putih dari tas I B = bola putih dari tas II P(A) = 4/6 P(B) = 3/8 _                    _  P(A) = 2/6       P(B) = 5/8 a. P(AB) = P (A) . P (B) = 4/6 . 3/8 = 1/4     _          _           _        _ b.( P((A)  P(B)) = P(A). P(B) = 2/6 . 5/8 = 5/24

4. Dua Kejadian yang Saling Asing Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka berlaku : P (AUB) = P(A) + P(B)

Contoh: Pada pelemparan sebuah dadu merah (m) dan sebuah dadu putih (p). Maka: S={(1,1), (1,2), .....,(1,6),(2,1),(2,2),.....(6,6)}            n(S) = (6)2 = 36 A : Kejadian muncul m + p = 6 {(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)}       n(A) = 5 B : Kejadian muncul m + p = 10 {(4,6), (5,5),(6,4)}       n(B) = 3 P(A) = 5/36        P(B) = 3/36 AUB :Kejadian muncul m + p = 6 atau m + p = 10        { (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (4,6) (5,1) (5,5) (6,4) }        n(AUB) = 8 P(AUB) = 8/36 = P(A) + P(B) A dan B kejadian yang saling asing.

5. Kejadian yang Tidak Saling asing Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling asing maka berlaku P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)