KONSEP DASAR PROBABILITAS Pertemuan 3 KONSEP DASAR PROBABILITAS

PENDAHULUAN Definisi: Manfaat: Probabilitas adalah peluang suatu kejadian. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase. Manfaat: Manfaat mengetahui probabilitas adalah membantu pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, dan informasi yang tidak sempurna. Contoh: pembelian harga saham berdasarkan analisis harga saham peluang produk yang diluncurkan perusahaan (sukses atau tidak), dll.

PENDAHULUAN Percobaan (experiment): Pengamatan terhadap beberapa kegiatan. Hasil (outcome): Suatu hasil dari sebuah percobaan/ kegiatan. Peristiwa (event): Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.

PENGERTIAN PROBABILITAS Contoh: Percobaan/ Kegiatan Pertandingan sepak bola Persebaya VS Persema di Stadion Tambaksari Surabaya, 5 Maret 2013. Hasil Persebaya menang Persebaya kalah Seri -- Persebaya tidak kalah dan tidak menang Peristiwa Persebaya Menang

PENDEKATAN PROBABILITAS Pendekatan Klasik Pendekatan Relatif Pendekatan Subjektif

PENDEKATAN KLASIK Definisi: Rumus: Setiap peristiwa mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi. Rumus: Probabilitas = jumlah kemungkinan hasil suatu peristiwa jumlah total kemungkinan hasil

PENDEKATAN KLASIK Percobaan Hasil Probabi-litas Kegiatan melempar uang 1. Muncul gambar 2.   Muncul angka 2 ½ Kegiatan perdagangan saham 1. Menjual saham 2. Membeli saham Perubahan harga 1.   Inflasi (harga naik) 2.   Deflasi (harga turun) Mahasiswa belajar 1.   Lulus memuaskan Lulus sangat memuaskan 3.   Lulus terpuji 3 1/3

PENDEKATAN RELATIF Definisi: Rumus: Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung dari berapa banyak suatu kejadian terjadi. Rumus: Probabilitas = jumlah peristiwa yang terjadi suatu peristiwa jumlah total percobaan Contoh: Tahun 2012 Kasus Mortalitas (kematian) di kota DKI Jakarta terdapat 500 kasus, yaitu disebabkan karena kecelakaan 120 kasus, pembunuhan 100 kasus, penyakit jantung 200 kasus dan penyakit kanker 80 kasus.

PENDEKATAN SUBJEKTIF Definisi: Probabilitas suatu kejadian didasarkan pada penilaian pribadi yang dinyatakan dalam suatu derajat kepercayaan. Contoh: Sejak Januari 2008 hingga Juli 2008 BI Rate berkisar 8%-8.5%. Inflasi cenderung konstan di kisaran 3%- 4%. Berdasarkan informasi tersebut, Ekonom bank BTN memperkirakan tingkat bunga KPR pada akhir tahun 2008 paling tinggi sebesar 13% per-tahun.

KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS Nilai Probabilitas suatu peristiwa A : 0 < P(A) < 1 Prob Complementer : P(A) + P(A’) = 1 Hukum Penjumlahan Hukum Perkalian

Contoh : P(A) = 0,35, P(B) 0,40 DAN P (C) 0,25 Hukum Penjumlahan Jika A dan B merupakan peristiwa saling lepas (mutually exclusive) , maka : Contoh : P(A) = 0,35, P(B) 0,40 DAN P (C) 0,25 Maka P(A U B ) = 0,35 + 0,40 = 0,75 P(A U B) = P(A) + P(B) A B

Hukum Penjumlahan Contoh Soal 1 Perusahaan pembungkusan makanan beku, menjual 3 jenis makanan setengah matang beku yg dibungkus, chicken nugget, ayam goreng tepung, dan kentang goreng. Sebagian besar berat setiap kantong adalah tepat, namun karena ukuran ketiga jenis makan tersebut berbeda, terdapat bungkus yang kurang atau lebih dari yang seharusnya. 200 bungkus mempunyai berat yang kurang, 3000 bungkus mempunyai berat yang tepat dan 300 bungkus mempunyai berat yang lebih. Jika diambil sebuah bungkus, berapa probabilita bungkusan tsb akan mempunyai berat yg kurang atau lebih?

Hukum Penjumlahan Jawaban soal 1 Total keseluruhan terdapat 3500 bungkus, yang tepat ada 3000 bungkus. Jadi probabilita jika diambil satu bungkus dan terpilih bungkus dengan berat kurang atau lebih (berat tidak tepat) 1- (3000/3500) = 1-(6/7) = 1/7 atau 200/3500 + 300/3500 = 500/3500=1/7 atau 14,29%

Hukum Penjumlahan A B AB Jika A dan B merupakan peristiwa yang tidak saling lepas (ada peristiwa bersama atau Joint Event) A B AB Apabila P(A ∩ B) = 0,2, maka , P(A U B) = 0,35 + 0, 40 – 0,2 = 0,55 P(A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)

Hukum Penjumlahan Contoh Soal Dari 200 orang yang menghadiri acara Launching product diketahui 125 orang adalah wanita (W), 75 orang adalah sarjana (S), dan 25 orang adalah wanita dan sarjana. Jika seorang yang hadir akan terpilih mendapat hadiah, berapa probabilitas bahwa orang yang terpilih tersebut adalah : a. Wanita b. Sarjana c. Wanita atau sarjana d. Wanita dan bukan sarjana e. Bukan wanita dan bukan sarjana

Jawaban soal 25 200 S 50 W 100 WS 25 P (W) = 125/200 = 0,625 P (S) = 75/200 = 0,375 P (W U S) = 125/200 + 75/200 – 25/200 = 0,875 P (W ∩ S) = 100/200 P(W ∩ S) = 25/200

Hukum Perkalian Probabilitas Peristiwa Bebas (Independent Probability) P(A ∩ B) = P(A) x P(B) Contoh : Pada pelemparan 2 kali sebuah dadu : Berapa Probabilitas munculnya muka 6 pada lemparan I dan ke II ? A = peristiwa munculnya muka 6 pada lemparan I B = peristiwa munculnya muka 6 pada lemparan II P(A ∩ B) = 1/6 x 1/6 = 1/36

Probabilitas Peristiwa Bersyarat (Conditional Probability) Hukum Perkalian Probabilitas Peristiwa Bersyarat (Conditional Probability) P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A) = P(A/B) x P(B) A/B = peristiwa A terjadi dengan syarat peristiwa B terjadi lebih dulu Contoh : Pada permainan kartu remi (tanpa pemulihan) Berapa probabilita kartu As muncul pada pengambilan I dan II A = peristiwa munculnya kartu As pada pengambilan I B = peristiwa munculnya kartu As pada pengambilan II P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A) = 4/52 x 3/51 = 0,0045

CONTOH Sebuah himpunan terdiri dari 100 orang mahasiswa FEUI. Diketahui 50% adalah perempuan. 20% dari mahasiswa putri adalah penerima beasiswa dan 60% dari mahasiswa putra penerima beasiswa. Jika seorang mahasiswa dipilih secara acak untuk diwawancara, berapa probabilitas yang terpilih adalah : a. Mahasiswa penerima beasiswa b. Mahasiswa putri dan penerima beasiswa c. Mahasiswa putri atau penerima beasiswa d. Mahasiswa putri dari penerima beasiswa

Jawaban soal (menggunakan tabel) 10 30 40 B’ 20 60 50 100 Anggap jumlah seluruh mahasiswa ada 100 orang, kemudian isilah sel-sel berdasarkan informasi yang ada di dalam soal.Misalkan A: putri, A‘ bkn putri, B penerima beasiswa, B’ bukan penerima beasiswa a. Prob mahasiswa penerima beasiswa, P(B) = 40/100 b. Prob mahasiswa putri dan penerima beasiswa, P(AB) = 10/100 c. Prob mahasiswa putri atau penerima beasiswa, P (A U B) = P(A) + P(B) – P(A  B) = 50/100 + 40/100 – 10/100 = 80/100 d. Prob mahasiswa putri dari penerima beasiswa, P(A/B) = 10/40 = 0,25

Jawaban soal (menggunakan rumus) P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A) atau P(B ∩ A) = P(A/B) x P(B) Catatan P(A ∩ B) = P(B ∩ A) Hitunglah : P (A/B) Ingat  P (A/B) = P(A ∩ B)/P(B) P (A/B) = 0,1 / 0,4 = 0,25

Jawaban soal (diagram pohon) P(B/A) B P(AB)=P(A)xP(B/A) = 0,5x0,2 = 0,1 0,2 A 0,8 P(A) P(B’/A) B’ P(AB’)=P(A)xP(B‘/A) = 0,5x0,8 = 0,4 0,5 P(B/A’) B P(A’B)=P(A’)xP(B/A’) = 0,5x0,6 = 0,3 P(A’) 0,6 0,5 A’ 0,4 P(B’/A’) B’ P(A’B’)=P(A’)xP(B’/A’) = 0,5x0,4 =0,2 Jumlah probabilitas = 1 P(B) P(B’)

TEOREMA BAYES Merupakan probabilitas bersyarat-suatu kejadian terjadi setelah kejadian lain ada. Rumus:

Expected Value Akhir-akhir ini sering ditayangan di stasiun TV, ada program sms berhadiah dimana pemirsa diminta untuk mengirimkan sms sebanyak-banyaknya. Sms yang masuk akan diundi dan pemenangnya akan mendapat hadiah motor seharga Rp 10 jt. Biaya pulsa Rp 2000 /sms. (Diasumsikan jumlah peserta ada 10 000 sms dan hanya ada 1 buah motor) Hitung apakah peserta undian akan untung atau rugi.

Expected Value Jawaban: Biaya dari 10.000 sms (biaya per sms= Rp. 2.000) = 10.000 x Rp. 2.000= Rp20.000.000 Probabilita untuk dapat motor = (1/10.000) E(X)= {(1/10.000) x 10 jt} - {(1-1/10.000)x20jt} = - 19.999.700 Peserta akan rugi

Teknik Menghitung Jumlah Kemungkinan 1. Faktorial berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam kelompok contoh : Berapa jumlah susunan yang berbeda dari 3 buah buku A, B dan C ? n! = 3! = 6 Bukti : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA n!

Teknik Menghitung Jumlah Kemungkinan 2. Permutasi sejumlah kemungkinan susunan jika terdapat satu kelompok objek Berapa jumlah kemungkinan susunan dari 3 orang pelamar (A,B,C,) akan diterima 2 orang untuk 2 jabatan yang berbeda ? Bukti : AB, AC, BA, BC, CA, CB nPr = n! / (n-r)!

Teknik Menghitung Jumlah Kemungkinan 3. Kombinasi berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya. , nCr = n! / (n-r)! r! Berapa jumlah kemungkinan dari 3 orang pelamar (A,B,C,) akan diterima 2 orang ? 3C2 = 3! / (3-2)! 2! = 3 Kombinasi Permutasi AB AC BC AB, BA AC, CA BC, CB

Soal

TERIMA KASIH