Deterministic Decision Model : Linier Programming Luh Putu Suciati 20 Oktober 2016

LP termasuk MPK deterministik Dibentuk dalam situasi kepastian (certainty), menggunakan variabel2 yg bersifat terukur (deterministik) Pertama kali dikembangkan oleh George Dantzig dlm bentuk simplex Model ini memerlukan penyederhanaan-penyederhanaan dari realitas karena kepastian jarang terjadi. Keuntungan model ini adalah dapat dimanipulasi & diselesaikan lebih mudah.

mengapa perlu LP? Prinsip: Linear Programming: Setiap Organisasi berusaha mencapai tujuan yang telah ditetapkan sesuai dengan keterbatasan sumberdaya. Linear Programming: Teknik pengambilan keputusan dlm permasalahan yang berhubungan dgn pengalokasian sumberdaya secara optimal

Tentang LP Secara Umum : Program linier merupakan salah satu teknik penyelesaian riset operasi khusus menyelesaikan masalah2 optimasi (memaksimalkan atau meminimumkan) tetapi hanya terbatas pada masalah2 yang dapat diubah menjadi fungsi linier. Demikian pula kendala2 yang ada juga berbentuk linier. Secara khusus : Persoalan program linier adalah suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing2 nilai variabel sedemikian rupa sehingga nilai fungsi tujuan atau objektif (objective function) yang linier menjadi optimum (max atau min) dengan memperhatikan kendala yang ada.kendala harus dinyatakan dengan ketidaksamaan yang linier (linear inequalities).

Program Linier Program linier (Linier Programming) Merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. Banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan masalah ekonomi, industri, militer, sosial, dll. Berkaitan dengan penjelasan suatu dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri atas sebuah fungsi tujuan linier & sistem kendala linier.

Rekonstruksi model LP perlu memperhatikan: Tujuan pemecahan masalah (objective) yg diformulasikan dlm fungsi tujuan (objective function). Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah Mengamati variabel2 yg terdapat dlm masalah tsb Kendala yg membatasi variabel2 tsb hrs ditentukan shg diperoleh suatu kondisi yg optimum. Hal ini utk memformulasikan fungsi2 kendala (constraint function). Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya tersebut.

Syarat Persoalan Disebut Program Linier Tujuan (objective) Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan (objective function). Fungsi tujuan tersebut dapat berupa dampak positif, manfaat2, atau dampak negatif, kerugian2, resiko2, biaya2, jarak, waktu yang ingin diminimumkan. 2. Alternatif perbandingan. Harus ada sesuatu atau alternatif yang ingin diperbandingkan, misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah, atau alternatif padat modal dengan padat karya, proyeksi permintaan tinggi dengan rendah, dan seterusnya.

3. Sumber Daya Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan terbatas. Misalnya keterbatasan tenaga, bahan mentah terbatas, modal terbatas, ruangan untuk menyimpan barang terbatas, dan lain-lain. Pembatasan harus dalam ketidaksamaan linier (linier inequality). Keterbatasan dalam sumber daya tersebut dinamakan sebagai fungsi kendala atau syarat ikatan. 4. Perumusan Kuantitatif. Fungsi tujuan dan kendala tersebut harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalam model matematika. 5. Keterikatan Perubah. Perubah2 yang membentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala tersebut harus memiliki hubungan keterikatan atau hubungan fungsional.

Bentuk Standar Max/min z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn subject to: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn (≤, =, ≥) b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn (≤, =, ≥) b2 : am1x1 + am2x2 + ... + amnxn (≤, =, ≥) bm xj = decision variables bi = constraint levels cj = objective function coefficients aij = constraint coefficients

Pernyataan bersifat normatif Karakteristik Persoalan LP: Ada tujuan yang ingin dicapai Tersedia beberapa alternatif untuk mencapai tujuan Sumberdaya dalam keadaan terbatas Dapat dirumuskan dalam bentuk matematika (persamaan/ketidaksamaan) © Zulkifli Alamsyah Contoh pernyataan ketidaksamaan: Untuk menghasilkan sejumlah meja dan kursi secara optimal, total biaya yang dikeluarkan tidak boleh lebih dari dana yang tersedia. Pernyataan bersifat normatif

Pengalokasian Sumberdaya Penerapan LP: Pengalokasian Sumberdaya Perbankan: portofolio investasi Periklanan Industri manufaktur: Penggunaan mesin – kapasitas produksi Pengaturan komposisi bahan makanan Distribusi dan pengangkutan Penugasan karyawan Masalah kombinasi produksi (Product mix) Apalagi ?? Let’s discuss

contoh Seorang ibu RT mempunyai 2 jenis bahan baku membuat 2 macam kue yakni karamel dan lapis legit. Kedua bahan baku tersebut adalah 12 kg tepung terigu dan 15 kg telur. Harga lapis legit Rp 50.000 per loyang, sedangkan harga karamel Rp. 30.000 per loyang. Berapa jumlah lapis karamel dan lapis legit yang dapat dibuat sekaligus agar penghasilan tambahan ibu tsb optimum atau sebesar2nya? Diketahui : untuk membuat 1 loyang karamel diperlukan 2 kg terigu dan 1 kg telur, untuk membuat 1 loyang lapis legit diperlukan 1 kg terigu, dan 2 kg telur Langkah 1: buatlah matriks kebutuhan dan ketersediaan bahan

matriks kebutuhan dan ketersediaan bahan Jenis bahan Kebutuhan per loyang Jumlah maksimum bahan Lapis legit (LL) Karamel (K) Terigu 1 kg 2 kg 12 kg Telur 15 kg 1. Fungsi tujuan maksimisasi Z= 50 LL+ 30 K Fungsi kendala Bahan terigu : 1 LL + 2 K≤12 Bahan telur : 2 LL + 1 K ≤ 15 LL ≥ 0, K ≥ 0 (non negativity restriction)

Secara matematis 1 LL + 2 K≤12 x 2 2 LL + 4 K≤ 24 2 LL + 1 K ≤ 15 x 1 2 LL + 1 K ≤ 15 3K ≤ 9 K ≤ 3 unit 1 LL + 2 K≤12 1 LL + 2 (3) ≤12  LL = 6 unit jadi penghasilan optimum adalah : Z= 50 LL+ 30 K Z= 50.000 (6)+ 30.000 (3) Z = 390.000

Kombinasi optimum K=3 & LL = 6 Secara grafis Kombinasi optimum K=3 & LL = 6 Q M N Daerah segiempat OQMN= daerah kemampuan produksi artinya didaerah itulah si produsen dapat berproduksi, dimana titik M adalah titik optimum produksi

Analisis sensitivitas/post optimum  bertujuan mengamati KEMUNGKINAN TERJADINYA PERUBAHAN PARAMETER YANG MENGAKIBATKAN PERUBAHAN HASIL OPTIMASI Misal : perubahan harga jual lapis legit menjadi Rp. 100.000 dan karamel menjadi RP. 75.000 perloyang. Persediaa terigu menjadi 36 kg sedangkan persediaan telur menjadi 45 kg. apa yang terjadi?

Maximization problem (no. absen ganjil) Labor Clay Revenue PRODUCT (hr/unit) (lb/unit) ($/unit) Bowl 1 4 40 Mug 2 3 50 There are 40 hours of labor and 120 pounds of clay available each day Decision variables x1 = number of bowls to produce x2 = number of mugs to produce RESOURCE REQUIREMENTS Maximize Z = $40 x1 + $50 x2 Subject to x1 + 2x2 40 hr (labor constraint) 4x1 + 3x2 120 lb (clay constraint) x1 , x2 0

Cth soal Minimization Problem (no. absen genap) CHEMICAL CONTRIBUTION Brand Nitrogen (lb/bag) Phosphate (lb/bag) Gro-plus/standar 2 4 Crop-fast/super 4 3 Minimize Z = $6x1 + $3x2 subject to 2x1 + 4x2  16 lb of nitrogen 4x1 + 3x2  24 lb of phosphate x1, x2  0

Simplek dg solver excel Option add insinstall Gunakan fitur “Solver” melalui menu Data – Data Analysis – Solver.

Produk yang dihasilkan ada dua, yaitu produk X dan Y. Profit per unit produk X adalah 23, dan produk Y adalah 32 Tiap produk akan melalui tiga mesin untuk diproses, yaitu mesin  Cutting, Folding, dan Packaging. Dengan resource masing-masing mesin adalah: 2500, 2000, 500. Resource mesin Cutting, Folding, dan Packaging yang diperlukan untuk menghasilkan satu unit produk X adalah sebesar 10, 5, dan 1. Sedangkan untuk produk Y: 6, 10, 2. Untuk mendapatkan profit maksimum, berapakah jumlah produk X dan produk Y yang perlu dihasilkan?

untuk mendapatkan profit maksimum (sebesar 7700), harus dihasilkan produk X sebanyak 185.714 dan produk Y sebanyak 107.142

X Y jumlah produksi 185,000 107,000 PROSES PERSEDIAAN DIGUNAKAN cutting 2500 2492 10 6 folding 2000 1995 5 packaging 500 399 1 2 profit per unit 23 32 masing2 produk 4255 3424 total 7679 Karena tidak mungkin pecahan, maka disesuaikan dg merubah jumlah produk X menjadi 185 dan produk Y menjadi 107 Terlihat bahwa keuntungan maksimal adalah 7679, dan juga masih terdapat sisa resource

Graphical Solution: Example 4 x1 + 3 x2 120 lb x1 + 2 x2 40 hr Area common to both constraints 50 – 40 – 30 – 20 – 10 – 0 – | 10 60 50 20 30 40 x1 x2 Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.

Computing Optimal Values x1 + 2x2 = 40 4x1 + 3x2 = 120 4x1 + 8x2 = 160 -4x1 - 3x2 = -120 5x2 = 40 x2 = 8 x1 + 2(8) = 40 x1 = 24 4 x1 + 3 x2 120 lb x1 + 2 x2 40 hr 40 – 30 – 20 – 10 – 0 – | 10 20 30 40 x1 x2 Z = $50(24) + $50(8) = $1,360 8 24 Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.

Extreme Corner Points x1 = 0 bowls x2 =20 mugs Z = $1,000 x2 A B C | 20 30 40 10 x1 x2 40 – 30 – 20 – 10 – 0 – Extreme Corner Points Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.

Objective Function 40 – 30 – 20 – 10 – 0 – x2 A B | 10 | 20 | 30 C | 4x1 + 3x2 120 lb Z = 70x1 + 20x2 Optimal point: x1 = 30 bowls x2 =0 mugs Z = $2,100 A B x1 + 2x2 40 hr | 10 | 20 | 30 C | 40 Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc. x1

Minimization Problem CHEMICAL CONTRIBUTION Brand Nitrogen (lb/bag) Phosphate (lb/bag) Gro-plus 2 4 Crop-fast 4 3 Minimize Z = $6x1 + $3x2 subject to 2x1 + 4x2  16 lb of nitrogen 4x1 + 3x2  24 lb of phosphate x1, x2  0 Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc.

Graphical Solution x2 14 – 12 – 10 – 8 – 6 – 4 – 2 – 0 – A B C | 2 | 4 x1 = 0 bags of Gro-plus x2 = 8 bags of Crop-fast Z = $24 A Z = 6x1 + 3x2 B C | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 Copyright 2006 John Wiley & Sons, Inc. x1