MATEMATIKA ASAL KATA Asal kata : MATHEIN artinya mempelajari atau belajar. Dengan mempelajari mate- matika, seseorang akan terbiasa mengatur jalan pemikirannya dgn sistematis. Berpikir matematis: Seseorang yg hendak menem-puh jarak 2 mil akan MEMILIH naik mobil dari pada jalan kaki, kecuali jika waktunya banyak terluang atau sedang berolah raga.

Berpikir matematis: Untuk dapat mengenderai mobil, harus belajar menyupir. Untuk dapat supir mobil yang baik, dia perlu pengetahuan matematika. Matematika, merupakan sarana = pendekatan untuk suatu analisa. Dengan mempelajari matematika, membawa sese-orang kepada kesimpulan dalam waktu yang singkat.

HIMPUNAN = GUGUS Silabus: • Definisi, pencatatan dan himpunan khas • Himpunan Bagian • Pengolahan (operasi) himpunan • Hubungan

Himpunan dilambangkan : A, B, X, …, Z (kapital) 1. Definisi, pencatatan dan himpunan khas Himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yg memiliki sifat tertentu. Sifat ini menjadi penciri yg membuat obyek/unsur itu termasuk dalam himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan dilambangkan : A, B, X, …, Z (kapital) Obyek atau unsur atau elemen dilambang-kan a,b,c, … atau 1, 2, 3, … Perhatikan (… tiga titik) dibaca dan sete-rusnya.

Dua cara pencatatan suatu himpunan Cara pendaftaran: P = { 2, 3, 4 } P = nama himpunan/gugus tanda kurawal buka dan kurawal tutup “ dan “ menyatakan himpunan 2, 3, 4 = obyek/unsur/elemen Artinya, himpunan P beranggotakan bilangan bulat positip: 2, 3, dan 4. b. Pendefinisian sifat: X = { x / x bil. genap} X = nama himpunan x = obyek/unsur/elemen tanda “/” dibaca dengan syarat x bil genap = sifat atau ciri

Himpunan khas: Cara pendefinisian sifat yang lain: J = { x / 2 < x < 5 } x merupakan unsur Sifat: bilangan nyata 2 < x < 5, baca himpunan semua bilangan nyata lebih besar dari 2 dan lebih kecil dari 5 Himpunan khas: Himpunan Semesta (S) atau Universum (U) Merupakan himpunan keseluruhan obyek yang sedang dibicarakan S = { x / x bilangan ganjil }, berarti semua bil ganjil b. Himpunan kosong (emty set) E = { } himpunan kosong atau dicatat dengan “ø”

Perhatikan: P = { 2, 3, 4 } Untuk menyetakan keanggotaan dicatat dengan “€” Jadi: 2 € P 3 € P 4 € P. Tanda € baca “unsur” atau “elemen” atau “didalam” Sebaliknya, 5, 6 tidak termasuk unsur P dicatat 5 € P 6 € P Tanda € dibaca “bukan unsur” atau “bukan elemen” atau “diluar”.

2. Himpunan bagian Suatu himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B, jika dan hanya jika setiap unsur A juga merupakan unsur himpunan B. A = { 2, 4, 6 }; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Dicatat : A B, baca A himp. bagian B atau A anak gugus dari B Sebaliknya dicatat: B A, baca B mencakup A Tanda dibaca bukan himpunan bagian dan tanda dibaca tidak/bukan mencakup Perhatikan: himp. bagian terjadi apabila dari suatu himp dibentuk himp lain dengan memilih unsur himp itu sebagai unsurnya.

Contoh: X = { 1, 2, 3, 4 } Himpunan bagiannya: Memilih semua unsur: X4 = { 1, 2, 3, 4 } Memilih tiga unsur X31 = { 1, 2, 3 } X32 = { 1, 2, 4 } X33 = { 1, 3, 4 } X34 = { 2, 3, 4 } c. Memilih dua unsur X21 = { 1, 2 }; X22 = { 1, 3 } X23 = { 1, 4 }; X24 = { 2, 3 } X25 = { 2, 4 }; X26 = { 3, 4 }

d. Memilih 1 unsur: X11 = { 1 }; X12 = { 2 } X13 = { 3 }; X14 = { 4 } e. Tanpa memilih X0 = { } Jumlah himpunan bagian dari 1 himp. = 2n 1 elemen: 1  2 himp bag 2 elemen: 1 2 1  4 himp bag 3 elemen: 1 3 3 1  8 himp bag 4 elemen: 1 4 6 4 1  16 himp bag 5 elemen: 1 5 10 10 5 1  32 himp bag Disebut segitiga Pascal = bilanga Binom Newton

Latihan:

3. Pengolahan (operasi) Himpunan Operasi matematis: penjumlahan, penggandaan, pembagian. Operasi himpunan: gabungan (union), potongan (irisan) dan komplemen. Operasi Gabungan ( U ) A U B = { x / x ε A atau x ε B } A U B baca: A union B; A gabung B; A atau B. Jika A = { 3, 5, 7 ); B = { 2, 3, 4, 8 } A U B = { 3, 5, 7, 2, 4, 8 } atau { 2, 3, 4, 5, 7, 8 }

Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir Sifat-sifat gabungan A U B = B U A  Hukum komutasi b. A (A U B) dan B (A U B)

s Operasi potongan (irisan) = ∩ A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B } A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan B Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 } A ∩ B = { 5, 15 } Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir: s A B

Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A (hukum komutasi) b. (A ∩ B) A dan (A ∩ B) B Operasi selisih Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B A – B = { x / x € A, tetapi x € B } Diagram Venn A – B sebagai berikut: S B A

Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g } A – B = { a, c } serta B – A = { f, g } A – B sering dibaca “A bukan B”. Sifat: a (A – B) A; (B – A) B b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing atau terputus

A’ = { x / x € S, tetapi x € A } A’ baca “komplemen A” atau “bukan A” Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp.bil bulat positip A = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjil A’ = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genap Diagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir) S A A’ A

Sifat: a. A U A’ = S b. A ∩ A’ = ø c. (A’)’ = A Latihan 1 Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal S dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } A = {2, 3, 5, 7 } B = {1, 3, 4, 7, 8 } Kemudian selesaikan : a). A – B b). B – A c) A ∩ B d). A U B e) A ∩ B’ f) B ∩ A’ g). (A U B)’ h) (A ∩ B)’

Latihan 2 Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: € atau € A B A∩B AUB (A∩B)’ (AUB)’ €

Hubungan Himpunan Hasil kali Cartesius Apabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing x ε X dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbut dapat disusun himpunan yang beranggotakan pasangan urut atau pasangan tersusun (x, y). Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika diberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan rumah diberi angka 1 hingga 3. Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan Y = {1, 2, 3} Himpunan hasil kali Cartesius adalah: X x Y = {(x, y)/ x ε X, y ε Y}

Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb: 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Y

Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan dalam sistem koordinat cartesius berikut: Y 3 • • • • 2 • • • • 1 • • • • 0 1 2 3 4 X PR = {1, 2} malas PR = {3, 4} rajin U = {1, 2} kurang mengerti U = {3} pintar H4 H1 Terdapat 4 himp bag H1 = {malas ttp pintar} H2 = {malas dan krg mengerti} H3 = {rajin ttp krg ngerti} H4 = {rajin dan pintar} H2 H3 Gbr: Hubungan nilai ujian dan nilai pekerjaan rumah

Daerah dan Wilayah (Range) hubungan Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius: H = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut, disebut dengan Daerah hubungan Dh = {1, 2, 3, 4} Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut dengan Wilayah hubungan: Wh = {1, 2, 3}

Kesimpulan: Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap unsur x € X dipasangkan dengan setiap unsur y € Y. X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y } Daerah hubungan Dh = { x / x € X} Daerah hubungan: Wh = { y / y € Y}

SISTEM BILANGAN 1. Pembagian bilangan Bilangan Nyata + dan - Khayal 2; -2; 1,1; -1,1 Nyata + dan - Khayal Akar negatip √(-4) = ± 2 Rasional Irrasional Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal atau desimal berulang 0,1492525 Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal tak berulang 0,14925253993999… π, ℮ Bulat 1; 4; 8; termasuk 0 Pecahan ½; 2/7 dsb

2. Tanda pertidaksamaan Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” Tanda > melambangkan “lebih besar dari” Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan” Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan” 3. Sifat Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d

Fungsi Silabus: Pengertian Macam-macam fungsi Fungsi Linear Fungsi non Linear

Pengertian Himpunan hasil kali Cartesius ini dikenal dgn hubungan. Tetapi ada hubungan dimana satu unsur X dihubungkan dengan satu unsur Y. (tidak setiap unsur X dihubungkan dengan setiap unsut Y) Dengan denah Venn sbb: X Y ◦ • Hubungan 1 - 1 Hubungan dengan kasus diatas, bahwa untuk setiap nilai x dihubungkan (hanya terdapat satu) nilai y yang sesuai, disebut dengan bentuk hubungan atau fungsi. Jelasnya fungsi LINEAR

Perhatikan juga contoh berikut: Y y = f(x) •x1 •x2 •xn •y1 •yn y1 • • X x2 x1 Y X Gambar di atas, nilai x1 dan x2 dalam X, dihubung-kan dengan nilai y1 dalam Y, dengan bentuk y = f(x) Fungsi disebut juga TRANSFORMASI, jadi x di transformasikan di dalam himpunan y.

Transformasi mengandung pengertian yang luas: a Transformasi mengandung pengertian yang luas: a. x menentukan besarnya nilai y b. x mempengaruhi nilai y c. Dll. Pernyataan y = f(x) dibaca: y merupakan fungsi dari x atau dicatat : f : x  y simbol “f” diartikan sebagai “aturan” transformasi unsur himp. X kedalam himpunan Y Lebih spesifik: Fungsi: suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergan-tungan (hub fungsional antara satu variabel dengan variabel lain ditransformasi aturan

Perhatikan: y = f(x). x merupakan sebab (variabel bebas) Perhatikan: y = f(x) x merupakan sebab (variabel bebas) y akibat dari fungsi (variabel terikat) Himpunan semua nilai-nilai x, disebut sebagai Domain atau Daerah fungsi (Df) dan nilai y disebut dengan Range atau Wilayah fungsi (Rf = Wf). Df = { x / x ε X } Wf = { y / y ε Y } Misal: Biaya total C dari suatu perusahaan setiap hari merupakan fungsi dari output Q tiap hari: C = 150 + 7Q. Perusahaan memiliki kapasitas limit sebesar 100 unit per hari.Berapa Daerah dan Range dari fungsi biaya? Jawaban: Df = { Q / 0 ≤ Q ≤ 100 } Rf = { C / 150 ≤ C ≤ 850 }  Dapat Anda jelaskan ?

Macam-macam fungsi Bentuk umumnya : y = a + bx + cx2 + . . . + pxn a. Fungsi Polinomial Bentuk umumnya : y = a + bx + cx2 + . . . + pxn y y Slope = a1 case c < 0 a0 a0 x x Konstan, jika n = 0 y = a Linear, jika n = 1 y = a + bx Kuadratik, jika n = 2 Y = c + bx + ax2

Fungsi polinom derajad 4 y = e + dx + cx2 + bx3 + ax4 • Titik maksimum Titik belok • Fungsi kubik y = d + cx + bx2 + ax3 x y Titik maksimum Fungsi polinom derajad 4 y = e + dx + cx2 + bx3 + ax4 Titik minimum x

c. Fungsi eksponensial dan logaritma b. Fungsi Rasional Fungsi ini, dengan y dinyatakan sebagai rasio dua polinomial dengan variabel x atau juga berupa fungsi hiperbola. y Hiperbola: y = (a/x), a > 0 x c. Fungsi eksponensial dan logaritma y y Logaritmay = logbx Eksponensial y = bx , b>1 x x

DERIFATIF 1.1. Pengantar Kalkulus Kalkulus khususnya bahasan matematika tentang Fungsi b. Derivatif atau fungsi turunan c. Derivatif parsial dan d. Integral sangat luas penggunaannya dalam ilmu ekonomi.Khusus tentang derivatif (kalkulus dife-rensial) dapat diinventarisir aplikasinya dalam ilmu ekonomi diantaranya: 1). Elastisitas, khususnya elastisitas permintaan

2) Elastisitas produksi 3) Biaya total, rata-rata dan marginal 4) Revenue dan marginal revenue 5) Maksimisasi penerimaan dan profit. 6) dll. Pendekatan matematis yang sangat pesat dewasa ini membuat seorang ahli ekonomi termasuk Agric. Economist, atau agribussines manager perlu mendalami pengetahuan kalkulus diferensial dan inte-gral. Untuk kesempatan ini, kalkulus diferensial dan aplikasinya dalam ekonomi lebih diutamakan.

1.2. Limit fungsi Pandanglah fungsi h yang diberikan dengan persamaan: 2x2 + x - 3 h(x) = ------------- x - 1 Persamaan ini harus disederhanakan sedemikian rupa, supaya jika disubstitusikan nilai x = 1, (per-hatikan pembagi/penyebut) maka nilainya ± 0/0 (bentuk tak tentu)

h(x) = ------------- = ------------- = 2x + 3 Untuk tujuan ini, fungsi tersebut diuraikan atas fak-tornya, sehingga: (x-1)(2x +3) 2x2 + x - 3 h(x) = ------------- = ------------- = 2x + 3 x - 1 x - 1 x2 - 4 Demikian juga jika g(x) = ---------, nilainya akan tak x - 2 tentu, untuk x = 2 Karena itu g(x) disederhanakan menjadi: (x – 2)(x + 2) g(x) = ------------------- = x + 2. x - 2

◦ Fungsi h dengan persamaan diatas grafik sebagai berikut: Fungsi h tdk terdefi-nisi di titik x = 1. Un-tuk x ± 1, maka h(x) = 2x + 3. Sehingga untuk x mendekati 1, h(x) akan mende-kati 5. Dikatakan limit fungsi h dititik x = 1 adalah 5. y ◦ 5 y = h(x) 4 3 2 1 1 x

Keadaan di atas, dicatat sebagai: 2x2 + x - 3 lim h(x) = lim ------------- = 5 x1 x1 x - 1 Baca: limit fungsi h(x) untuk x menuju 1 Demikian juga dengan g(x) di atas x2 - 4 lim g(x) = lim --------- = 4. x - 2 x  2 x  2

1.3. Pengertian Derivatif Suatu fungsi dengan persamaan y = f(x) mempunyai nilai (terdefinisi) pada x = x0 dan y = f(x) kontinu di titik tersebut, maka: lim f(x) = f(x0) x -> x0 Y Y = f(x) diskontinu pada x = x0 Y = f(x) Y=f(x) y1 ◦ y0 y0 • Y = f(x) kontinu pada x = x0 • x x0 x0

Sehingga f(x) – f(x0) --- = x – x0 Maka lim --- = ------------------ x – x0 Maka lim f(x) – f(x0) disebut dengan derivatif ------------- x->x0 x – x0 fungsi f dititik x = x0. Dengan mensubstitusi Δx = x – x0, atau x = x0 + Δx, untuk x-> x0 berarti Δx ->0 atau: f(x0 + Δx) – f(x0) ------------------- merupakan derivatif atau turunan fungsi. lim Δx Δx-> 0

y = f(x) y + Δy = f(x + Δx) Simbol derivatif fungsi dilambangkan dg: f’(x) atau dy/dx atau y’ atau Dxy. Atau dengan penjelasan lain: Ump. y = f(x) dengan kurva sbb: y = f(x) y + Δy = f(x + Δx) Besarnya pertambahan adalah: Δy = f(x + Δx) – f(x). Dibagi dg Δx: Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x) Y = f(x) y1 Δy y ◦ Δx x x1 ------------------------------- Δx

lim Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x) adalah turunan fungsi tsb yaitu: y’ = f’(x) = dy/dx Contoh. Cari turunan y = f(x); y = x2 + 1, dititik x = 5. Jika x ditambah sebesar Δx, maka y akan bertambah sebesar Δy. y + Δy = (x + Δx)2 + 1 y = x2 + 1 (-) ----------------------------- Δx->0 Δx

Dengan pengurangan: Δy = (x + Δx)2 + 1 – x2 – 1 = x2 + 2xΔx + (Δx)2 + 1 – x2 – 1 = 2xΔx + (Δx)2 Δy/Δx = 2x Δx + (Δx)2 Δx = 2x + Δx lim Δy/Δx = lim 2x + lim Δx dy/dx = 2x + 0 = 2x dititik x = 5, berarti dy/dx untuk x = 5 adalah 10. Δx ->0 Δx ->0 Δx ->0

1.4 Rules of differentiation Rule 1: Derivative of a power function. Fungsi pangkat (power function) y = xn y + Δy = (x + Δx)n Δy = (x + Δx)n – y Δy = (x + Δx)n – xn Ingat kembali bil. Binom Newton (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = C(0, 4)a4 + C(1, 4)a3b + C(2, 4)a2b2 + C(3, 4)ab3+C(4,4)b3

C(i, n)  baca kombinasi tingkat i dari n unsur. C(i, n)  adalah teori kombinasi yang menyatakan memilih sebanyak i unsur dari suatu himpunan untuk menjadi anggota himpunan bagiannya. C(0, 4)  berarti kombinasi tingkat 0 dari 4 unsur. C(i, n) = ------------ n ! i ! – (n – i)!

n! = n(n-1)(n-2)(n-3) … 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 0! = 1 Sekarang: Δy = (x + Δx)n – xn = C(0, n)xn + C(1, n)xn-1Δx + C(2, n)xn-2Δx2 + C(3, n)xn-3Δx3 + C(4, n)xn-4Δx4 + ………… + C(n-1, n)xΔxn-1 - xn

C(0, n) = --------- = ---------------------- = 1 C(1, n) = ---------- = ---------------------- = n C(2, n) = ---------- = ---------------------- = ----- n! n.n-1.n-2.n-3. … 0!(n-0)! 1.n.n-1.n-2.n-3 … n! n.n-1.n-2.n-3. … 1.n-1.n-2.n-3. … 1!(n-1)! n.n-1.n-2.n-3. … n! n.n-1 2!(n-2)! 2 2.1.n-2.n-3. …

= xn + nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx2 + C(3, n)xn-3Δx3 + C(4, n)xn-4Δx4 + Δy = (x + Δx)n – xn = xn + nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx2 + C(3, n)xn-3Δx3 + C(4, n)xn-4Δx4 + …… + C(n-1, n)xΔxn-1 - xn = nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx2 + C(3, n)xn-3Δx3 + …… + C(n-1, n)xΔxn-1 2

Lim ---- = lim nxn-1 atau dy/dx = nxn-1 Δy = nxn-1+ n(n-1)xn-2Δx + C(3, n)xn-3Δx2 + C(4, n)xn-4Δx3 + …… + C(n-1, n)xΔxn-2 Lim ---- = lim nxn-1 atau dy/dx = nxn-1 Contoh: y = x5 dy/dx = 5x4. Mis C = total cost, q = output C = q3 derivatif C thdp q = 3q2. Δx 2 Δy Δx Δx->0 Δx->0

Rule 2: Multiplication by a constant. y = f(x)= cx2, c adalah konstanta, dy/dx? y + Δy = c(x + Δx)2 Δy = cx2 + c2xΔx + c(Δx)2 – cx2 = c2xΔx + c(Δx)2 ---- = c2x + c(Δx) lim ---- = lim c2x , Jadi dy/dx = c2x Δy Δx Δy Δx Δx->0 Δx->0

Contoh: y =f(x) = 5x2 f’(x) = 5(2)x2-1 = 10x Rule 3: Derivative of a sum f(x) = g(x) + h(x) Dengan pembuktian yang sama spt rule (1) dan (2) diperoleh: f’(x) = g’(x) + h’(x) Demikian juga untuk: f(x) = g(x) + h(x) + k(x) f’(x) = g’(x) + h’(x) + k’(x)

Derivatif penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan pengurangan atau selisih. f(x) = g(x) – h(x); f’(x) = g’(x) – h’(x). Contoh: Cari derivatif f(x) = 7x4 + 2x3 – 3x + 37 g(x) = 7x4; g’(x) = 28x3 h(x) = 2x3; h’(x) = 6x2 k(x) = -3x; k’(x) = -3 l(x) = 37; l’(x) = 0 jadi f’(x) = 28x3 + 6x2 – 3.

Rule 4: derivative of a product Fungsi hasil kali berbentuk y = f(x) = g(x).h(x) f’(x) = g(x).h’(x) + h(x).g’(x) Contoh: y = f(x) = (2x + 3)(3x2) g(x) = (2x + 3); g’(x) = 2 h(x) = 3x2; h’(x) = 6x Jadi: f’(x) = (2x + 3)(6x) + (3x2)(2) = 12x2 + 18x + 6x2 = 18x2 + 18x.

Rule 5: derivatif of a quotient Bentuk umum hasil bagi dua fungsi: y = f(x) = g(x)/h(x). f’(x) = g’(x)h(x) – g(x)h’(x) [h(x)]2

Contoh: f(x) = (2x – 3)/(X + 1). g(x) = 2x – 3; g’(x) = 2 h(x) = x + 1; h’(x) = 1 f’(x) = (2)(x + 1) – (1)(2x – 3) = 2x + 2 – 2x + 3 = 5 (x + 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2

Fungsi berantai bentuknya sbb: Rule 6: Chain rule Fungsi berantai bentuknya sbb: y = f(u) u = g(x) y = f(z) z = g(u) u = h(x) Dicari derivatif y ter-hadap x atau dy/dx. Dari u = g(x) didpt du/dx. Dari y = f(u) didpt dy/du, Maka Dengan cara yang sama dy du dz dy = du dz dx dx dy dy . du = dx du dx

Contoh: Misalkan x adalah lahan, yang dapat menghasilkan y unit gandum dan z adalah roti yg terbuat dari gandum. Umpamakan setiap unit lahan (x) dihasilkan 2 unit gandum (y) sehingga: y = 2x Untuk setiap unit gandum (y) dapat diproduksi 15 unit roti (z), yang digambarkan sebagai: z = 15y Apabila ada perubahan sejumlah kecil lahan (x), maka berapa besar perubahan roti (z) akan terjadi dari perubahan tersebut? Hal ini merupakan masa-lah hukum berantai dari turunan fungsi (derivatif).

dy/dx merupakan perubahan y apabila sejumlah kecil perubahan x yaitu Perubahan z apabila ada perubahan y dz/dy = 15 Oleh karena itu perubahan z apabila ada perubah-an x menjadi: dz/dx = dz/dy. dy/dx = 15(2) = 30 unit.

Contoh: Jika y = uv, dimana u = s3 dan s = 1 – x. v = t2 dan t = 1 + x2 v = t2,  dv/dt = 2t t = 1 + x2  dt/dx = 2x u = s3,  du/ds = 3s2 s = 1 – x  ds/dx = -1 y = uv, adalah bentuk hasil kali berarti dy/dx = u.dv/dx + v.du/dx = u(dv/dt)(dt/dx) + v(du/ds)(ds/dx) = s3(2t)(2x) + t2(3s2)(-1) = 4s3tx -3t2s2 = s2t(4sx – 3t) Substitusi, dy/dx = (1-x)2(1+x2)[4(1-x)(x) – 3(1+x2)]

Contoh: Jika y = (1 + x2)3, dapatkan dy/dx. Dengan memakai derivatif fungsi berantai: Mis u = 1 + x2, dan oleh karena itu y = u3 dy/dx = (dy/du)(du/dx) = (3u2)(2x) = 6x(1 + x2)2.

1.5. Derivatif of higher order Jika y = f(x), maka derivatif pertama dicatat sebagai dy/dx atau f’(x). Derivatif kedua dilambangkan dengan: d2y/dx2 atau f”(x) atau y” Demikian seterusnya untuk derivatif yang lebih tinggi. Semua hukum-hukum yang sudah dibahas, berlaku untuk mencari derivatif orde yang lebih tinggi. Contoh: Hitung derivatif y = f(x) = x3 – 3x2 + 4, dan hitung nilainya untuk x = 2.

f(x) = x3 – 3x2 + 4, f(2) = 8 – 12 + 4 = 0 f’(x) = 3x2 – 6x, f’(2) = 12 – 12 = 0 f”(x) = 6x – 6 f”(2) = 6 f”’(x) = 6 f”’(2) = 6.

1.5 Derivatif parsial Teknik ini digunakan untuk suatu fungsi lebih dari satu variabel. z = f(x, y) atau z = f( u, v, x) dst Banyak kejadian terdiri dari beberapa variabel. Contoh: Qd = f(h, hkl, sK, i,) dimana h = harga komoditi itu sendiri hkl = harga komoditi lain sK = selera konsumen i = income Umpamakan kita berhadapan dengan fungsi: z = f(x , y), bila y dianggap tetap, maka z hanya merupakan fungsi x dan derivatif z ke x dapat dihitung.

∂z/∂x atau ∂f/∂x atau fx Derivatifnya disebut derivatif parsial atau turunan parsial dari z ke x dan dilambangkan dengan: ∂z/∂x atau ∂f/∂x atau fx Demikian juga jika x dianggap tetap, maka derivatif parsial ke y dapat dihitung, dan dilambangkan dg: ∂z/∂y atau ∂f/∂y atau fy Derivatif parsial z ke x didefinisikan sebagai: ∂z/∂x = lim Δz/Δx = lim f(x + Δx, y) – f(x, y) Δx->0 Δx->0 Δx Derivatif parsial z ke y didefinisikan sebagai: ∂z/∂y = lim Δz/Δy = lim f(x,y + Δy) – f(x, y) Δy->0 Δy->0 Δy

Contoh: Jika z = 3x2 + 2xy – 5y2 ,maka: ∂z/∂y = 2x – 10y Derivatif parsial kedua juga dapat dicari sbb: Contoh: z = (x2 + y2)3 ∂z/∂x = fX = 3(x2 + y2)2(2x) = 6x(x2 + y2)2 ∂z/∂y = fy = 3(x2 + y2)2(2y) = 6y(x2 + y2)2 ∂2z/∂x2 = fXX = 12x(x2 + y2)(2x) = 24x2(x2 + y2) ∂2z/∂y2 = fyy = 12y(x2 + y2)(2y) = 24y2(x2 + y2) ∂2z/ ∂y∂x = fyx = 12x(x2 + y2)(2y) = derivatif ∂z/∂x thd y 24xy(x2 + y2). ∂2z/∂x∂y = fxy = 12y(x2 + y2)(2x) = 24xy(x2 + y2)

Simbol derivatif parsial ∂z/∂x juga dilambangkan ∂f/∂x atau fx. Fungsi turunan kedua dilambangkan: ∂2z/∂x2 atau ∂2f atau fxx Fungsi turunan fx terhadap y dilambangkan fyx Fungsi turunan fy terhadap x dilambangkan fxy fyx = fxy

Maksimum dan minimum y = f(x) akan maksimum pada saat: dy/dx = 0 dan d2y/dx2 < 0 akan minimum pada saat: dy/dx = 0 dan d2y/dx2 > 0 akan mempunyai titik belok (inflection point) pada: dan d2y/dx2 = 0

Apabila fungsinya lebih dari dua variabel: z = f(x, y) atau f(x1, x2), Maksimum jika fx = 0, fy = 0 fxx < 0, fyy < 0 fxxfyy – (fxy)2 > 0 Minimum jika fx = 0, fy = 0 fxx > 0, fyy > 0 fxxfyy – (fxy)2 > 0

Contoh: Periksa apakah fungsi berikut ini mempu-nyai titik maksimum, minimum atau titik belok dan hitung nilai f(x) pada titik tersebut. y = f(x) = -x2 + 4x + 7 dy/dx = -2x + 4 = 0; nilai x = 2 d2y/dx2 = -2 < 0; berarti mempunyai titik maks. pada x = 2. nilai ymaks atau f(x)maks = -(2)2 + 4(2) + 7 = 11

Contoh: Tentukan nilai ekstrim (maks/min) dari: z = x2 + xy + y2 – 3x + 2 Langkah-langkah: Derivatif pertama: fx = 2x + y – 3 fy = x + 2y fx = 0 dan fy = 0 2x + y – 3 = 0 x + 2y = 0 Dari 2x + y – 3, didapat y = 3 – 2x. Substitusi y = 3 – 2x ke persamaan x + 2y = 0 didapat x + 2(3 – 2x) = 0; x + 6 – 4x = 0 atau 3x = 6  x = 2.

Untuk x = 2, y = 3 – 2(2) = -1. Artinya titik (2, -1) merupakan titik maks atau min c. Uji dengan derivatif kedua: fxx = 2; fyy = 2; fxy = fyx = 1 fxxfyy – (fxy)2 = 2.2 – 12 = 3 > 0 artinya fungsi z mempunyai titik minimum pada titik (2, -1). d. Nilai zmin = (2)2 + (2)(-1) + (-1)2 – 3(2) + 2 = 4 – 2 + 1 – 6 + 2 = -1.

Penutup: TUHAN Maha Tahu tetapi tidak pernah memberi tahu ! Mengapa ? Manusia sudah diberi pikiran dan manusia adalah makhluk yang berpikir. Matematika merupakan sarana berpikir