Pertidaksamaan Oleh : M Zakaria Al Ansori Alifian Maulidzi Bayu Kris

I. Pengertian pertidaksamaan Pertidaksamaan didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang dihubungkan dengan notasi / lambang <, >, ≤ atau ≥. Contoh 1 : a. x + 5 < 12 c. 2x2 – 3x + 5 ≥ 0 b. (x – 2)(x + 3)2(x + 4) ≤ 0 d. √(10 – 2x) > x + 5 Sebelum kita bahas lebih jauh tentang pertidaksamaan, masih ingatkah kamu tentang pengertian interval / selang ? Contoh 2 : Nyatakan suatu himpunan penyelesaian yang merupakan himpunan bilangan real yang memenuhi : a. x > 4 c. 2 ≤ x ≤ 5 b. x ≤ -2 d. x ≤ -1 atau x > 4

4 -2 2 5 -1 4

Sifat-sifat pertidaksamaan Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika penambahan atau pengurangan suatu bilangan yang sma dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan tersebut. Misal : x + 3 < 5 ↔ x + 3 – 3 < 5 – 3 ↔ x < 2 2. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika perkalian atau pembagian suatu bilangan positif dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan tersebut 2x ≥ 18 ↔ 2x . ½ ≥ 18 . ½ ↔ x ≥ 9

Tanda pertidaksamaan akan berubah jika perkalian atau pembagian suatu bilangan negatif dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan tersebut. Bukti : Misalnya : a < b dan k < 0 karena a < b maka a – b = n , dimana n < 0 sehingga : k ( a – b ) = kn ↔ ka - kb = kn > 0 ↔ ka > kb Contoh : - 4x < 12 ↔ - 4x . – ¼ > 12 . - ¼ ↔ x > -3

II. Pertidaksamaan Linier Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan yang memuat variabel dengan pangkat tertinggi adalah satu Contoh 3 : Tentukan HP dari pertidaksamaan berikut ini : a. 2x – 5 < 13 b. 3x + 2 ≥ 5x – 22 c. 3 < x + 4 < 7 d. 3x + 1 ≤ 2x – 6 ≤ x – 5 Jawab : a. 2x – 5 < 13 ↔ 2x < 13 + 5 ↔ x < 18 HP = { x / x < 18 } 18

b. 3x + 2 ≥ 5x – 22 ↔ 3x – 5x ≥ - 22 – 2 ↔ - 2x ≥ -24 ↔ x ≤ 12 b. 3x + 2 ≥ 5x – 22 ↔ 3x – 5x ≥ - 22 – 2 ↔ - 2x ≥ -24 ↔ x ≤ 12 HP = { x / x ≤ 12 } c. 3 < x + 4 < 7 ↔ 3 – 4 < x < 7 – 4 ↔ - 1 < x < 3 HP = { x / -1 < x < 3 } d. 3x + 1 ≤ 2x – 6 ≤ x – 5 ↔ 3x + 1 ≤ 2x – 6 ↔ 3x – 2x ≤ -6 - 1 ↔ x ≤ - 7 atau : 2x – 6 ≤ x – 5 ↔ 2x – x ≤ -5 + 6 ↔ x ≤ 1 12 - 1 3

atau : 3x + 1 ≤ x – 5 ↔ 3x – x ≤ -5 – 1 ↔ 2x ≤ -6 ↔ x ≤ -3 hasilnya - 7 1 -3 - 7 HP = { x / x ≤ - 7 }

III. Pertidaksamaan Kuadrat Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memuat variabel dengan pangkat tertinggi adalah dua. Ada 2 cara menyelesaiakan pertidaksamaan kuadrat yaitu : a. dengan metode garis bilangan b. dengan metode sketsa grafik Dengan metode garis bilangan Contoh 4 : Tentukan HP dari pertidaksamaan kuadrat berikut ini dengan metode garis bilangan : a. (x – 1)(x + 3) > 0 c. 3x2 + 5x – 1 ≤ 2x2 + 5x + 15 b. x2 – 5x + 6 ≤ 0 d. –x2 + 3x – 4 < 0

Jawab : (x – 1)(x + 3) > 0 Jadi HP = { x / x < -3 atau x > 1 } b. x2 – 5x + 6 ≤ 0 ↔ (x – 2)(x – 3) ≤ 0 Jadi HP = { x / x ≤ 2 atau x ≥ 3 } + + + + - - - - - - - + + + + -3 1 - - - - - - - + + + + - - - - - - - 2 3

c. 3x2 + 5x – 1 ≤ 2x2 + 5x + 15 ↔ 3x2 – 2x2 + 5x – 5x – 1 – 15 ≤ 0 ↔ x2 – 16 ≤ 0 ↔ (x – 4)(x + 4) ≤ 0 Jadi HP = { x / -4 ≤ x ≤ 4 } d. –x2 + 3x – 4 < 0 x ( - 1 ) ↔ x2 – 3x + 4 > 0 ↔ (x – 1)(x + 4) > 0 Jadi HP = { x / x < -4 atau x > 1 } + + + + - - - - - - - + + + + -4 4 + + + + - - - - - - - + + + + -4 1

B. Metode sketsa grafik Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan metode sketsa grafik fungsi kuadrat seperti yang telah kita pelajari pada kompetensi dasar grafik fungsi kuadrat yang lalu. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Hal yang perlu diperhatikan sebelum kita menggambar parabola y = ax2 + bx + c adalah a dan D (diskriminan = b2 – 4ac) . Perhatikanlah hal yang berikut ini :

a. Jika a > 0 (Mempunyai nilai balik minimum). D > 0 (memotong sb x di 2 titik yang berlainan). b. a > 0 D=0 (menyinggung sb x/terdapat 1 titik persekutuan). c. D < 0 (tidak memotong/menyinggung sb x).

d. a < 0 (mempunyai nilai balik maksimum) D > 0 (memotong sb x di 2 titik yang berlainan). e. a < 0 D = 0 (menyinggung sb x, mempunyai 1 titik persekutuan). f. D < 0 (tidak memotong/menyinggung sb x)

Hal yang perlu diperhatikan dalam menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat yaitu : a. Titik potong dengan sumbu X syaratnya y = 0 b. Titik potong dengan sumbu Y syartanya x = 0 c. Sumbu simetri yaitu x = -b/2a d. Titik Puncak yaitu P( -b/2a , -D/4a) Contoh 5 : Tentukan HP dari pertidaksamaan kuadrat x2 – x < 3x dengan menggunakan sketsa grafik. Jawab : x2 – x < 3x ↔ x2 – x - 3x < 0 ↔ x2 – 4x < 0 Kita harus menggambar grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x dan setelah itu kita tentukan daerah penyelesaiannya yang berada dibawah sumbu X.

Titik potong dengan sumbu X syaratnya y – 0. y = x2 – 4x. 0 = x2 – 4x Titik potong dengan sumbu X syaratnya y – 0 y = x2 – 4x 0 = x2 – 4x 0 = x ( x – 4) x = 0 atau x = 4 b. Titik potong dengan sumbu Y syaratnya x = 0 y = 3 Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (3,0) c. Sumbu simetri x = -b/2a x = - (-4) / 2.1 x = 2 d. Puncak P(-b/2a , -D/4a) P ( 2, -(b2 – 4ac) /4a ) P ( 2, -((-4)2-4.1.0 / 4.1) P ( 2, -16/4) P (2 , -4)

Sketsa grafiknya adalah sebagai berikut : Himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang terletak diantara 0 dan 4 yang berada dibawah sumbu X ( karena tanda pertidaksamaannya < 0 ) Jadi HP = { x / 0 < x < 4 } Y X 2 4 -4

IV. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan Contoh 6 : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : + + + + + + + + - - - - - - - - - -1 2 Jadi HP = { x / -1 < x < 2 }

Contoh 7 : Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan + + + + - - - - - - - - - - - + + + + -2 3 HP = { x / x ≤ -2 atau x > 3 }

Contoh 8 : Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan + + + + + + + - - - - - - - - - - + + + + + + + 5 3 Jadi HP = { x / 3 ≤ x ≤ 5 }

V. Pertidaksamaan Bentuk Akar Contoh 9 : Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan bentuk akar berikut : Jawab :

Syarat bentuk akar 5/2 Syarat pertidaksamaan 3 hasilnya 5/2 3 Jadi HP = { x / 5/2 ≤ x ≤ 3 }

Contoh 10 : Tentukan HP dari Jawab :

Syarat pertidaksamaan Syarat bentuk akar (1) Syarat bentuk akar (2) hasilnya 6 3 4 6 Jadi HP = { x / x > 6 }

LATIHAN 2 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut ini dengan menggunakan metode garis bilangan : a. x2 – 2x – 3 < 0 b. x2 + x – 12 > 0 c. x2 + 3x – 10 ≤ 0 d. x2 – x + 2 ≥ 0 e. 3x2 + 2x + 2 < 2x2 + x + 8 f. (x – 1)(x – 2) ≤ 0 g. (2x – 1 )(x + 1) ≥ 0 h. (3 – 2x)(x + 4) < 0 i. (x – 1)2 ≥ 4x2 j. (x – 1)(x + 2) > x (4 – x) k. 3x < x2 + 2

2. Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut ini dengan menggunakan metode sketsa grafik : a. (x – 3)(x – 5) > 0 b. (x + 1 )(x – 2) < 0 c. 2x2 + 9x + 4 ≤ 0 d. 2x2 – 11x + 5 ≥ 0 e. –x2 + 3x – 4 < 0 f. 3 + 3x – 4x2 ≤ 4x2 – 2x g. 2x2 > 15 – 7x h. x2 + 3x ≥ 2 (x +3) i. 3x2 + 4x + 18 > 4x2 + 3x – 2 j. 12 – 4x – x2 < 0 k. x2 – 25 ≥ 0 l. 9x – 6x2 ≤ 3 – 2x m. 2x2 – x > 3 – 6x

2. Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut ini dengan menggunakan metode sketsa grafik : a. (x – 3)(x – 5) > 0 b. (x + 1 )(x – 2) < 0 c. 2x2 + 9x + 4 ≤ 0 d. 2x2 – 11x + 5 ≥ 0 e. –x2 + 3x – 4 < 0 f. 3 + 3x – 4x2 ≤ 4x2 – 2x g. 2x2 > 15 – 7x h. x2 + 3x ≥ 2 (x +3) i. 3x2 + 4x + 18 > 4x2 + 3x – 2 j. 12 – 4x – x2 < 0 k. x2 – 25 ≥ 0 l. 9x – 6x2 ≤ 3 – 2x m. 2x2 – x > 3 – 6x

LATIHAN 3

Terima Kasih