Fungsi Harmonik Oleh : Kelompok 5 Farid Sugiono 070210191156 Akhmad Mukhlis 070210191154 M. Sidik Yusuf 070210191157 M. Sofyan Hadi 070210191140 Malihur Rohma 070210191143 Martha Citra D. 070210191161

Fungsi Harmonik f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan v mempunyai derivatif parsial di semua orde yang kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R , ux = vy dan uy = –vx Karena derifatif-derivatif parsial dari u dan v kontinue dalam D, maka berlaku vxy = vyx. Jika dalam ux = vy dan uy = –vx diderivatifkan parsial terhadap x dan y maka (x,y) D berlaku uxx + uyy = 0 vxx = vyy = 0

Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan differensial Laplace dalam 2 dimensi. u dan v dimana f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain maka f(z) harmonik pada domain tersebut.

Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu domain dinamakan Dua Fungsi yang Harmonik Konjugat dalam domain itu. Suatu fungsi 2 peubah (riil) yg memenuhi pers. Laplace disebut fungsi Harmonic (u,v:harmonic function) u : fungsi sekawan harmonis v v : fungsi sekawan harmonis u

Contoh 3 Diberikan u(x,y) harmonik pada D dan tentukan fungsi v yang harmonik konjugat dengan u = 4xy3 – 4x3y, (x,y) ℂ Jawab : Misal diklaim konjugatnya adalah v(x,y) jadi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada ℂ sedemikian sehingga berlaku C-R ux = vy dan uy = -vx ux = 4y3 – 12x2y vy = 4y3 – 12x2y uy= 12xy2 – 4x3 v= y4 – 6x2y2 + g(x) karena vx = –uy maka –12xy2 + g’(x) = –12xy2 + 4x3 sehingga g’(x) = 4x3 diperoleh g(x) = x4 + C Jadi v = y4 – 6x2y2 + x4 + C

Cara Milne Thomson f(z) = ux – iuy Cara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari fungsi harmonik u diberikan u(x,y) harmonik pada D andaikan v(x,y) sehingga f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) analitik pada D f”(z) = ux(x,y) + ivx(x,y) sesuai persamaan C-R : f”(z) = ux(x,y) – iuy(x,y) z = x + iy dan = x – iy sehingga diperoleh f(z) = ux – iuy

Suatu identitas dalam z dan , jika diambil = z maka f’(z) = ux(z,0) – iuy(z,0) Jadi f(z) adalah fungsi yang derivatifnya ux(z,0) – iuy(z,0) kemudian didapat v(x,y)

Contoh 5 Dari Contoh 3 dengan u= 4xy3 – 4x3y, (x,y)  ℂ, jika diselesaikan dengan menggunakan cara Milne Thomson. Jawab : ux = 4y3 – 12x2y uy= 12xy2 – 4x3 f’(z) = ux(z,0) – iuy(z,0) = –i(– 4z3) = 4iz3 sehingga f(z) = iz4 + C f(z) = i(x + iy)4 + C = 4xy3 – 4x3y + i(x4 – 6x2y2 + y4) + C

Thankz