BAB 8 teori probabilitas STATISTIKA DESKRIPTIF Plus Drs. Algifari, M. Si.

tujuan Setelah selesai mempelajari bab in diharapkan Anda mampu: Memahami arti probabilitas Memahami arti percobaan dan peristiwa Mengerti 3 pendekatan penentukan probabilitas suatu peristiwa Memahami peristiwa saling meniadakan dan tidak saling meniadakan Memahami peristiwa independen dan peristiwa dependen

pembahasan Pengertian Pendekatan Menentukan Probabilitas Aturan Penjumlahan dan Pengurangan Aturan Perkalian dan Pembagian Teorima Bayes

Probabilitas Pengertian Probabilitas adalah besarnya kemungkinan terjadinya suatu peristiwa Nilai probabilitas: dari 0 sampai dengan 1 Jika probabilitas suatu peristiwa bernilai 0 menunjukkan bahwa peristiwa tersebut pasti tidak akan terjadi Jika probabilitas suatu peristiwa bernilai 1 menunjukkan bahwa peristiwa tersebut pasti akan terjadi

BEBERAPA ISTILAH Events: satu atau lebih kemungkinan hasil dari melakukan suatu tindakan Experiment: Suatu tindakan yang menghasilkan akan menghasilkan peristiwa (event). Sample space: Kumpulan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan (experiment). Contoh: Jika kita melempar sebuah mata uang satu kali, maka tentukan mana yang disebut experiment, event, dan sample space?

Lanjutan ... Probabilitas muncul sisi gambar (G) pada percobaan melempar koin yang memiliki dua sisi, yaitu sisi angka d(A) an sisi gambar (G) adalah Probabilitas muncul sisi gambar pada satu pelemparan koin adalah ½. Atau dapat juga ditulis 0,5 atau 50%. Probabilitas muncul sisi 1 (misalnya diberi nama peristiwa A) pada pelemparan sebuah dadu yang memiliki 56 sisi, yaitu sisi 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah Probabilitas muncul sisi gambar pada satu pelemparan koin adalah 1/6. Atau dapat juga ditulis 0,133 atau 13,3%.

Lanjutan …. Pendekatan Frekuensi Relatif Observasi dari suatu kejadian dg banyak percobaan Proporsi suatu kejadian dlm jk panjang pada saat kondisi stabil Pendekatan Subyektif Pendekatan ini berdasarkan kepercayaan seseorang dalam membuat pernyataan probabilitas suatu peristiwa.

Aturan-aturan probabilitas Simbol probabilitas P(A) = probabilitas kejadian A akan terjadi Probabilitas marjinal Probabilitas suatu peristiwa Contoh: Probabilitas seorang peserta memperoleh gelar juara 1 dari 20 peserta dalam suatu turnamen

Aturan Penjumlahan dan Pengurangan Dua atau lebih peristiwa dapat bersifat tidak saling meniadakan (non mutually exclusive) atau bersifat saling meniadakan (mutually exclusive) Dua atau lebih peristiwa tidak saling meniadakan (non mutually exclusive) artinya terjadinya suatu peristiwa tidak akan menghilangkan kesempatan terjadinya peristiwa yang lain. Dengan kata lain dua atau lebih peristiwa tersebut dapat terjadi secara bersamaan. Dua atau lebih peristiwa saling meniadakan (mutually exclusive) artinya terjadinya suatu peristiwa akan menghilangkan kesempatan terjadinya peristiwa yang lain. Dengan kata lain dua atau lebih peristiwa tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan.

Lanjutan … Misalnya pada percobaan mengambil satu kartu pada satu set kartu remi. Peristiwa terambil kartu Diamond atau terambil kartu Claver merupakan dua peristiwa yang saling meniadakan. Karena tidak ada kartu yang bergambar Diamond dan Claver. Peristiwa terambil kartu As atau terambil kartu Claver merupakan dua peristiwa yang tidak saling meniadakan. Karena ada kartu As yang bergambar Claver, yaitu As Claver.

Lanjutan…. Diagram Venn Mutually exclusive events Nonmutually exclusive events A B A B

Mutually Exclusive Events Probabilitas terjadinya peristiwa A atau B di aman A dan B merupakan dua peristiwa yang saling meniadakan adalah P(A atau B) = P(AB) = P(A) + P(B) Soal 2 Suatu percobaan dilakukan dengan melempar sebuah dadu yang memiliki 6 sisi, yaitu sisi 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Tentukan probabilitas muncul sisi 2 atau sisi 3. Jawab: P(2 atau 3) = P(23) = P(2) + P(3) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 = 0,3333 = 33,33%

Lanjutan ... Probabilitas terjadinya peristiwa A atau B atau C di aman A, B, dan C merupakan tiga peristiwa yang saling meniadakan adalah P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) Soal 4 Suatu percobaan dilakukan dengan melempar sebuah dadu yang memiliki 6 sisi, yaitu sisi 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Tentukan probabilitas muncul sisi 2 atau sisi 3 atau sisi 5. Jawab: P(235) = P(2) + P(3) + P(5) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

NonMutually Exclusive Events Probabilitas terjadinya peristiwa A atau B di mana A dan B merupakan dua peristiwa yang saling tidak meniadakan adalah P(A atau B) = P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)

Lanjutan ... Soal 5 Suatu penelitian dilakukan berkaitan dengan selera pengunjung di suatu toko musik terhadap jenis musik. Penelitian tersebut menggunakan 50 pengunjung sebagai sampel. Berdasarkan sampel tersebut diperoleh informasi sebagai berikut: 20 orang pengunjung menyatakan senang musik Rock (R) 15 orang pengunjung menyatakan senang musik Pop (P) 12 orang pengunjung menyenangi senang musik Dangdut (D) 8 orang pengunjung menyatakan senang musik Rock (R) dan Pop (P) 9 orang pengunjung menyatakan senang musik Rock (R) dan Dangdut (D) 7 orang pengunjung menyatakan senang musik Pop (P) dan Dangdut (D) 5 orang pengunjung menyatakan senang ketiga jenis musik tersebut. Berdasarkan data tersebut, jika dipilih seorang pengunjung secara random, tentukan probabilitas bahwa ia: menyenangi musik Rock atau Dangdut. menyenangi musik Rock atau musik Pop. menyenangi ketiga jenis musik tersebut. tidak menyenangi ketiga jenis musik tersebut.

Lanjutan ... Jawaban Soal 5 a. P(RD) = P(R) + P(D) - P(RD) = 20/50 + 12/50 – 9/50 = 23/50 = 0,46 b. P(RP) = P(R) + P(P) - P(RP) = 20/50 + 15/50 – 8/50 = 27/50 = 0,54 c. P(RPD) = P(R) + P(P) + P(D) – P(RP) - P(RD) - P(PD) + P(RPD) = 20/50 + 15/50 + 12/50 – 8/50 – 9/50 – 7/50 + 5/50 = 28/50 = 0,56 d. = 1 - 0,56 = 0, 44

Lanjutan ... Pop 5 3 Rok 8 22 5 2 4 1 Dangdut a. P(RD) = (8+3+4+5+2+1)/50 = 23/50 = 0,46 b. P(RP) = (8+3+4+5+5+2)/50 = 27/50 = 0,54 c. P(RPD) = (8+3+4+5+5+2+1)/50= 28/50 = 0,56 d. 22/50 = 0, 44

Lanjutan ... Soal 6 Suatu perusahaan melakukan survey mengenai pendapat konsumen terhadap produk yang ia hasilkan. Data berikut ini menunjukkan pendapat responden terhadap produk tersebut. Jika dipilih seorang responden secara random, tentukan probabilitas bahwa ia: remaja atau berpendapat sangat puas dewasa atau remaja dewasa atau berpendapat kurang puas. Responden Pendapat Sangat Puas (SP) Puas (P) Kurang Puas (KP) Dewasa (D) 25 20 10 Remaja (R) 30 Anak-anak (A) 40 15

Jawaban Soal 6 a. P(R  SP) = P(R) + P(SP) – P(RSP) = 60/200 + 85/200 – 20/200 = 125/200 = 0,625 b. P(D  KP) = P(D) + P(KP) – P(DKP) = 55/200 + 35/200 – 10/200 = 80/200 = 0,4 c. P(R  A) = P(R) + P(A) = 60/200 + 85/200 = 145/200 = 0,725 Responden Pendapat Sangat Puas (SP) Puas (P) Kurang Puas (KP) Total Dewasa (D) 25 20 10 55 Remaja (R) 30 60 Anak-anak (A) 40 15 85 80 35 200

Kasus untuk latihan Suatu survey dilakukan untuk mengetahui respon konsumen terhadap 3 produk yang dihasilkan perusahaan, yaitu produk A, B, dan C. Responden diminta untuk menjawab pertanyaan mengenai produk mana yang pernah ia beli. Berdasarkan sampel sebanyak 70 responden di daerah tersebut diperoleh informasi sebagai berikut: 30 responden menyatakan pernah membeli A 20 responden menyatakan pernah membeli B 25 responden menyatakan pernah membeli C 7 responden menyatakan pernah membeli A dan B 11 responden menyatakan pernah membeli A dan C 8 responden menyatakan pernah membeli B dan C 3 responden menyatakan pernah membeli A dan B dan C Berdasarkan sampel hasil survey tersebut, tentukan probabilitas seorang responden: a. pernah membeli barang A atau C b. pernah membeli barang B atau C c. pernah membeli barang A atau B atau C d. tidak pernah membeli barang A atau B atau C.

Aturan Perkalian dan Pembagian Peristiwa independen (Independent Events): peristiwa yang satu tidak berhubungan dengan peristiwa yang lain Probabilitas dua peristiwa, misalnya A dan B, yang independen satu sama lain dapat ditentukan dengan formula: P(A  B) = P(A) . P(B) P(A  B): probabilitas A dan B Probabilitas tiga peristiwa, misalnya A, B, dan C yang independen satu sama lain dapat ditentukan dengan formula: P(A  B  C) = P(A) . P(B) . P(C) P(A  B  C): probabilitas A dan B dan C

Lanjutan ... Peristiwa dependen (Dependent Events). Dua atau lebih peristiwa dikatakan bersifat dependen jika terjadinya suatu peristiwa akan mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain. Contoh: Penjualan akan meningkat jika perekonomian membaik. Peristiwa penjualan meningkat dan perekonomian membaik adalah dua peristiwa yang dependen. Penjualan meningkat akan terjadi jika perekonomian membaik terjadi. Penjualan dipengaruhi oleh kondisi perekonomian.

Lanjutan ... Probabilitas dua peristiwa, misalnya A dan B, terjadi di mana A dan B merupakan dua peristiwa yang dependen adalah P(A  B) = P(A) . P(B/A) P(A  B): probabilitas A dan B P(A): probabilitas A P(B/A): probabilitas B dengan syarat sebelumnya terjadi A Probabilitas tiga peristiwa, misalnya A, B, dan C terjadi di mana A, B, dan C merupakan tiga peristiwa yang dependen adalah P(AB C) = P(A) . P(B/A) . P(C/AB) P(A  B  C): probabilitas A dan B dan C P(C/AB): probabilitas C dengan syarat sebelumnya terjadi A dan B

Lanjutan ... Soal 7 Sebuah kotak berisi 10 bola yang terdiri dari 6 berwarna merah dan 4 berwarna putih. Jika 2 buah bola diambil berturut-turut secara random, tentukan probabilitas 1 berwarna merah dan lainnya berwarna putih. Pengambilan dilakukan: dengan pengembalian (with replacement) tanpa pengembalian (without replacement) Jawab: P(M1P2) = P(M1) . P(P2) = 6/10 x 4/10 = 24/100 = 0,240 P(M1P2) = P(M1) . P(P2/M1) = 6/10 . 4/9 = 24/90 = 0,267

Lanjutan ... Soal 8 Sebuah kotak berisi 10 bola yang terdiri dari 6 berwarna merah dan 4 berwarna putih. Jika 3 buah bola diambil berturut-turut secara random, tentukan probabilitas semua bola berwarna merah. Pengambilan dilakukan: dengan pengembalian (with replacement) tanpa pengembalian (without replacement) Jawab: P(M1M2 M2) = P(M1) . P(M2) . P(M3) = 6/10 . 6/10 . 6/10 = 216/1.000 = 0,216 P(M1M2 M2) = P(M1) . P(M2/M1) . P(M3/M1M2) = 6/10 . 5/9 . 4/8 = 120/720 = 0,167

Lanjutan…. Probabilitas Bersyarat (Conditional probability) Probabilitas yang terjadinya dipengaruhi oleh kejadian sebelumnya. Untuk peristiwa yang independen, probabilitas terjadinya peristiwa B dgn syarat peristiwa A terjadi terlebih dahulu, adalah probabilitas peristiwa B itu sendiri P(B/A) = P(B) Contoh : Berapa probabilitas muncul sisi gambar (G) pada sebuah koin yang dilempar satu kali dengan syarat muncul sisi angka (A) pada pelemparan sebelumnya? P(G/A) = P(G)

Lanjutan… Misalnya A dan B adalah dua peristiwa yang saling dependen. Besarnya probabilitas terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A terjadi terlebih dahulu adalah Misalnya A dan B adalah dua peristiwa yang saling dependen. Besarnya probabilitas terjadinya peristiwa A dengan syarat peristiwa B terjadi terlebih dahulu adalah

Lanjutan ... Contoh: Enam puluh lima persen karyawan perusahaan ABC membaca koran, 45% membaca tabloid, dan 30% membaca keduanya. Berapa probabilitas terpilih seorang karyawan yang membaca tabloid dengan syarat dia juga membaca koran? Jawab: Misalnya K adalah karyawan menbaca koran dan T adalah karyawan membaca tabloid.

Lanjutan ... Soal 13 Data mengenai komposisi karyawan pada suatu pabrik yang mempunyai 100 karyawan adalah sebagai berikut: Jika seorang karyawan pria dipilih secara random, berapa probabilitas bahwa ia berasal dari bagian Marketing. Jika seorang karyawan bagian Akuntansi dipilih secara random, berapa probabilitas bahwa ia seorang wanita. Bagian Jenis Kelamin Pria (P) Wanita (W) Produksi (Pr) 25 20 Marketing (M) 30 18 Akuntansi (A) 5 2

Lanjutan ... Jawaban Soal 13 a. b. Bagian Jenis Kelamin Total Pria (P) Wanita (W) Produksi (Pr) 25 20 45 Marketing (M) 30 18 48 Akuntansi (A) 5 2 7 60 40 100 a. b.  

Lanjutan ... Probabilitas Gabungan Peristiwa A dan peristiwa B merupakan dua peristiwa yang dependen. Besarnya probabilitas B dengan syarat A terjadi terlebih dahulu adalah Probabilitas A dan B atau P(A  B) = P(A) . P(B/A)

Lanjutan ... Soal 14 Pada saat diterima barang dari penyalur, biasanya pembeli memeriksa barang-barang tersebut. Dari 100 barang yang diterima ternyata 10 barang yang rusak. Apabila diambil dua barang secara random dari 100 barang yang datang, berapa probabilitas bahwa kedua barang yang diambil tersebut adalah rusak (Pengambilan dilakukan tanpa pengembalian). Jawaban Soal 14 Misalnya A adalah peristiwa terambil barang yang rusak pada pengambilan pertama dan B adalah peristiwa terambil pengambilan kedua. P(A) = 10/100 dan P(B/A) = 9/99 Karena pengambilan dilakukan tanpa pengembalian (without replacement). Probabilitas terambil keduanya rusak adalah P(AB) = P(A) . P(B/A) = 10/100 x 9/99 = 90/9.900 = 1/110

Lanjutan ... Soal 15: Misalnya Anda mengikuti seleksi penerimaan staf baru di sebuah perusahaan. Anda memiliki probabilitas diterima sebagai karyawan baru di perusahaan tersebut adalah 65%. Jika Anda diterima sebagai karyawan baru di perusahaan tersebut, probabilitas menempati posisi manajer produksi 20%. Tentukan probabilitas Anda diterima dan menempati posisi sebagai manajer produksi di perusahaan tersebut. Jawab Soal 15: Misalnya A menyatakan peristiwa Anda diterima dan B menyatakan Anda menempati posisi sebagai manajer produksi. Dengan demikian probabilitas yang akan ditentukan adalah P(A B). P(AB) = P(A) . P(B/A) P(A) = 65% = 0,65 dan P(B/A) = 20% = 0,20 = 0,65 (0,2) = 0,13 Probabilitas Anda diterima dan menempati posisi sebagai manajer produksi di perusahaan tersebut adalah 13%.

Lanjutan… Marginal Probability Probabilitas sederhana dari suatu kejadian yang dependen

Lanjutan ... P(AB = P(A/B) . P(B) P(AB = P(B/A) . P(A) P(B/A) . P(A) = P(A/B) . P(B)

Bayes Theorem Pengembangan konsep probabilitas bersyarat Peristiwa A hanya bisa terjadi jika salah satu dari n peristiwa yang saling asing B1, B2, …, Bn juga terjadi

Contoh kasus Manajer pemasaran sebuah perusahaan yang memproduksi mainan merencanakan akan memperkenalkan mainan baru ke pasar. Pada masa lalu, 40% mainan yang diperkenalkan oleh perusahaan telah berhasil, dan 60% gagal. Sebelum mainan dipasarkan, dilakukan riset pasar dan laporan, yaitu baik dan buruk, dikumpulkan. Pada masa lalu, 80% mainan yang berhasil menerima laporan yang baik, dan 30% mainan yang gagal juga menerima laporan yang baik. Tentukan probabilitas mainan baru akan berhasil, jika laporan yang diterima adalah baik?

jawab Misalnya: S = mainan yang sukses dan S'= mainan yang gagal F = laporan yang baik dan F'= laporan yang buruk Maka: P(S) = 0,4; P(S') = 0,6; P(F/S) = 0,8; P(F/S') = 0,3 Probabilitas mainan akan berhasil jika menerima laporan yang baik adalah Jadi probabilitas mainan berhasil jika menerima laporan yang baik adalah 0,64. Sedangkan probabilitas mainan gagal, jika diterima laporan baik adalah (1 – 0,64) = 0,36.

Kasus untuk latihan Sebuah perusahaan yang memproduksi ban mobil menggunakan 3 buah mesin dalam proses produksinya. Mesin 1 memproduksi 20% dari total produk, mesin 2 memproduksi 30%, dan mesin 3 menghasilkan 50%. Produk rusak yang dihasilkan mesin 1 sebesar 10%, mesin 2 sebesar 5% dan mesin 3 sebesar 2%. Jika diambil secara random sebuah ban, berapa probabilitas yang terpilih adalah ban yang rusak? Dan jika ban yang terpilih adalah yang rusak, berapa probabilitas ban tersebut dihasilkan oleh mesin 3?