PELUANG Teori Peluang

PROBABILITY Probability Theory

Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi Standar Kompetensi Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang Kompetensi Dasar Mendiskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi Indikator Kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi digunakan dalam menentukan banyaknya cara menyelesaikan suatu masalah Hal.: 3 PELUANG/PROBABILITAS

Counting, Permutation, and Combination Rules Competence Standard Solving problem by probability theory concept Base Competence Desribing counting, permutation, and combination rules Indicator Counting, permutation and combination rules is used to determine the amount of solving problem ways Hal.: 4 PELUANG/PROBABILITAS

Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi 1. Aturan pengisian tempat yang tersedia Contoh: Pada lomba lari 100 meter, empat anak lolos ke putaran akhir, yaitu A(Adi), B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi). Pada perlombaan tersebut disediakan dua hadiah. Ada berapakah susunan pemenang yang mungkin muncul pada akhir pertandingan? Hal.: 5 PELUANG/PROBABILITAS

Counting, Permutation, and Combination Rules Counting Rules 1. Rules of filling the provided place Example : In a-one hundred meters run champion, four participants had passed to the final round, there are A(Adi), B(Banu), C (Candra), and D(Dodi). In the last round , two prizez for the two winners will be presented. How many arrange of winners will be appeared at the end of the race? Hal.: 6 PELUANG/PROBABILITAS

Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi Jawab: Pemenang pertama dan kedua yang mungkin muncul, dapat kita susun yaitu: AB, AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC. Proses menentukan banyaknya susunan pemenang secara umum mengikuti aturan sebagai berikut: Langkah 1: Ada 4 peserta lomba yang semuanya bisa keluar sebagai juara pertama. Langkah 2: Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta lomba yang bisa menduduki juara kedua. 4 x 3 = 12 Jadi seluruhnya ada susunan pemenang yang mungkin terjadi Hal.: 7 PELUANG/PROBABILITAS

Counting, Permutation, and Combination Rules Answer : The first and the second winner that probably appeared at the end of the race can be arranged as follow : AB, AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC. The process is determining the number of winner arrangement the rules as follows : First : Every participant has an opportunity to be the first winner Second : As one participant had already gone through the finish line, there are still three other participants who has opportunity to be a second winner 4 x 3 = 12 Therefore, there are ways to arrange to possible winners Out of four participants Hal.: 8 PELUANG/PROBABILITAS

Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi Contoh 2 Amalia memiliki 4 buah kemeja, 2 buah celana panjang dan 3 sepatu. Ada berpa cara ia dapat berpakaian lengkap? Jawab: Kemeja yang dapat dipilih Amalia ada 4 cara, celana panjang 2 cara dan sepatu 3 cara. Jadi, ada 4 x 2 x 3 = 12 cara Amalia dapat berpakaian lengkap Hal.: 9 PELUANG/PROBABILITAS

Counting, Permutation, and Combination Rules Example 2 Amalia has 4 blazers, 2 trousers, and 3 shoes. How many ways she can dress up completely? Answer : Amalia has 4 options to wear blazers, 2 options to wear trousers, and 3 options for shoes. dress up completely So , there are 4 x 2 x 3 = 12 ways for Amalia to Hal.: 10 PELUANG/PROBABILITAS

Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi Dari uraian tersebut dapat kita peroleh suatu kesimpulan : Jika terdapat buah tempat yang tersedia dengan: n1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama. n2 = banyaknya cara mengisi tempat kedua, setelah tempat pertama terisi. n3 = banyaknya cara mengisi tempat ketiga, setelah tempat pertama dan kedua terisi, dan nk = banyaknya cara mengisi tempat ke – k, setelah tempat-tempat sebelumnya terisi. Maka banyaknya cara untuk mengisi k tempat yang tersedia adalah Aturan ini yang dimaksud sebagai aturan pengisian tempat yang tersedia atau kaidah perkalian. n1 x n2 x n3 x … x nk. Hal.: 11 PELUANG/PROBABILITAS

Counting, Permutation, and Combination Rules From the explanations we can conclude that : If there are 3 provided places with : n1 = number of ways to fill the first place n2 = number of ways to fill the second place, after the first place had already filled n3 = number of ways to fill the third place, after the first and second place had already filled nk = number ways to fill the – k order, after the previous places had already filled then, the number of ways in arranging k place to be filled in is the above is called rules of filling the provided place or multiplication rule n1 x n2 x n3 x … x nk. Hal.: 12 PELUANG/PROBABILITAS

Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi Definisi dan Notasi faktorial Definisi: Hasil perkalian semua bilangan bulat positip dari satu sampai dengan n disebut n faktorial, dan diberi notasi n!. 1 x 2x 3 x … x (n-1) x n, n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1 dengan Jadi n! atau = n! = 0! = 1 1! = 1 dan Hal.: 13 PELUANG/PROBABILITAS

Counting, Permutation, and Combination Rules Definitions and Notation of Factorial Definitions: Multiplication result of all the positive discrete numbers from one to n called n-n factorial and notated as n! 1 x 2x 3 x … x (n-1) x n, n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1 where or so n! = n! = 0! = 1 1! = 1 and Hal.: 14 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Masalah Permutasi Masalah Misalkan diadakan undian untuk memperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II). Jika yang memperebutkan hadiah itu ada 3 orang (A, B, dan C), ada berapa cara kedua macam hadiah itu dapat diberikan kepada para pemenang?. Jawab: Obyek Eksp. A B C Cara Eksp. Diundi untuk memperebutkan 2 hadiah (B,A) = permutasi ke-3 = p3 (A,B) = permutasi ke-1 = p1 (A,C) = permutasi ke-2 = p2 (C,A) = permutasi ke-5 = p5 (C,B) = permutasi ke-6 = p6 (B,C) = permutasi ke-4 = p4 ... S, n(S) = 3 cara 2 cara Menurut Prinsip Perkalian Banyaknya cara: n(S) = = 3×2 = 6 = = = 3×2 = Hal.: 15 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Permutations Problem Problem For example it is conducted a lottery to get 2 prizes ( prize I and II ) If there are 3 participants (A, B, dan C), so how many ways of two prizes can be given to the winner? Answer: Object Eksp. A B C ways Eksp. Drawn to get 2 prizes (B,A) = permutation to-3 = p3 (A,B) = permutation to-1 = p1 (A,C) = permutation to-2 = p2 (C,A) = permutation to-5 = p5 (C,B) = permutation to-6 = p6 (B,C) = permutation to-4 = p4 ... S, n(S) = 3 ways 2 ways According to the multiplication concept Ways: n(S) = = 3×2 = 6 = = = 3×2 = Hal.: 16 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Masalah Permutasi Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama Ada berapa cara untuk membuat susunan huruf yang berbeda dari kata “MAMA”?. Jawab MMAA MAMA AMMA AMAM AAMM MAAM Ada 6 cara Jika salah satu anggota diberi indeks M1 A 1 M2 A2 M2 A2 M1 A1 M1 A2 M2 A1 M2 A1 M1 A2 Selanjutnya perhatikan bahwa 6 = = = = Hal.: 17 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Permutation Problem Permutation with Some Identical Alements How many ways to make a different arrangement letter fro the words “MAMA”?. Answer: MMAA MAMA AMMA AMAM AAMM MAAM Six ways If one of letter is given index M1 A 1 M2 A2 M2 A2 M1 A1 M1 A2 M2 A1 M2 A1 M1 A2 Then, see that Permutation after and Which is given The amount Based on 6 = All M A index letter Ma sin g - ma sin g dari 6 anggota setelah diberi indeks memuat 4 cabang cabang) 4 memuat anggota 6 dari masing - (masing berlainan) huruf permutasi (banyaknya 4! = = = Hal.: 18 PELUANG/PROBABILITAS

Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama PELUANG/PROBABILITAS Masalah Permutasi Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama Berapa banyak cara untuk membuat susunan huruf dari kata “KAKAKKU”? Jawab = Karena ada 4K, 2A, dan 1U, maka banyaknya cara = = 105 cara Secara matematika formal, banyaknya cara mengambil 4 huruf K dari 7 huruf ada . Banyaknya cara mengambil 2 huruf A dari (7 – 4) huruf sisanya ada , dan banyaknya cara mengambil 1 huruf A dari (7 – 4 – 2) huruf sisanya ada . Maka menurut prinsip perkalian banyaknya cara untuk membuat susunan huruf dari kata KAKAKKU ada: = × = n1 = + n2 nk n Secara umum, dengan Hal.: 19 PELUANG/PROBABILITAS

Permutation with Some Identical Elements PELUANG/PROBABILITAS Permutation Problem Permutation with Some Identical Elements How many ways to make an arrangement from the words “KAKAKKU”? Answer: = Because there are 4K, 2A, and 1U, then the ways are = 105 ways . The ways to take 2 letters A from (7-4) then the rest of letters are , And the ways to take 1 letter A from (7 – 4 – 2) then the rest of letter is . According to multiplication concept the ways to make an arrangement of letters from the words KAKAKKU is: In formal mathematically, the ways to take 4 letters K from 7 letters are = × = n1 = + n2 nk n Generally and Hal.: 20 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Masalah Permutasi Permutasi Siklis Misalkan 3 orang anak A, B, dan C diminta naik ke permainan roda putar A C B Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = Maka berarti ketiga permutasi siklis tsb sama, yakni ABC = CAB = BCA. Untuk melihat kesamaannya perhatikan bahwa: CAB.CAB = BCA.BCA = ABC (Pandanglah A sebagai titik awal). Dari 3 tempat duduk pada permainan roda putar itu sebenarnya hanya ada 2 saja yang berbeda susunannya, yakni ABC dan ACB. Sehingga hanya ada 2 permutasi siklis. Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = = (n – 1)! Hal.: 21 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Permutation Problem Cyclical Permutation If there are 3 children A, B, and C asked for to ride a Carrousel A C B Generally the number of cyclical permutation from n object = It means the three of cyclical permutations are same, they are, ABC = CAB = BCA. To see its identical, see that: CAB.CAB = BCA.BCA = ABC (See A as the beginning point). From the three seats in that carrousel, actually there are only 2 which are different of arrangement, they are ABC and ACB. So they are only 2 cyclical permutations. Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = = (n – 1)! Hal.: 22 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Masalah Permutasi Permutasi berulang Jika kita inin menyusun kata yang terdiri 2 huruf, yang dipilih dari huruf A, D, I, serta kata yang terbentuk boleh mengandung huruf yang sama, maka kita akan mendapatkan kata: AA, AD, AI, DD, DA, DI, II, IA, ID. Jadi, banyaknya permutasi dua huruf yang diambil dari 3 huruf dengan huruf- huruf itu boleh berulang ada 9 cara. Hal.: 23 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Permutation Problem Repeat Permutation If we want to arrange letters that consist of 2 letters, the chosen letters from A, D, I, and the formed words may consist of the same letter, then we can get the words: AA, AD, AI, DD, DA, DI, II, IA, ID. So, number of two letters permutation which are taken from 3 letters and that letters may repeat in 9 ways. Hal.: 24 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Masalah Permutasi Secara umum: Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang tersedia boleh ditulis berulang) adalah sebagai berikut: P (berulang) =nr dengan r n Hal.: 25 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Permutation Problem Generally: Number of r term permutation which is taken from available r term (with every available term that may be written repeatedly) are follow: P (repeatedly) =nr with r n Hal.: 26 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Masalah Kombinasi No Obyek Eksp. Cara Eksp. Kemungkinan yang dapat hadir 1 O = {A,B,C,D} Diundang 2 orang wakilnya untuk rapat keluarga AB = c1 AC = c2 AD = c3 BC = c4 BD = c5 CD = c6 2 Diundang 3 orang wakilnya untuk rapat keluarga ABC = c1 ABD = c2 ACD = c3 BCD = c4 Hal.: 27 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Combination Problem No Exp. Object Exp. Way The probability presence 1 O = {A,B,C,D} Invited 2 represented persons in family meeting AB = c1 AC = c2 AD = c3 BC = c4 BD = c5 CD = c6 2 Invited 3 represented persons in family meeting ABC = c1 ABD = c2 ACD = c3 BCD = c4 Hal.: 28 PELUANG/PROBABILITAS

Jika elemen-elemen kombinasi itu dipermutasikan Masalah Kombinasi 6 × 2! Total = = 12 = 6 × 2 = 6 2! AB dan BA AC dan CA AD dan DA BC dan CB BD dan DB CD dan DC c1 = AB c2 = AC c3 = AD c4 = BC c5 = BD c6 = CD Banyaknya Permutasi Jika elemen-elemen kombinasi itu dipermutasikan Macam Kombinasi Perhatikan bahwa = 12 = 6 Hal.: 29 PELUANG/PROBABILITAS

The combination elements are permutated Combination Problem 6 × 2! Total = = 12 = 6 × 2 = 6 2! AB and BA AC and CA AD and DA BC and CB BD and DB CD and DC c1 = AB c2 = AC c3 = AD c4 = BC c5 = BD c6 = CD Permutatio number The combination elements are permutated Kind of Combinatio See that = 12 = 6 Hal.: 30 PELUANG/PROBABILITAS

Masalah Kombinasi Macam Kombinasi Jika elemen-elemen kombinasi itu dipermutasikan (Bayangkan hasilnya dari diagram pohon ybs) Banyaknya Permutasi c1 = ABC c2 = ABD c3 = ACD c4 = BCD ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, dan DBA ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, dan DCA 3! = 4 = 4 × 6 = 24 4 × 3! Perhatikan bahwa 24 = 4 × 3! = × 3! Dari : (1) = × 2! (2) = × 3! 2! = 3! Maka Secara Umum : = r! n! (n – r)! r! Hal.: 31 PELUANG/PROBABILITAS

Combination Problem Kind of Combination If combination elements are permutated (Imagine the result of that tree) Permutation Number c1 = ABC c2 = ABD c3 = ACD c4 = BCD ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, and CBA ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, and DBA ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, and DCA 3! = 4 = 4 × 6 = 24 4 × 3! See that 24 = 4 × 3! = × 3! From : (1) = × 2! (2) = × 3! 2! = 3! Then generally : = r! n! (n – r)! r! Hal.: 32 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Masalah Kombinasi Kombinasi k Unsur dari n Unsur dengan beberapa unsur sama Misal 4 bola akan yang diambil dari dalam kotak berisi 4 bola merah, 3 bolaputih dan 2 bola hijau.Empat bola yang diambil harus terdiri dari 2 bola merah, 1 bola putih dan 1 bola hijau. Cara pengambilan ini merupakan masalah kombinasi k unsur dari n unsur dengan beberapa unsur yang sama. Sehingga total cara pemilihan 4 bola dari 9 bola adalah 4 C 2 . 3 C 1 . 2 C 1 cara. Hal.: 33 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Combination Problem Combination term k from term n with the same term If there are 4 balls will be taken from box which has 4 red balls inside. 3 white balls and 2 green balls. The four taken balls must consist of 2 red balls, 1 white ball and 1 green ball. This way is combination problem k term from n term from n term with the same term. So number of ways in choosing 4 balls from 9 balls are 2 . 3 C 1 . 2 C 1 ways Hal.: 34 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Masalah Kombinasi Misal terdapat n unsur yang terdiri dari q1, q2, q3, …, qn Unsur q1 ada sebanyak n1, unsur q2 ada sebanyak n2, unsur q3 ada sebanyak n3, …, unsur qe ada sebanyak ne, sehingga n1 + n2 + n3 + …+ ne = n. Dari n unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari k1 unsur q1, k2 unsur q2, k3 unsur q3, …, ke unsur qe dengan k1 + k2 + k3 + … + ke = k. Banyak cara pengambilan adalah: n1 C k1 . n2 C k2 . n3 C k3 …. . ne C ke Hal.: 35 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Combination Problem If there is n term that consist of q1, q2, q3, …, qn q1 term has n1 ways, q2 term has n2 ways, q3 term has n3 ways,…, qe term has ne ways, so n1 + n2 + n3 + …+ ne = n. From that n term will be taken k term that consist of k1 term q1, k2 term q2, k3 term q3, …, ke term qe with k1 + k2 + k3 + … + ke = k. The number of ways in taking are: n1 C k1 . n2 C k2 . n3 C k3 …. . ne C ke Hal.: 36 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Peluang Kejadian Percobaan, Ruang Sampel, Peluang suatu kejadian Peluang adalah nilai frekuensi relatif munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen jika banyaknya percobaan tak terhingga. P(A)= Kombinatorik Adalah teknik menghitung banyaknya anggota ruang sampel dengan : Cara mendatar Membuat tabel Membuat diagram pohon Hal.: 37 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Event Probability Probability of Trial, Sample Space, and Event Probability is relative frequency value of an event in an experiment if the number of trial is unlimited P(A)= Combinatory Is counting way to calculate the number of sample space member by: Horizontal Way Make table Make tree diagram Hal.: 38 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Peluang Kejadian Eksperimen (Percobaan Acak) Ada Obyek Eksperimen Ada Cara Eksperimen Ada Hasil-hasil Yang Mungkin (Titik-titik Sampel) Obyek Eksp. Cara Eksp. Hasil-hasil Yang Mungkin s1 s2 s3 s4 s5 S S = Ruang Sampel = { s1 , s2 , s3 , . . . , s5 } = Himpunan semua hasil yang mungkin dalam eksperimen itu s1 , s2 , s3 , . . . , s5 masing-masing disebut titik sampel s2 S s1 s3 s4 s5 Hal.: 39 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Event Probability Experiment (Random Trial) There is experiment object There is experiment way There is possible result (Sample points) Exp. Object Exp. way The possible results s1 s2 s3 s4 s5 S S = Sample space = { s1 , s2 , s3 , . . . , s5 } = A set of all possible results in that experiment 1 , s2 , s3 , . . . , s5 each is called as sample point s2 S s1 s3 s4 s5 Hal.: 40 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Peluang Kejadian sn S A s3 s2 s1 sm S = Ruang Sampel = Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu = {s1 , s2 , s3 , . . . , sm , . . . , sn} A = Suatu peristiwa dalam ruang sampel S = {s1 , s2 , s3 , . . . , sm} Prinsip Penjumlahan P(A) = P({s1}) + P({s2}) + P({s3}) + . . . + P({sm}) = jumlah peluang masing-masing titik sampel yang ada di dalamnya Hal.: 41 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Event Probability sn S A s3 s2 s1 sm S = Sample Space = A set of all possible result in that experiment = {s1 , s2 , s3 , . . . , sm , . . . , sn} A = An event in sample space S = {s1 , s2 , s3 , . . . , sm} Addition Concept P(A) = P({s1}) + P({s2}) + P({s3}) + . . . + P({sm}) = number of probabilities in each sample point inside Hal.: 42 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Peluang Kejadian Peluang Berdasar Pengambilan Sampel Pengambilan Sekaligus → Kombinasi Pengulangan obyek eksp. tidak dimungkinkan dan urutan tak diperhatikan (tak punya makna) Pengambilan Satu Demi Satu 1. Tanpa Pengembalian → Permutasi Pengulangan obyek eksp. tidak dimungkinkan dan urutan diperhatikan (punya makna) 2. Dengan Pengembalian → Bukan Permutasi dan Bukan Kombinasi Hal.: 43 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Event Probability Probability according to sample collecting Collecting at Once → Combination Exp. repeatedly Object is not possible and the order is not concerned (unmeaning full) Collecting one by one 1. Without returning → Permutation Exp. Repeatedly object is not possible and the order is concerned (meaning full) 2. With returning → is not permutation and combination Hal.: 44 PELUANG/PROBABILITAS

Peluang Kejadian 1. Pengambilan Sekaligus Cara Ekp. Obyek Eksp Hasil-hasil yang mungkin Obyek Eksp Cara Ekp. 1 2 3 Eksp1: ambil acak 2 bola sekaligus … s1 … s2 … s3 S A Ambil acak 2 bola sekaligus. Hasil-hasil yang mungkin? Banyaknya Eksp. Frek. Munculnya s1 = s2 s3 300 kali 3.000 kali 15.000 kali 30.000 kali banyak kali 92 1.012 4.989 10.012 Fr (s1) ≈ 105 991 5.007 9.984 Fr (s2) ≈ 93 997 5.004 10.004 Fr (s3) ≈ S = {s1, s2 , s3 } = Ruang sampel hasil eksperimen A = Peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil = {s1, s3 } , n(A) = 2. A S s2 s1 s3 n(S) = = 3 . P({s1}) = P({s2}) = P({s3}) = Maka S berdistribusi seragam P(A) = Hal.: 45 PELUANG/PROBABILITAS

Take randomly 2 balls. The possible result? Event Probability 1. Collecting at Once The possible results Exp. Object Exp. way 1 2 3 Exp1: take randomly 2 balls at once … s1 … s2 … s3 S A Take randomly 2 balls. The possible result? Exp. number Frequency s1 = s2 s3 300 times 3000 times 15000time 30.000time Times 92 1.012 4.989 10.012 Fr (s1) ≈ 105 991 5.007 9.984 Fr (s2) ≈ 93 997 5.004 10.004 Fr (s3) ≈ S = {s1, s2 , s3 } = Sample space of experiment result A = The event of a collecting number of two odd balls = {s1, s3 } , n(A) = 2. A S s2 s1 s3 n(S) = = 3 . P({s1}) = P({s2}) = P({s3}) = So S distributes unvaried P(A) = Hal.: 46 PELUANG/PROBABILITAS

Peluang Kejadian 2. Pengambilan Satu demi Satu Tanpa Pengembalian Obyek Eksp Cara Ekp. 1 2 3 Eksp 2 : ambil acak 2 bola 1 – 1 tanpa pengembalian Ambil acak 2 bola 1 – 1 tanpa pengemb. Hasil-hasil yang mungkin? … s1 … … s2 … s3 … s4 … s5 … s6 S A 3 cara 2 cara Hasil-hasil yang mungkin S = {s1, s2 , s3 , . . . ,s6 } = Ruang sampel hasil eksperimen A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil = {s1, s3, s4 , s6 } P(A) = = = . n(S) = = 3 × 2 6. A S s6 s5 s4 s2 s1 s3 P({s1}) = P({s2}) = … = P({s6}) = Maka S berdistribusi seragam. Hal.: 47 PELUANG/PROBABILITAS

Event Probability 2. Collecting one by one without returning Exp. Object Exp. way 1 2 3 Exp. 2 : take randomly 2 balls 1 – 1 without returning Take randomly 2 balls 1 – 1 without returning. The possible results? … s1 … … s2 … s3 … s4 … s5 … s6 S A 3 ways 2 cara The possible results S = {s1, s2 , s3 , . . . ,s6 } = Sample space of experiment result A = the event of collecting number of two numbers of odd balls = {s1, s3, s4 , s6 } P(A) = = = . A S s6 s5 s4 s2 s1 s3 n(S) = = 3 × 2 = 6. P({s1}) = P({s2}) = … = P({s6}) = So S distributes unvaried Hal.: 48 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Peluang Kejadian 3. Pengambilan 1 – 1 Dengan Pengembalian Eksp2:ambil acak 2 bola 1-1 dengan pengemb. Ambil acak 2 bola 1-1 dengan pengembalian. Hasil-hasil yang mungkin? I Hasil-hasil yang mungkin S II A 2 3 1 … s1 … … s2 … s3 … s7 … s8 … s9 3 cara A S s7 s2 s6 s3 s4 s8 s1 s5 s9 S = {s1, s2 , s3, ... , s9} = Ruang sampel hasil eksperimen. n(S) = 3 × 3 = 9 A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil. = {s2, s4, s6 , s8 } P(A) = = . P({s1}) = P({s2}) = … = P({s9}) = Maka S berdistribusi seragam. Hal.: 49 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Event Probability 3. Collecting 1 – 1 by Returning Exp 2:take randomly 2 balls 1-1 by returning Take randomly 2 balls 1-1 by returning. The possible result? I The possible results S II A 2 3 1 … s1 … … s2 … s3 … s7 … s8 … s9 3 ways A S s7 s2 s6 s3 s4 s8 s1 s5 s9 S = {s1, s2 , s3, ... , s9} = Sample space of experiment results n(S) = 3 × 3 = 9 A = the event of collecting of two numbers of odd balls = {s2, s4, s6 , s8 } P(A) = = . P({s1}) = P({s2}) = … = P({s9}) = Then S distributes unvaried. Hal.: 50 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Peluang Kejadian Frekuensi Harapan Frekuensi Harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan. Fr(A) = P(A) . n dengan, Fr(A) = frekuensi harapan kejadian A P (A) = peluang kejadian A n = banyaknya percobaan Contoh: Peluang seorang anak terkena penyakit polio adalah 0,01, dari 8000 anak. Berapa kira- kira yang terjangkit penyakit polio? Jawab: P(kenapolio) = 0,01, n= 8000 Fr(A) = P(kena polio) . n = 0,01 x 8000 = 80 Jadi, dari 8000 anak diperkirakan ada 80 anak yang terkena penyakit polio Hal.: 51 PELUANG/PROBABILITAS

Frequency of Expectation PELUANG/PROBABILITAS Event Probability Frequency of Expectation Frequency of expectation is a multiplication result between event probability and number of trials Fr(A) = P(A) . n and Fr(A) = Expectation of an event’s frequency A P (A) = event probability A n = number of trials Example: The probability of a kid suffers polio is 0,01, from 8000 kids. Then how many kids of them can suffer polio? Answer: P (polio) = 0,01, n= 8000 Fr(A) = P (polio) . n = 0,01 x 8000 = 80 Then, from 8000 kids there are about 80 kids who has polio Hal.: 52 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Kejadian Majemuk 1. Komplemen Kejadian bukan A dari himpunan S ditulis dengan simbol A’ (atau Ac) disebut komplemen dari A. A’ S A Jika A mempunyai a elemen, dan S mempunyai n elemen maka A’ mempunyai n-a elemen. Maka P(A’) adalah peluang tidak terjadinya A. Hal.: 53 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Multiple Events 1. Complementary Event is not A from a set of S and denoted by A’ (or Ac) and it is called complement of A. A’ S A If A has element a , and S has element n then A’ has n-a element. And P(A’) is improbability of the event A. Hal.: 54 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Kejadian Majemuk 2.Dua Kejadian Saling Lepas .1 .4 A .2 .5 .7 .3 .11 B .6 .8 .9 .10 .12 S S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A={kejadian mendapatkan bilangan prima} B={kejadian mendapatkan sedikitnya bilangan 5} Maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Sehingga Jika kita melihat hubungan antara , P(A) dan P(B), terdapat irisan antara A dan B, yaitu {5, 7, 11} dan juga diperoleh Hal.: 55 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Multiple Events 2.Mutually Exclusive Events .1 .4 A .2 .5 .7 .3 .11 B .6 .8 .9 .10 .12 S S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A={an event to get an odd number} B={an event to get at least number 5} Let A = {2, 3, 5, 7, 11} and B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Then If we see the relation between, P(A) and P(B), there are intersection between A and B, they are {5, 7, 11} and also Hal.: 56 PELUANG/PROBABILITAS

Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka PELUANG/PROBABILITAS Kejadian Majemuk dan Jika suatu kejadian A dan B tidak bersekutu, dalam hal ini =Ø, maka kita katakan dua kejadian tersebut adalah saling lepas. Untuk kejadian saling lepas (saling asing) Maka = P(Ø) = 0 Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka Hal.: 57 PELUANG/PROBABILITAS

If A and B is mutually exclusive events then PELUANG/PROBABILITAS Multiple Events and If event A and B is not construction, in this case =Ø, then we say that two events is mutually exclusive events. For the mutually exclusive events then = P(Ø) = 0 If A and B is mutually exclusive events then Hal.: 58 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Kejadian Majemuk Contoh Soal : Sebuah dadu dilemparkan satu kali, Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2}, tentukan P(A’) ? Jawab : Sebuah dadu dilemparkan satu kali, maka ruang sampelnya adalah: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2} = {3, 4, 5, 6} Maka P(A) = 4/6 = 2/3 P(A’) = 1 – 4/6 = 2/6 = 1/3 2. Pada pengambilan 1 kartu secara acak dari 1 set kartu bridge, berapa peluang mendapatkan kartu As atau King? Hal.: 59 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Multiple Event Example : A dice is thrown once, If A = {an event that sum of the number shown by more than 2}, determine 2(A’) ? Answer : A dice is thrown once, then the sample space is: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} If A = {an event that sum of the number shown more than 2} = {3, 4, 5, 6} Then P(A) = 4/6 = 2/3 P(A’) = 1 – 4/6 = 2/6 = 1/3 2. When taking 1 card randomly from 1 set of bridge card, How many probabilities to get As or King? Hal.: 60 PELUANG/PROBABILITAS

Dua Kejadian Saling Bebas Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan kejadian munculnya mata 3 pada dadu adalah dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi. Peluang dua kejadian A dan B yang yang saling bebas adalah: P (A B) = P (A) . P(B) Contoh : Misal A = kejadian muncul mata dadu 3 pada pelemparan pertama, maka : n(A) = 1, sehingga P(A) = Misal B = kejadian muncul mata dadu 5 pada pelemparan kedua, maka: n(B) = 1, sehingga P(B) = Peluang A dan B: P( A B) = P(A) . P(B) = Hal.: 61 PELUANG/PROBABILITAS

Mutually Independent Events A coin and dice are thrown once. An event that sum of the number shown the side of coin and the sum of the number shown dice-side 3 are two events that doesn’t influence each other. Probability of two events A and B which is mutually Independent Events are: P (A B) = P (A) . P(B) Example : A = shown event is dice-side 3 in the first throwing, then : n(A) = 1, so P(A) = B = shown wevent is dice-side 5 in the second throwing, then: n(B) = 1, so P(B) = Probability of A and B: P( A B) = P(A) . P(B) = Hal.: 62 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Rangkuman 1. Peluang tidak terjadinya A atau P(A’) adalah P(A’) = 1 – P(A) 2. Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka 3. Jika A dan B kejadian yang saling bebas maka Hal.: 63 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS Summary 1. The improbability event A or P(A’) is P(A’) = 1 – P(A) 2. If A and B is mutually Exclusive Events, then 3. If A and B is mutually independent Events, then Hal.: 64 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS SEKIAN TERIMA KASIH SAMPAI JUMPA LAGI Hal.: 65 PELUANG/PROBABILITAS

PELUANG/PROBABILITAS THE END Thank You and See You Hal.: 66 PELUANG/PROBABILITAS