ASSALAMU’ALAIKUM. WR.WB

GEOMETRI ANALITIK DATAR Pertemuan 14 RINA AGUSTINA, M. Pd.

Garis Singgung Hiperbola Hiperbola dengan persamaan : 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =1 Memiliki persamaan dengan titik pusat (𝛼,𝛽) dan sumbu-sumbu simetri sejajar sumbu koordinat adalah: (𝑥−𝛼) 2 𝑎 2 − (𝑦−𝛽) 2 𝑏 2 =1

Persamaan garis singgung hiperbola dapat ditentukan bila gradiennya diketahui atau titik singgungnya diberikan atau bila titik di luar hiperbola yang di lalui oleh garis tersebut.

1. Jika diketahui gradien Misalkan persamaan garis yang gradiennya m adalah 𝑦=𝑚𝑥+𝑝 dan persamaan hiperbolanya 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =1. Absis titik potong garis dan hiperbola diperoleh dari: 𝑥 2 𝑎 2 − (𝑚𝑥+𝑝) 2 𝑏 2 =1 Atau 𝑏 2 𝑥 2 − 𝑎 2 (𝑚𝑥+𝑝) 2 = 𝑎 2 𝑏 2 (𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚)𝑥 2 − 2𝑎 2 𝑚𝑝𝑥− 𝑎 2 𝑝 2 + 𝑏 2 =0

Garis ini akan menyinggung hiperbola jika titik-titik potongnya berhimpit. Hal ini terjadi apabila persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang sama atau apabila diskriminannya sama dengan nol. 𝐷=0 (−2 𝑎 2 𝑚𝑝) 2 − 4 (𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚 2 )(𝑎 2 𝑝 2 + 𝑏 2 )=0 𝑝 2 + 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚 2 =0 𝑝=± 𝑎 2 𝑚 2 − 𝑏 2

Jadi persamaan garis singgung yang gradiennya m adalah: Tampak bahwa ada dua garis singgung yang gradiennya m. Misalkan persamaan hiperbola (𝑥−𝛼) 2 𝑎 2 − 𝑦−𝛽 2 𝑏 2 =1 Dengan menggunakan translasi sumbu, dapat diperoleh persamaan garis singgungnya adalah: 𝑦−𝛽=𝑚(𝑥−𝛼)± 𝑎 2 𝑚 2 − 𝑏 2

Contoh : Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola 𝑥 2 20 − 𝑦 2 5 =1 yang sejajar garis 2𝑥−2𝑦+13=0 ! Penyelesaian: Gradien garis 2𝑥−2𝑦+13=0 adalah 𝑚=1. Berarti gradien garis singgung hiperbola juga adalah 1.

Persamaan garis singgungnya adalah : 𝑦=𝑚𝑥± 𝑎 2 𝑚 2 − 𝑏 2 𝑦=1. 𝑥± 20

2. Jika Diketahui Titik Singgung Persamaan garis singgung pada hiperbola dengan titik singgung 𝑇( 𝑥 1 , 𝑦 1 ). Misalkan persamaan hiperbola 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =1 dan P 𝑥 2 , 𝑦 2 suatu titik pada hiperbola, maka berlaku 𝑥 2 2 𝑎 2 − 𝑦 2 2 𝑏 2 =1 atau 𝑏 2 𝑥 2 2 − 𝑎 2 𝑦 2 2 = 𝑎 2 𝑏 2 ....... (1) Karena T pada hiperbola maka berlaku: 𝑏 2 𝑥 1 2 − 𝑎 2 𝑦 1 2 = 𝑎 2 𝑏 2 .............................................. (2)

𝑏 2 ( 𝑥 1 + 𝑥 2 ) 𝑎 2 ( 𝑦 1 + 𝑦 2 ) = ( 𝑦 1 − 𝑦 2 ) ( 𝑥 1 − 𝑥 2 ) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh : 𝑏 2 𝑥 2 2 − 𝑎 2 𝑦 2 2 = 𝑏 2 𝑥 1 2 − 𝑎 2 𝑦 1 2 atau 𝑏 2 (𝑥 1 2 − 𝑥 2 2 )= 𝑎 2 (𝑦 1 2 − 𝑦 2 2 ) Setelah dijabarkan diperoleh; 𝑏 2 ( 𝑥 1 + 𝑥 2 ) 𝑎 2 ( 𝑦 1 + 𝑦 2 ) = ( 𝑦 1 − 𝑦 2 ) ( 𝑥 1 − 𝑥 2 ) Persamaan garis PT adalah : 𝑦− 𝑦 1 = 𝑦 1 − 𝑦 2 𝑥 1 − 𝑥 2 (𝑥− 𝑥 1 ) atau 𝑦− 𝑦 1 = 𝑏 2 ( 𝑥 1 + 𝑥 2 ) 𝑎 2 ( 𝑦 1 + 𝑦 2 ) (𝑥− 𝑥 1 )

Jika P mendekati T sedemikian P sangat dekat dengan T sehingga 𝑥 1 = 𝑥 2 dan 𝑦 1 = 𝑦 2 . Akibatnya PT menjadi garis singgung di titik T dan persamaannya adalah: 𝑦− 𝑦 1 = 𝑏 2 𝑎 2 . 2 𝑥 1 2 𝑦 1 (𝑥− 𝑥 1 ) Setelah dijabarkan kita memperoleh: 𝑥 1 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1

Sehingga diperoleh persamaan garis singgung pada hiperbola dengan titik singgung 𝑇( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) adalah 𝑥 1 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1 Jika persamaan hiperbola nya (𝑥−𝛼) 2 𝑎 2 − (𝑦−𝛽) 2 𝑏 2 =1 Maka persamaan garis singgung nya: ( 𝑥 1 −𝛼)(𝑥−𝛼) 𝑎 2 − ( 𝑦 1 −𝛽)(𝑦−𝛽) 𝑏 2 =1

Contoh : Tentukan persamaan pada hiperbola 𝑥 2 30 − 𝑦 2 24 =1 yang melalui titik singgung (5, 2) !

Penyelesaian : 𝑥 1 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1 5𝑥 30 − 2𝑦 24 =1 𝑥 6 − 𝑦 12 =1 Rumus persamaan garis singgung : 𝑥 1 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1 5𝑥 30 − 2𝑦 24 =1 𝑥 6 − 𝑦 12 =1 2𝑥−𝑦=12 Atau 2𝑥−𝑦−12=0 Jadi persamaan garis singgung pada hiperbola adalah 2𝑥−𝑦−12=0

3. Jika melalui titik diluar hiperbola Misalkan persamaan hiperbolanya melalui 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =1 dan titik-titik 𝐴 1 ( 𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) dan 𝐴 2 ( 𝑥 ′′ , 𝑦 ′′ ) merupakan titik-titik singgung dari garis singgung hiperbola yang melalui titik 𝑇( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) diluar hiperbola. Persamaan garis singgung di 𝐴 1 adalah: 𝑥′𝑥 𝑎 2 − 𝑦′𝑦 𝑏 2 =1

Karena T pada garis singgung, maka : 𝑥′𝑥 1 𝑎 2 − 𝑦′ 𝑦 1 𝑏 2 =1 ........................................... (1) Persamaan garis singgung di 𝐴 2 adalah: 𝑥′′𝑥 𝑎 2 − 𝑦′′𝑦 𝑏 2 =1 𝑥′′𝑥 1 𝑎 2 − 𝑦′′ 𝑦 1 𝑏 2 =1 ...................................... (2)

Dari (1) dan (2) dapat disimpukan bahwa titik 𝐴 1 dan 𝐴 2 terletak pada garis dengan persamaan 𝑥 1 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1 Persamaan ini disebut persamaan tali busur dari titik 𝑇 𝑥 1 , 𝑦 1 . Tanpa memperhatikan letak titik 𝑇 𝑥 1 , 𝑦 1 , persamaan 𝑥 1 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1 disebut persamaan garis kutub dari T terhadap hiperbola 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =1

Sifat Utama Garis Singgung Garis singgung suatu titik pada hiperbola membagi dua sama besar sudut-sudutnya antara garis-garis yang menghubungkan titik singgung dengan titik-titik api. 𝐹 2 𝐹 1 𝑇 𝑃

Misalkan 𝑇( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) sebarang titik pada hiperbola dan misalkan 𝑑 1 =𝑇 𝐹 1 , dan 𝑑 2 =𝑇 𝐹 2 dengan 𝐹 1 𝑐, 0 , 𝐹 2 −𝑐, 0 . Maka akan diperoleh perbandingan: 𝑇 𝐹 1 𝑇 𝐹 2 = 𝑑 1 𝑑 2 = 𝑐 𝑎 ( 𝑥 1 − 𝑎 2 𝑐 ) 𝑐 𝑎 ( 𝑥 1 + 𝑎 2 𝑐 ) = 𝑥 1 − 𝑎 2 𝑐 𝑥 1 + 𝑎 2 𝑐

𝑥 1 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1 Persamaan garis singgung di T adalah : 𝑥 1 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1 Misalkan titik potong garis singgung ini dengan sumbu X adalah 𝑃, maka diperoleh koordinat: 𝑦 𝑝 =0 dan 𝑥 𝑝 = 𝑎 2 𝑥 1 𝑃 𝐹 1 𝑃 𝐹 2 = 𝑐− 𝑎 2 𝑥 1 𝑐+ 𝑎 2 𝑥 1 = 𝑐 𝑥 1 − 𝑎 2 𝑐 𝑥 1 + 𝑎 2 = 𝑥 1 − 𝑎 2 𝑐 𝑥 1 + 𝑎 2 𝑐

Sehingga diperoleh : 𝑃 𝐹 1 𝑃 𝐹 2 = 𝑥 1 − 𝑎 2 𝑐 𝑥 1 + 𝑎 2 𝑐 = 𝑇 𝐹 1 𝑇 𝐹 2 Jadi TP merupakan garis bagi sudut T dalam segitiga 𝑇 𝐹 1 𝐹 2 atau ∠ 𝑇 1 =∠ 𝑇 2 (Terbukti)

Dengan tidak memandang letak 𝑇( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) maka persamaan : 𝑥 1 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1 Disebut persamaan kutub dari 𝑇( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) terhadap hiperbola 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =1. Jika T diluar hiperbola, garis kutub ini menjadi tali busur singgung. Jika T pada hiperbola, garis kutub ini menjadi garis singgung. Jika T didalam hiperbola, garis kutub ini tidak memotong hiperbola.

Contoh : Dari titik T (2, -5) ditarik garis-garis singgung pada hiperbola 𝑥 2 8 − 𝑦 2 4 =1. Hitung jarak T ke garis yang menghubungkan titik-titik singgung !

Penyelesaian : Persamaan tali busur singgung dari T (2, 5) terhadap hiperbola 𝑥 2 8 − 𝑦 2 4 =1 adalah: 2𝑥 8 − −5𝑦 4 =1 𝑥 4 − −5𝑦 4 =1 𝑥+5𝑦−4=0 Jarak T (2, -5) ke tali busur singgung adalah: 𝑑= 𝑎 𝑥 1 +𝑏 𝑦 1 +𝑐 𝑎 2 + 𝑏 2

𝑑= 𝑎 𝑥 1 +𝑏 𝑦 1 +𝑐 𝑎 2 + 𝑏 2 = 1.2+5. −5 −4 1 2 + 5 2 = −27 26 = 27 26 Jadi 𝑑= 27 26 26

TUGAS MANDIRI II: 1. Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola 𝑥 2 20 − 𝑦 2 5 =1 yang tegak lurus garis 4𝑥+3𝑦−7=0 ! 2. Tentukan titik M pada hiperbola 𝑥 2 24 − 𝑦 2 18 =1 yang terdekat ke garis 3𝑥+2𝑦+1=0 ! 3. Tentukan persamaan tali busur dari hiperbola 𝑥 2 16 − 𝑦 2 4 =1 yang dibagi dua oleh titik B (6, 2) !

WASSALAMU’ALAIKUM WR.WB SELAMAT BELAJAR WASSALAMU’ALAIKUM WR.WB