Fast Fourier Transform (FFT) 2017

Sinyal Biasanya diukur dalam ranah waktu  cukup memenuhi untuk jenis sinyal sinus tunggal. Untuk sinyal majemuk, terlebih jika komposisinya cukup kompleks, pengukuran dalam ranah waktu akan menyulitkan perhitungan  diukur dalam ranah frekuensi.

Derau (noise) Amplitudo, frekuensi, dan fasanya acak. Sangat sulit mengidentifikasi noise jika diukur dalam ranah waktu  alih ragam ke ranah frekuensi.

Ranah waktu vs ranah frekuensi Perhatikan perbedaannya !

Ranah waktu vs ranah frekuensi Perhatikan perbedaannya !

Transformasi Fourier Sinyal asli  sinyal terurai  spektrum frekuensi

Latar Belakang Sinyal pada umumnya diukur dalam ranah waktu. Tetapi seringkali diperlukan spesifikasi spektral dalam ranah frekuensi untuk dianalisis. Analisis dan sintesis sinyal akan lebih mudah dilakukan pada ranah frekuensi, karena besaran yang paling menentukan suatu sinyal adalah frekuensi. Untuk sinyal yang periodik, bisa dianalisis menggunakan deret Fourier. Untuk sinyal yang tak-periodik, bisa dianalisis dengan menggunakan Discrete Fourier Transform (DFT).

Discrete Fourier Transform (DFT) Prinsip DFT : mentransformasikan (alih bentuk) sinyal yang semula analog menjadi diskrit dalam ranah waktu, dan kemudian diubah ke dalam ranah frekuensi. DFT digunakan untuk menghitung magnitudo spektrum frekuensi sinyal  banyak digunakan pada digital signal processing (DSP). Alihragam DFT : ......... (Pers. 1) dengan H(k) = magnitudo frekuensi h(n) = sinyal masukan diskret dan N = jumlah runtun masukan diskrit  Jumlah N bisa sangat besar !

Masalahnya transformasi menggunakan DFT bisa sangat rumit, kompleks dan memerlukan jumlah komputasi yang sangat besar. Jumlah komputasi DFT = N2  sangat besar untuk N besar Untuk mengatasinya digunakan algoritma Fast Fourier Transform (FFT) yang jumlah komputasinya hanya N log2N saja.

Fast Fourier Transform (FFT) Jika nilai W = ej2π/N maka Pers.(1) bisa ditulis : Runtun bernomor genap : h(0), h(2), h(4)....h(N-2) dan runtun bernomor gasal : h(1), h(3)....h(N-1). Kedua runtun berisi N/2-titik. Runtun genap bisa ditandakan h(2n) dengan n=0 sampai n=N/2-1, sedangkan runtun gasal menjadi h(2n-1). Maka Pers.(1) bisa ditulis ulang menjadi:

Selanjutnya dengan menggantikan maka persamaannya menjadi : Maka bisa disusun sebuah algoritma kupu-kupu (butterfly) FFT :

FFT mengandung (N/2)Log2N perkalian kompleks dibandingkan dengan N2 pada DFT. Penghematan perhitungan dalam perkalian kompleks : N2-(N/2)Log2N. Masing-masing kupu-kupu berisi dua penambahan kompleks shg FFT membutuhkan Nlog2N dibandingkan dg N(N-1) untuk DFT. Penghematan penambahan kompleks : N(N-1)-Nlog2N.

Definisi Pada pertengahan 1960, J. W. Cooley dan J. W. Tukey, merumuskan teknik perhitungan Fourier Transform yang efisien yang disebut Fast Fourier Transform (FFT). FFT adalah algoritma yang efisien untuk menghitung transformasi Fourier diskrit (DFT) dan inversenya. Kata “fast” digunakan karena formulasi FFT jauh lebih cepat dibanding metoda Transformasi Fourier biasa. Misalnya, FFT memerlukan 10.000 operasi matematik untuk data dengan 1.000 observasi, yaitu 100 kali lebih cepat dibanding teknik perhitungan konvensional. Dengan perkembangan personal komputer, teknik FFT untuk analisis data menjadi populer, dan merupakan salah satu metoda baku dalam analisis data.

Contoh analisis FFT : Dengan menggunakan FFT bisa dihasilkan spektrum frekuensi dan amplitudo dengan cepat.

Contoh analisis FFT : Dengan menggunakan FFT maka spektrum komponen utama sebuah sinyal yang kompleks bisa diketahui dengan mudah sehingga pengolahan sinyal selanjutnya bisa dilakukan dengan baik.

Fungsi lain FFT : kompresi data Dengan menggunakan FFT sinyal sebuah alat musik (kiri) dianalisis dan menghasilkan spektrum jamak. Dengan melakukan thresholding pada amplitudo maka bisa dihasilkan sinyal tunggal tanpa banyak mengubah sinyal aslinya  jumlah data lebih sedikit.

Contoh : menggunakan perangkat lunak Matlab utk memproses FFT

Implementasi FFT : Ilmu statistik : misalnya memprediksi sifat-sifat aliran air sungai, analisis curah hujan persatuan waktu, analisis klimatologi (suhu, kelembaban, arah angin, dlsb).

Implementasi FFT : Telekomunikasi : analisis sinyal majemuk yang ditangkap oleh sebuah antena BTS, analisis tiga dimensi radiasi sebuah antena, rancangan filter untuk menekan noise, rancangan penguat tertala berpita lebar, dlsb.

Implementasi FFT : Pengolahan citra digital : pengenalan citra, menentukan kemunculan intensitas piksel dengan aras tertentu, menilai kedekatan sebuah template dengan citra yang diuji, dlsb.