Widita Kurniasari Universitas Trunojoyo PROGRAMASI LINEAR (LINEAR PROGRAMMING) Widita Kurniasari Universitas Trunojoyo

LINEAR PROGRAMMING (LP) LP dikembangkan oleh George B.Danzig pada tahun 1940-an dan pertama kali digunakan oleh angkatan udara USA untuk memecahkan dan merencanakan masalah logistik di masa perang. LP memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi berdasarkan kendala-kendala yang ada. Ex: Suatu perusahaan manufaktur ingin memaksimumkan profit tetapi ada kendala di fungsi produksi yaitu keterbatasan tenaga kerja dan mesin.

LINEAR PROGRAMMING (LP) Adalah suatu model mengoptimumkan persamaan linear yang dihadapkan dengan kendala linear yang ada. Fungsi linear yang akan dicari nilai maksimum atau minimum disebut fungsi tujuan. Fungsi yang harus dipenuhi dalam memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan disebut fungsi kendala.

Bentuk Umum Linear Programming Fungsi Tujuan : z = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn Fungsi Kendala : a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 . . . am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm Dimana : xj ≥ 0 j = 1, 2, …n

Contoh Perumusan Model Programasi Linear Suatu perusahaan menghasilkan dua macam output yaitu barang A dan barang B. Masing-masing barang menggunakan 2 macam bahan mentah yaitu p dan q sebagai input. Setiap unit barang A memerlukan 4 unit p dan 3 unit q sedangkan setiap unit B memerlukan 2 unit p dan 4 unit q. Harga jual produk A dan B masing-masing Rp 5.000,- dan Rp 6.000,- per unit. Jumlah persediaan input p dan q yang dimiliki oleh perusahaan masing-masing 100 unit dan 120 unit.

Lanjutan soal… Berapa unit A dan B harus dihasilkan agar penerimaan perusahaan maksimum? Dengan keterbatasan penggunaan input p dan q masing-masing tidak melebihi 100 unit dan 120 unit. Jawab : Fungsi Tujuan : z = 5000 a + 6000 b Fungsi kendala : 4a + 2b ≤ 100 3a + 4b ≤ 120

Tabel Permasalahan Output Kendala input A B Input p 4 2 100 q 3 120 Kendala Output 5000 6000

Penyelesaian Metode Grafik b J (0,50) N (40,0) M (25,0) K (0,30) 4a+2b ≤ 100 3a+4b ≤ 120 Area laik a (0,0)

Penyelesaian Titik L merupakan perpotongan antara kedua garis kendala, terletak pada kedudukan a = 16 dan b = 18 Berarti penyelesaiannya adalah memproduksi barang A sebanyak 16 unit dan barang B sebanyak 18 unit. Penerimaan maksimum yang diperoleh dengan kombinasi ini adalah z = 5000(16) + 6000 (18) = 188.000

Contoh Soal 1 PT. Jaya Abadi memproduksi 2 macam barang X1 dan X2 dijual seharga 25.000 dan15.000 Rupiah per unit. Produk X1 dibuat dari campuran input K, L, M. sedangkan X2 hanya dibuat dari campuran K dan L. Tiap unit X1 terdiri atas 3K, 2L dan 3M. Sementara tiap unit X2 hanya terdiri atas 3 unit K dan 4 unit L. jumlah input yang diolah masing2 tidak lebih dari 24 unit K, 20 unit L dan 21 unit M per menit. Berapa unit masing-masing barang harus dihasilkan per menit agar profit optimal ?

Jawaban Contoh Soal 1 Maksimumkan z = 25.000X1 + 15.000X2 Terhadap (I) : 3X1 + 3X2 ≤ 24 (masukan K) (II) : 2X1 + 4X2 ≤ 20 (masukan L) (III) : 3X1 ≤ 21 (masukan M)

Contoh Soal 2 Sebuah perusahaan memproduksi dua macam barang, X1 dan X2, masing-masing menggunakan tiga macam bahan yaitu M1, M2, dan M3. setiap unit X1 memerlukan 3 unit M1, 4 unit M2, dan 2 unit M3. sedangkan tiap unit X2 memerlukan 2 unit M1, 1 unit M2, dan 8 unit M3. Biaya total untuk X1 dan X2 masing-masing Rp 2.000 dan Rp 3.000 per unit. Setiap harinya perusahaan dapat menggunakan minimum 60 unit M1, 40 unit M2, dan 80 unit M3 utk diproses menjadi barang jadi. Berapa unit masing-masing barang sebaiknya diproduksi agar biaya total harian optimal?

Jawaban Contoh Soal 2 Minimumkan z = 2000 X1 + 3000 X2 Terhadap kendala M1 : 3X1 + 2X2 ≥ 60 kendala M2 : 4X1 + X2 ≥ 40 kendala M3 : 2X1 + 8X2 ≥ 80 X1, X2 ≥ 0

Garis M1: (20,0) (0,30) Garis M2: (10,0) (0,40) Garis M3: (40,0) (0,10)

SELAMAT BELAJAR SEMOGA SUKSES DI UAS