TEOREMA BAYES

RUMUS DASAR : = P (A dan B) = P(A) . P(B/A) P (B dan A) = P(B) . P(A/B) Peristiwa B bisa terjadi jika salah satu dari n peristiwa yang saling asing A1, A2, ..., An juga terjadi.

Contoh Soal Sebuah pabrik roti menggunakan 4 buah mesin (A,B,C,D) untuk memproduksi kue donat. Pada akhir bulan diadakan evaluasi terhadap semua mesin serta outputnya, dan hasilnya adalah sebagai berikut: mesin A:100 buah; mesin B: 120 buah; mesin C: 180 buah; dan mesin D: 200 buah. Mesin A dan B memiliki probabilitas menghasilkan donat yang rusak sebanyak 5% sedangkan mesin C dan D memiliki probabilitas 1%. Jika dari total donat yang dihasilkan dari keempat mesin tersebut diambil 1 secara random dan ternyata rusak, maka berapakah probabilitas bahwa donat tersebut diproduksi oleh mesin A? Jawab MESIN PROBABILITAS DONAT DARI MESIN.... PROBABILITAS DONAT RUSAK DARI MESIN... A P(A) = = P(R/A) = 5% = 0,05 B P(B) = P(R/B) = 0,05 C P(C) = P(R/C) = 0,01 D P(D) = P(R/D) = 0,01

Dengan rumus Bayes, maka dapat dihitung P(A/R)= = 0,......

Contoh Soal ke-2 Sebuah program acara di stasiun TV Menjulang Ke Langit adalah “ajang missTick”. Program tersebut akan terus dilanjutkan atau dihentikan tergantung pada siapa yang akan terpilih menjadi direktur TV tersebut. Ada 2 calon , yaitu Tonche dan Bonche. Probabilitas Tonche terpilih menjadi direktur adalah 0,7. A adalah probabilitas bahwa program MissTick akan dilanjutkan. Probabilitas “ajang MissTick” dilanjutkan jika Tonche menang adalah: P(A/B) = 0,3 dan bila Bonche menang adalah: P(A/C)=0,8. Jika pada akhirnya “ajang MissTick” dilanjutkan, berapakah probabilitas bahwa yang terpilih menjadi direktur adalah Tonche? Jawab Acara ”ajang MissTick” ditayangkan = A KEMUNGKINAN TERPILIH MENJADI DIREKTUR PROGRAM TAYANG, JIKA YANG TERPILIH..... Tonche = P(B) = 0,7 Tonche = P(A/B) = 0,3 Bonche = P(C) = 1- 0,7 = 0,3 Bonche = P(A/C) = 0,8

Dengan rumus Bayes, maka dapat dihitung P(B/A)= = 0,47

DIAGRAM VENN

Ruang sampel Hasil pengukuran dari percobaan yang dilakukan berkali-kali dari sejumlah besar observasi disebut POPULASI Hasil dari sekelompok kecil percobaan disebut SAMPEL Contoh : dalam pelemparan sebuah dadu, terdapat beberapa kejadian yang berhubungan dengan percobaan itu Kejadian A : muncul sisi bernomor ganjil Kejadian B : muncul sisi bernomor dibawah 4 Kejadian S1: muncul sisi bernomor 1 Kejadian S2: muncul sisi bernomor 2 Kejadian S3: muncul sisi bernomor 3 Kejadian S4: muncul sisi bernomor 4 Kejadian S5: muncul sisi bernomor 5 Kejadian S6: muncul sisi bernomor 6 DIAGRAM VENN S3 S1 S5 S2 S4 S6

Diagram Venn untuk Kejadian A dan B S1 S3 S1 A S2 B S3 S5 S5 A S5 S3 S1 B S6 S2 S4

Kejadian A = jumlah dari probabilitas dari titik sampel dalam A Kejadian B = jumlah dari probabilitas dari titik sampel dalam B

Union dan Intersection Union A dan B: kejadian yang mencakup semua titik sampel dari kejadian A dan B. Simbolnya: A  B = A atau B Intersection A dan B : kejadian yang terdiri dari semua titik sampel yang berasal dari A dan B Simbolnya : A  B = A dan B Intersection A dan B S3 S5 S1 S5 A S3 A S1 Union A dan B S6 B S4 S6 S2 B S4 S2

Kejadian Mutually Exclusive dalam diagram Venn P (X  Y) = P (X) + P (Y) P (X  Y) = 0 S X Y

Kejadian Independent dalam diagram Venn P (X  Y) = P (X) + P (Y) – P (X  Y) S X Y ♣ ♣ ♣ ♣

3 kejadian Independent dalam diagram Venn P(X  Y  Z) = P(X) + P(Y) + P(Z) – P(X  Y) - P(X  Z) - P(Y  Z) + P(X Y  Z) S X Y XY Z XYZ XZ YZ

Contoh Soal Dalam sebuah populasi yang terdiri dari pembaca majalah, persentase pembaca majalah Ananda, Bobo, dan Cempaka serta kombinasinya adalah sebagai berikut : Ananda : 7,3 % Ananda dan Bobo : 6,7 % Bobo : 17,9 % Ananda dan Cempaka : 8,1 % Cempaka: 11,5 % Bobo dan Cempaka : 2,7 % Ananda, Bobo, dan Cempaka : 5,1 % Berapa persen dari populasi yang ternyata membaca paling sedikit 1 dari 3 majalah tersebut? Berapa probabilitas seseorang yang dipilih secara random dari populasi tersebut yang membaca majalah Bobo atau Cempaka? JAWAB P(A  B  C)=P(A) + P(B) + P(C) – P(A  B) - P(A  C) - P(B  C)+P(A B C) = 7,3 + 17,9 + 11,5 – 6,7 – 8,1 – 2,7 + 5,1 = 24,3% = 0,243 P(B  C ) = P(B) + P(C)– P(B  C) = 17,9 + 11,5 -2,7 = 26,7 % = 0,267