FUNGSI DAN GRAFIKNYA

Definisi Fungsi Berbicara masalah fungsi, tentu erat kaitannya dengan relasi. Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. Dengan demikian, suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi dari A ke B jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.

Dalam fungsi dikenal beberapa istilah, seperti Domain, Kodomain, dan Range. Jika f adalah suatu fungsi dari A ke B, maka himpunan A disebut domain (daerah asal), himpunan B disebut kodomain (daerah kawan), dan himpunan anggota B yang pasangan dari himpunan A disebut range (hasil) fungsi f. Dalam memasangkan suatu himpunan terdapat aturan yang tertentu yang digunakan. Aturan tersebut disebut aturan fungsi. Jadi, Sebuah fungsi,f adalah suatu aturan padanan (korespondesi) yang menghubungkan setiap objek x dalam himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua yang disebut daaerah hasil (range) fungsi tersebut.

Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau g atau F). Notasi sebuah fungsi secara umum adalah: y = f(x). Maka f(x) dibaca “f dari x” atau “f pada x”, menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Contoh fungsi : y = f(x) = 5 + 0,8x Maka f(2) = 5 + 0,8*2 = 5 + 1,6 = 6,6 f(a) = 5 + 0,8*a = 5 + 0,8a f(a+h) = 5 + 0,8*(a+h) = 5 + 0,8a +0,8h

Contoh Soal 1. Jika diketahui f(x) = x2 – 2x + 3, tentukan: f(-2); f(0); f(3); f(4); dan f(8) 2. Jika diketahui 𝑓 𝑥 = 150+20𝑥 𝑥 , tentukan f(1), f(2), f(3) 3. Tentukanlah himpunan pasangan urut berikut ini apakah fungsi atau bukan a. {(2,3), (3,4), (4,5)}

b. {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4), (5,5)} c. {(2,4),(4,6),(2,6)} 4 b. {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4), (5,5)} c. {(2,4),(4,6),(2,6)} 4. Tentukan himpunan pasangan urut (x,f(x)) berikut apakah fungsi atau bukan a. b. x 1 2 3 f(x) 4 5 6 x 1 2 1 2 f(x) 3 4 4 5

X 1 2 3 3 f(x) 4 5 6 7 c. d. x 1 2 3 4 f(x) 1 8 27 64

Tentukan natural domain dari soal di bawah : 1. 2.

Menentukan Domain dan Range Aturan padanan (rule of correspondence) merupakan pusat dari suatu fungsi, tetapi sebuah fungsi belum secara lengkap ditentukan sampai daerah asalnya diberikan. Misalnya untuk y = f(x) = 5 + 0,8x dengan domain {- 1,0,1,2,3} maka akan didapat range {4,2, 5, 5,8, 6,6, 7,4}. Jika sebuah fungsi tidak ditentukan daerah asalnya, maka dianggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan real yang terbesar sehingga aturan fungsi menjadi masuk akal. Daerah asal seperti ini disebut daerah asal asli (natural domain).

Contoh : 1. y = f(x) = x2 – 4, domain nya adalah himpunan bilangan real, tentukan range nya. Jawab : range = {𝑦 : 𝑦 ≥−4} 2. y = f(x) = 1/(x – 3), tentukan domainnya Jawab : domain f adalah {x∈ℝ; x≠3} 3. g(x) = 9− 𝑥 2 , tentukan domainnya Jawab : domain f adalah {x∈ℝ; 𝑥 ≤3}, untuk menghindari nilai akar negatif 4. g(x) = 1/ 9− 𝑥 2 , tentukan domainnya Jawab : domain f adalah {x∈ℝ; −3<x<3}, untuk menghindari nilai akar negatif dan 0.

Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur yaitu: variabel, koefisien, dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat dalam setiap fungsi. Koefisien adalah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi. Konstanta adalah bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut membentuksebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan (tidak terkait pada suatu variabel tertentu). Contoh fungsi : y = f(x) = 5 + 0,8x dimana 0,8 : koefisien variabel x 5 : konstanta y = f(x) = x3 – 4, tentukan koefisien variabel x dan konstantanya

Bila aturan untuk suatu fungsi diberikan oleh sebuah persamaan berbentuk y = f(x), x disebut variabel bebas (independent variable) dan y disebut variabel tidak bebas (dependent variable). Sebarang nilai dari daerah asal boleh dipilih sebagai nilai dari variabel bebas x, tetapi pilihan itu secara tuntas menentukan nilai padanan dari variabel tidak bebas. Jadi, nilai y tergantung dari pilihan nilai x.

Grafik Fungsi Sistem koordinat Cartesius Setiap fungsi dapat disajikan secara grafik pada bidang sepasang sumbu silang (sistem koordinat). Gambar dari sebuah fungsi dapat dihasilkan dengan cara menghitung koordinat titik-titik yang memenuhi persamaannya, dan kemudian memindahkan pasangan-pasangan titik tersebut ke sistem sumbu silang. Dalam menggambarkan suatu fungsi meletakkan variabel bebas pada sumbu horizontal (absis) dan variabel terikat pada sumbu vertikal (ordinat). Misal: y = 3 + 2x

Kesimetrisan grafik Sebuah grafik dapat disebut simetris jika dapat memenuhi syarat berikut : Grafik fungsi y=f (x) dikatakan simetri terhadap sumbu y jika nilai x diganti oleh –x menghasilkan nilai yang sama. (contoh : y = x2 ); Grafik fungsi y=f (x) dikatakan simetri terhadap sumbu x jika nilai y diganti oleh –y menghasilkan nilai yang sama. (contoh : x = y2 +1 ); Grafik simetris terhadap sumbu asal jika nilai x diganti oleh –x dan nilai y diganti oleh nilai –y menghasilkan nilai yang sama. (contoh y = x3 dimana –y=(-x)3 menghasilkan nilai yang sama dengan y = x3.

Intersep adalah titik dimana grafik dari suatu persamaan berpotongan di dua garis sumbu koordinat. Contoh : 𝑦= 𝑥 3 −2 𝑥 2 −5𝑥+6= 𝑥+2 𝑥−1 𝑥−3 Perhatikan bahwa jika y=0, maka x = -2, 1, 3. Bilangan -2, 1, dan 3 disebut intersep-x (berpotongan di sumbu x). Jika x=0, maka y=6 disebut intersep-y (berpotongan di sumbu y). Contoh : Cari semua intersep dari grafik persamaan 𝑦 2 −𝑥+𝑦−6=0

Jenis-Jenis Fungsi Fungsi Konstan (Fungsi Tetap) Suatu fungsi f : A → B disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan. Contoh : f(x) = 3 dengan daerah domain: {x | –3 ≤ x < 2}. Sehingga, gambar grafiknya.

Fungsi Linear Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. Contoh : diketahui f(x) = 2x + 3, gambar grafiknya

Fungsi Kuadrat Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola. Contoh : diketahui f(x) = x2 + 2x – 3, gambar grafiknya.

Fungsi Identitas Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Contoh : diketahui suatu fungsi yang didefinisikan f(x) = x. Carilah f(-2), f(0), f(1), f(3) dan gambarkan grafiknya Jawab : Nilai f(-2) = -2, f(0) = 0, f(1) = 1, f(3) = 3

Fungsi Tangga (bertingkat) Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar. Contoh : Tentukan nilai dari f(-2), f(0), f(3), f(5) dan grafiknya Jawab : Nilai dari f(-2) = -1 , f(0) = 0, f(3) = 2, f(5) = 3

Fungsi Modulus Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya. Contoh : 𝑓 𝑥 = 𝑥 = 𝑥, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥≥0 −𝑥, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥<0 Gambar grafiknya

Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x). Suatu fungsi f(x) disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil. Contoh : Tentukan fungsi f(x) di bawah ini termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidak f(x) = 2x3 + x f(x) = 3x4 – 2x2-2 f(x) = x2 – 8x Jawab : 1. f(-x) = 2(-x)3 –x = -2x3 - x = -(2x3 + x) = -f(x), berarti merupakan fungsi ganjil

2. f(-x) = 3(-x)4 – 2(-x)2 - 2 = 3x4 – 2x2 – 2 = f(x), berarti merupakan fungsi genap 3. f(-x) = (-x)2 – 8(-x) = x2 + 8x ≠−𝑓(𝑥) Fungsi f(–x) ≠ f(x) dan f(–x) ≠ –f(x). Jadi, fungsi f(x) adalah tidak genap dan tidak ganjil.

Sifat-Sifat Fungsi Fungsi Injektif (satu-satu) Jika setiap elemen B memiliki tepat satu elemen dari A dan anggota B tidak harus habis disebut fungsi injektif.

Fungsi Surjektif (onto) Jika setiap elemen di B memiliki pasangan di A disebut fungsi surjektif. Fungsi Bijektif (korespondensi satu-satu) Jika setiap anggota A mempunyai peta hanya satu di B, demikian juga sebaliknya disebut fungsi bijektif.

Operasi Fungsi dan Komposisi Fungsi Fungsi bukanlah bilangan. Tetapi seperti halnya dua bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a + b, demikian juga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan fungsi baru f + g. Misalkan terdapat dua fungsi f(x) dan g(x), maka (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f - g)(x) = f(x) - g(x) (f * g)(x) = f(x) * g(x) 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) , dimana 𝑔(𝑥)≠0

Contoh : Jika f(x) = x2 – 2x, dengan natural domain [0,∞) dan g(x) = x – 1, dengan natural domain [0,∞), tentukan operasi fungsi dan natural domainnya : Jawab : 𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 = 𝑥 2 −2𝑥+𝑥−1= 𝑥 2 −𝑥−1, domain =[0,∞) 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 = 𝑥 2 −2𝑥− 𝑥−1 = 𝑥 2 −3𝑥+1, domain =[0,∞) 𝑓 𝑥 ∗𝑔 𝑥 = (𝑥 2 −2𝑥)∗(𝑥−1)= 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥 2 +2𝑥= 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥, domain = [0,∞) 𝑓(𝑥) 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 −2𝑥 𝑥−1 , domain = {𝑥:𝑥≠1}

Komposisi Fungsi Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah: (g o f)(x) = g(f(x)) artinya f dimasukkan ke g (f o g)(x) = f(g(x)) artinya g dimasukkan ke f Contoh Soal : Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ... Jawab (f o g)(x) = 3(2x)-4 = 6x - 4 (g o f)(x) = 2(3x-4) = 6x-8

(g o f)(x) dan (f o g)(x) tidak bersifat komutatif Ingat : (g o f)(x) dan (f o g)(x) tidak bersifat komutatif Harus hati-hati dalam menentukan domain dari fungsi komposisi. Daerah asal (g o f) adalah himpunan nilai-nilai x yang memenuhi : x adalah domain dari f dan f(x) adalah domain dari g. Contoh : 𝑓 𝑥 =6𝑥/( 𝑥 2 −9) dan 𝑔 𝑥 = 3𝑥 . Tentukan (f o g)(12), (f o g)(x) dan domainnya Jawab : f(g(12) = f 36 =𝑓 6 = 6.6 6 2 −9 = 4 3 𝑓∘𝑔 𝑥 =𝑓 𝑔 𝑥 =𝑓 3𝑥 = 6 3𝑥 ( 3𝑥 ) 2 −9 , domain =[0,3) ᴜ (3,∞) Note : utk menghindari akar nilai negatif dan penyebut 0

Dalam matematika, biasanya komposisi fungsi dituliskan secara sederhana menjadi fungsi yang lebih sederhana. Misalkan 𝑝 𝑥 = 𝑥 2 +4 dapat dituliskan sebagai 𝑝 𝑥 =𝑔(𝑓 𝑥 ) dimana 𝑔 𝑥 = 𝑥 dan 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +4 atau 𝑝 𝑥 =𝑔(𝑓 𝑥 ) dimana 𝑔 𝑥 = 𝑥+4 dan 𝑓 𝑥 = 𝑥 2

Fungsi Invers Berdasarkan gambar di atas, kita peroleh : Fungsi f memetakan 𝑥∈𝐴 ke 𝑦∈𝐵. Jika fungsi f dinyatakan sebagai pasangan berurutan, maka dapat ditulis sbb. 𝑓= {(𝑥,𝑦)|𝑥∈𝐴,𝑦∈𝐵}. Pasangan berurut (x,y) merupakan unsur dari fungsi f. Invers fungsi f memetakan𝑦∈𝐵 ke 𝑥∈𝐴. Jika invers fungsi f dinyatakan sebagai pasangan berurutan, maka dapat ditulis sbb. 𝑓 −1 ={(𝑦,𝑥)|𝑦∈𝐵,𝑥∈𝐴}. Pasangan berurut (y,x) merupakan unsur dari invers fungsi f.

Langkah-langkah menentukan fungsi invers: 1 Langkah-langkah menentukan fungsi invers: 1. Buatlah permisalan f(x)=y pada persamaan. 2. Selesaikan persamaan sehingga diperoleh x sebagai fungsi y atau 𝑥= 𝑓 −1 (𝑦). 3. Ganti variabel y dengan x pada 𝑓 −1 (𝑦) sehingga diperoleh 𝑓 −1 (𝑥)=y sebagai fungsi invers dari y=f(x) . Contoh Jika diketahui 𝑓 𝑥 =2𝑥+3, tentukan inversnya dan 𝑓 −1 (1) Diketahui fungsi 𝑔 𝑥 = 3𝑥−1 2𝑥+5 , tentukan inversnya

Terima kasih