MATEMATIKA EKONOMI FUNGSI LINIER (Pertemuan) IR. H. HERMAN NOOR SUWITO, MM UNIVERSITAS NASIONAL PASIM September 2013

Y = a + bx Definisi FUNGSI LINIER SEDERHANA Suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain. Bentuk Persamaan: Y = a + bx INDEPENDENT VARIABLE DEPENDENT VARIABLE KONSTANTA KOEFISIEN VAR. X

Notasi Fungsi Y = f(x) Y = 5 + 0.8 x f(x) = 5 + 0.8 x 5 0.8 X Y Dimana: 5 0.8 X Y Konstanta/Intersep pada sumby Y Koef. Variable x/ Kemiringan/tangent/slope Variabel bebas (independent variable) Variabel terikat (dependent variable)

Penggambaran Fungsi Linier

CONTOH A. 2x + 4y = 16  Y = -0,5X + 4

GRAFIK Y X Y = a + bX; a > 0, b >0 Y = a + bX; a = 0, b >0

BENTUK SLOPE Keterangan: Slope – positif Slope - negatif (c) (d) Keterangan: Slope – positif Slope - negatif Slope – tegak lurus sumbu X; X = C Slope – tegak lurus sumbu Y; Y = C

CONTOH Jawab:

Penggal dan Lereng Garis Lurus a: penggal garis y= a + bx, yakni nilai y pada x = 0 b: lereng garis, yakni pada x = 0, pada x = 1, pada x = 2, lereng fungsi linear selalu konstan

y x a c x = c y=a y = a berupa garis lurus sejajar sumbu horizontal x, besar kecilnya nilai x tidak mempengaruhi nilai y x = c berupa garis lurus sejajar subu vertikal y, besar kecilnya nilai y tidak mempengaruhi nilai x

Pembentukan Persamaan Linier

Cara Dwi- Koordinat y x Persamaan linier yang dibentuk oleh 2 titik: = y x C (x, y) Slope AC = Slope AB = B (x2, y2) A (x1, y1)

Cara Koordinat- Lereng Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1, y1) dan lereng garisnya adalah b, maka rumus persamaan linearnya adalah: y – y1 = b (x – x1) Y (X1, Y1) b = lereng garis b 1 X

Cara Penggal- Lereng Sebuah persamaan linear dapat pula dibentuk apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu dan lereng garis yang memenuhi persamaan tersebut. y = a + bx (a= penggal, b= lereng)

Cara Dwi-Penggal Sebuah persamaan linear dapat dibentuk apabila diketahui penggal garis tersebut pada masing- masing sumbu, penggal pada sumbu vertical (ketika x = 0) penggal pada sumbu horizontal (ketika y = 0). Apabila a dan c masing-masing ádalah penggal pada sumbu- sumbu vertikal dan horizontal dari sebuah garis lurus, maka persamaan garisnya adalah : a = penggal vertikal b = penggal horizontal Perhatikan gambar dibawah ini,

y x A P b B c 1 2 3 4 5 6 a 3,5 -4 Y = 2 + 0,5 x

SOAL-SOAL 4X + 5Y = 6 1,5X + 15Y = 2 1/4X + 2Y = -5 -3X + 6Y = 5

Hubungan Dua Garis Lurus Dalam sistem sepasang sumbu silang, dua buah garis lurus mempunyai empat macam kemungkinan bentuk hubungan yang : berimpit, sejajar, berpotongan dan tegak lurus.

Berimpit : y1 = ny2 a1 = na2 b1 = nb2 y1 = a1 + b1x y2 = a2 + b2x Sejajar : a1 ≠ a2 b1 = b2 y1 = a1 + b1x y2 = a2 + b2x

y1 = a1 + b1x Berpotongan : b1 ≠ b2 y2 = a2 + b2x Tegak Lurus : b1 = - 1/b2 y1 = a1 + b1x y2 = a2 + b2x

PENCARIAN AKAR- AKAR PERSAMAAN LINEAR Pencarian besarnya harga bilangan- bilangan anu dari beberapa persamaan linear, dengan kata lain penyelesaian persamaan- persamaan linear secara serempak (simultaneously), dapat dilakukan melalui tiga macam cara : cara substitusi cara eliminasi cara determinan

Cara Substitusi Contoh : Carilah nilai variable- variable x dan y dari dua persamaan berikut: 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 untuk variabel x, diperoleh x = 23-4y 2x + 3y = 21 2(23 – 4y) + 3y = 21 46 – 8y + 3y = 21 46 – 5y = 21, 25 = 5y, y = 5 x = ?

Cara Eliminasi Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat diselesaikan dengan cara menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan anu yang ada, sehingga dapat dihitung nilai dari bilangan anu yang lain.

Cara Determinan Cara determinan bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang jumlahnya banyak. Determinan secara umum dilambangkan dengan notasi

Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan : Ada 2 persamaan : ax + by = c dx + ey = f Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan : Determinan

Contoh : 2x + 3y = 21 dx + 4y = 23 Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan :

1. Tentukan penggal x dan penggal y dari persamaan-persamaan: SOAL-SOAL 1. Tentukan penggal x dan penggal y dari persamaan-persamaan: 5x - 10y – 20 = 0 2. Gambarkan persamaan fungsi linier di bawah ini (dengan metode subtitusi): a). Y = 3x + 1 b). Y = 3x c). Y = -2x + 10 3. Bentuklah persamaan linier yang garisnya melalui pasangan titik-titik berikut: a). (-1, 4) dan (1, 0) b). (-1, -2) dan (-5, -2) c). (0, 0) dan (1, 5) d). (1, 4)dan (2, 3)

SOAL-SOAL 4. Bentuklah persamaan linier yang garisnya melalui titik (-1, 3) danmempunyai koefisien arah atau lereng sebesar : a). -1 b). 2 c ). 5 D). 0 5. Tentukan titik potong dari pasangan garis-garis berikut : a). y = -2 + 4x dan y = 2 + 2x b). y = -2 + 4x dan y = 6 C). y = 6 dan y = 10 – 2x d). y = 2 + 2x dan y = 10 – 2x

PENERAPAN FUNGSI LINIER Kegunaan fungsi linier adalah: A. Fungsi permintaan-Penawaran dan kesetimbangan. B. Pengaruh pajak (spesifik, proporsional) C. Pengaruh Subsidi (pemerintah) D. Fungsi BIAYA, FUNGSI PENDAPATAN DAN ANALISIS IMPAS E. Fungsi Konsumsi dan Tabungan

A. FUNGSI PERMINTAAN - PENAWARAN Fungsi permintaan diberikan sbb: Qd = a – bP atau Qd= 15 - P Fungsi penawaran diberikan sbb: Qs = a + bP atau Qs= -6 + 2P Keseimbangan Pasar: Qs = Qd  Perm

GRAFIK P Qs = a1 + b1 P E Qd = a2 + b2P Q

CONTOH Contoh Soal: Fungsi Permintaan Honda Jazz ditunjukkan oleh persamaan: P = 15 – Q sedangkan Fungsi Penawaran adalah P = 3 + 0,5 Q Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan Honda Jazz yang tercipta di pasar? Jawab: Permintaan : P = 15 – Q → Q = 15 – P Penawaran : P = 3 + 0,5 Q → Q = -6 + 2P Keseimbangan pasar , maka → Q d = Q s 15 – P = - 6 + 2P → 21 = 3P → = 7 Q = 15 – P →15 – 7 = 8 Jadi, PE = 7 dan QE = 8

B. PENGARUH PAJAK-SPESIFIK TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR B.1. Pengaruh Pajak Spesifik. Pajak yang dikenakan atas penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut naik. Sebab setelah dikenakan pajak, produsen akan berusaha mengalihkan (sebagian) beban pajak tersebut kepada konsumen. Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit barang yang dijual menyebabkan kurva penawaran bergeser ke atas, dengan penggal yang lebih tinggi pada sumbu harga. Jika sebelum pajak persamaan penawarannya: P = a + bQ Maka sesudah pajak: (P-t) = a + bQ = (a + t) + bQ

CONTOH Contoh Soal: Fungsi Permintaan Honda Jazz ditunjukkan oleh persamaan: P = 15 – Q sedangkan Fungsi Penawaran adalah P = 3 + 0,5 Q. Bea Masuk Honda Jazz, Pemerintah mengenakan pajak sebesar 3 per unit Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan Honda Jazz sebelum pajak dan sesudah pajak yang tercipta di pasar? Jawab: Penawaran sebelum pajak : P = 3 + 0,5 Q Penawaran sesudah pajak : P-3 = 3 + 0,5 Q P = 6 + 0,5 Q → Q = -12 + 2P Sedangkan permintaan tetap : P = 15 – Q → Q = 15 - P

CONTOH Q’s Qs 9 7 6 Qd P E’ E 3 15 Keseimbangan Pasar : Qd = Qs 15 – P = -12 + 2 P → 27 = 3P → P = 9 Q = 15 – P = 15 - 9 → P = 6 Jadi sesudah pajak Pe = 9 dan Qe = 6 Q P 7 Qd Qs 15 3 E 6 9 E’ Q’s Sesudah Pajak Sebelum Pajak

B.2. PAJAK PROPORSIONAL Fungsi permintaan ditunjukkan persamaan P = 15 – Q, penawarannya P = 3 + 0,5Q. Terhadap barang tersebut dikenakan pajak sebesar 25% dari harga jual. Berapa harga dan jumlah keseimbangan sesudah pajak? Permintaan : P = 15 – Q P Q 8 3 15 14 1 6 6,6 Qd Qs 7 E 8,4 Penawaran : P = 3 + 0,5Q + 0,25P 0,75P = 3 + 0,5Q Qd’ P = 4 + 2/3Q 15 – Q = 4 + 2/3Q E’ 11 = 5/3Q Q = 6,6 P = 15 – Q P = 15 – 6,6 P = 8,4

PENGARUH SUBSIDI TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR Subsidi merupakan kebalikan atau lawan dari pajak, oleh karena itu ia sering juga disebut pajak negatif. Seiring dengan itu, pengaruhnya terhadap keseimbangan pasar berbalikan dengan pengaruh pajak, sehingga kita dapat menganalisisnya seperti ketika menganalisis pengaruh pajak. Subsidi dapat bersifat spesifik dan dapat juga bersifat proporsional. Pengaruh Subsidi. Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan sesuatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih rendah. Dengan adanya subsidi, produsen merasa ongkos produksinya menjadi lebih kecil sehingga ia bersedia menjual lebih murah.

C. BEBAN SUBSIDI Dengan subsidi sebesar s , kurva penawaran bergeser sejajar kebawah, dengan penggal yang lebih kecil (lebih rendah) pada sumbu harga. Jika sebelum subsidi persamaan penawarannya P = a + bQ maka sesudah subsidi persamaannya akan menjadi P’ = a + bQ – s = (a – s) + bQ

Contoh Soal: Fungsi Permintaan Honda Jazz ditunjukkan oleh persamaan: P = 15 – Q sedangkan Fungsi Penawaran adalah P = 3 + 0,5 Q. Pemerintah memberikan Subsidi sebesar 1,5 per unit Honda Jazz yang diproduksi. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan Honda Jazz sebelum pajak dan sesudah pajak yang tercipta di pasar? Jawab: Penawaran tanpa subsidi : P = 3 + 0,5 Q Penawaran dengan subsidi : P = 3 + 0,5 Q – 1,5 P = 1,5 + 0,5 Q Q = -3 + 2 P Sedangkan permintaan tetap : P = 15 – Q → Q = 15 - P

GRAFIK 7 Qd Qs 6 8 9 Q’s P E’ E 3 1,5 15 Tanpa Subsidi Dengan Subsidi Keseimbangan Pasar : Qd = Qs 15 – P = -3 + 2 P → 18 = 3P → P = 6 Q = 15 – P = 15 - 6 → P = 9 Jadi sesudah pajak Pe = 6 dan Qe = 9 Q P 7 Qd Qs 15 3 E 6 8 E’ 9 1,5 Q’s Tanpa Subsidi Dengan Subsidi

BEBAN SUBSIDI Bagian Subsidi yang dinikmati konsumen. Besarnya bagian dari subsidi yang diterima, secara tidak langsung, oleh konsumen (sk) adalah selisih antara harga keseimbangan tanpa subsidi (P e ) dan harga keseimbangan dengan subsidi (P’ e ) Sk = Pe – P’e Dalam contoh kasus diatas, sk = 7 – 6 = 1 Bagian subsidi yang dinikmati produsen Sp = s - sk Dalam contoh kasus diatas, sp = 1,5 – 1 = 0,5 Jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah. Besarnya jumlah subsidi yang diberikan oleh pemerintah (S) dapat dihitung dengan mengalikan jumlah barang yang terjual sesudah subsidi (Q’ e ) dengan besarnya subsidi per unit barang (s). Jadi jumlah subsidi pemerintah adalah S = Q’e X s Dalam contoh kasus diatas, S = 9 x 1,5 = 13,5

D. FUNGSI PENERIMAAN & BIAYA FUNGSI BIAYA Biaya Tetap Fc = k (k=konstanta) Biaya Variabel Vc = vQ Biaya Total Tc = Fc + Vc FUNGSI PENERIMAAN Revenue(penerimaan) R = Q x P (biasanya dinyatakan dalam Q)

ANALISA PULANG POKOK

KESEIMBANGAN 2 MACAM BARANG Fungsi Permintaan dan Penawaran Barang X Px= -aQx + b + Py Px= aQx + b + Py Barang Y Py= -aQy + b + Px Py= aQy + b + Px Permintaan Penawaran Permintaan Penawaran

KESEIMBANGAN 2 MACAM BARANG (Lanj) Persamaan barang x : Keseimbangan pasar barang X Persamaan barang y : Keseimbangan pasar barang Y

KESEIMBANGAN 2 MACAM BARANG (Lanj) Dari 2 persamaan diatas diperoleh: ELIMINASI x5 x1 + Selanjutnya:

KESEIMBANGAN 2 MACAM BARANG (Lanj) Langkah selanjutnya: Substitusikan ke persamaan barang X dan Y Jadi, keseimbangan masing-masing barang tersebut adalah

E. FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN Berdasarkan asumsi tersebut persamaan fungsi konsumsi adalah: C = a + bY Dimana: C = Konsumsi Y = Pendapatan yang siap dibelanjakan , A = Konsumsi mutlak b = Kecenderungan konsumsi marginal (MPC) Fungsi tabungan dapat diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan di atas dalam persamaan pendapatan: Y=C+S atau Y=C+I dimana I-adalah investasi Sehingga menghasilkan:

CONTOH Diketahui fungsi pendapatan: Y=C+I dan fungsi konsumsi C= 50 + 0,8Y dan I0=50. Tentukan tingkat penghasilan kesetimbangan dari grafik tersebut. Jawaban: Y=C+I C=50+0.8Y Y=50+0.8Y+I  0.2Y=50 + I Buatlah grafik: Y vs I Y vs C Y vs Y=C+I0 Titik kestimbangan terjadi ketika kurva Y=C+I akan berpotongan dengan garis titik-titik pada kemiringan 45 derajat. Dalam hal ini terjadi pada Y=500, lihat grafik

GRAFIK Titik kesetimbangan pendapatan agregat

FUNGSI MULTI VARIABEL Persamaan Linear Dengan n Variabel a1x1+ a2x2+ a3x3+ ……..+ anxn = b Dimana: a1 , a2 , a3,…… ,an dan b adalah bilangan konstan dan a1 , a2 , a3, ………… ,an tidak semuanya nol. n variabel meliputi x1, x2, x3, …….., xn Contoh: (1). 3x1- 2x2+ 5x3 = 0; a1=3 , a2=-2 , a3=5; b=0 (2). 2x1+ 5x3+ 2x4+ 4x5 = 10; a1=2 , a2=0 , a3=5, a4=2, a5=4, b=10 Bentuk Jawaban persamaan tersebut adalah himpunan S dimana: S1 = {(X1, X2, X3) | 3x1- 2x2+ 5x3 = 0 } S2 = {(X1, X3, X4, X5) | ). 2x1+ 5x3+ 2x4+ 4x5 = 10}

Jenis-jenis Fungsi Jenis fungsi terdiri atas: Fungsi linier Fungsi kwadrat Fungsi Polinom Fungsi berderajat n Fungsi pangkat Fungsi eksponensial Fungsi logaritmik Fungsi trigonometri Fungsi hiperbolik Berikut penjelasannya. Fungsi non Linier

1• Fungsi Polinom : fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya. y = a0 + a1x + a2x2 +…...+ anxn 2• Fungsi Linear : fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu (fungsi berderajat satu). y = a0 + a1x a1 ≠ 0

• Fungsi Kuadrat : fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua, sering juga disebut fungsi berderajat dua. y = a0 + a1x + a2x2 a2 ≠ 0 • Fungsi berderajat n : fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n (n = bilangan nyata). y = a0 + a1x + a2x2 + …+ an-1xn-1 + anxn an ≠ 0

y = xn n = bilangan nyata bukan nol. • Fungsi Pangkat : fungsi yang veriabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata bukan nol. y = xn n = bilangan nyata bukan nol. • Fungsi eksponensial : fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol. y = nx n > 0 (pehatikan n dan x pada kedua jenis fungsi tsb.)

persamaan hiperbolik y = arc cos x • Fungsi logaritmik : fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya merupakan bilangan logaritmik. y = nlog x • Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik : fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan-bilangan goneometrik. persamaan trigonometrik y = sin x persamaan hiperbolik y = arc cos x

Berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya, fungsi dibedakan menjadi 2 jenis: Fungsi Bentuk Eksplisit Bentuk Implisit Umum Linier Kuadrat Kubik y = f(x) y = a0 + a1x y = a0 + a1x + a2x2 y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 f(x, y) = 0 a0 + a1x – y = 0 a0 + a1x + a2x2 – y = 0 a0 + a1x + a2x2 + a3x3 – y = 0

TERIMAKASIH SELAMAT BELAJAR