MATEMATIKA Fungsi dan Hubungan Linier PERTEMUAN 7

DEFINISI FUNGSI Fungsi adalah hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi : 1. Variabel → Variabel yang berubah-ubah dari suatu keadaan ke keadaan lainnya 2. Koefisien→ bilangan/angka yang diletakkan tepat didepan suatu variabel 3.Konstanta→Sifatnya tetap/tidak terkait dengan suatu variabel apapun Secara umum : Y = f(x), dimana x adalah variabel bebas y adalah variabel terikat

Fungsi linier Fungsi Linier adalah fungsi Polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah satu Bentuk umum fungsi linier 2 variabel (x & y) y = ao + a1x dimana : ao konstanta, nilainya positif, negatif, atau nol a1 koefisien, nilainya positif, negatif, atau nol Contoh : y = 4 + 2x

Cara menggambar fungsi linier a. Dengan cara sederhana (curve traicing process) b. Dengan cara matematis (menggunakan ciri-ciri yang penting)

Curve traicing process Yaitu dengan menggunakan tabel x dan y, dimana kita tentukan dulu nilai x sebagai variabel bebas, maka dengan memasukkan beberapa nilai x kita akan memperoleh nilai y. Misalkan : y = 4 + 2x Kemudian kita tinggal memplotkan masing-masing pasangan titik tersebut. X -2 -1 1 2 y 4 6 8

Curve traicing process y y = 4 + 2x x

Cara matematis Yaitu dengan mencari titik potong untuk sumbu x dan juga sumbu y. Titik potong fungsi dengan sumbu y, yakni pada x=0, maka y=a. Jadi titiknya adalah A(0,a) Titik potong fungsi dengan sumbu x, yakni pada y=0, maka x=b. Jadi titiknya adalah B(b,0) Hubungkan kedua titik untuk menentukan garis persamaan liniernya

contoh Misalkan diketahui y = 4 + 2x. Maka grafik fungsi dapat digambarkan menggunakan ciri-ciri penting, yaitu: 1) Titik potong fungsi dengan sumbu y, x=0, maka y=4. Jadi titiknya adalah A(0,4) 2)Titik potong fungsi dengan sumbu x, y=0, maka x=-2. Jadi titiknya adalah B(-2,0) Dengan menggunakan kedua ciri ini maka kita dapat menggambar grafik fungsi y=4 + 2x seperti terlihat pada gambar berikut:

CONTOH y (0,4) y = 4 + 2x (-2,0) x

latihan Gambarlah grafik fungsi a. y = 9 – 2x b. 2x - 4y = 4 c. y = 3x + 5

Perpotongan dua fungsi linier Untuk fungsi linier yang saling berpotongan, maka untuk mencari titik potongnya dapat dilakukan dengan cara : 1. Metode Grafik 2. Metode Subtitusi 3. Metode Eliminasi 4. Metode Campuran

Metode grafik Penyelesaian dengan metode grafik secara umum adalah dengan menggambar kedua fungsi linier pada satu koordinat Cartesius. Bisa dengan cara biasa atau cara matematis. Perpotongan kedua garis adalah titik (x,y) yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan Linear Y (0,a) (0,c) (x,y) X O (b,0) (d,0)

contoh Tentukanlah titik potong fungsi 2x + 3y = 4 dengan x + 2y = 1 Jawab : fungsi 1 : 2x + 3y = 4 1).Titik potong fungsi dengan sumbu y, x=0, maka y= . Jadi titiknya adalah A1 (0, ) 2).Titik potong fungsi dengan sumbu x, y=0, maka x=2. Jadi titiknya adalah B1 (2,0) fungsi 2 : x + 2y = 1 x=0, maka y= . Jadi titiknya adalah A2 (0, ) y=0, maka x=1. Jadi titiknya adalah B2 (1,0)

contoh x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y1 1,3 0,7 -0,7 -1,3 -2 -2,7 -3,3 -4 -4,7 -5,3 y2 0,5 -0,5 -1 -1,5 -2,5 -3 -3,5 -4,5 y x (5,-2)

Metode substitusi Metode substitusi adalah cara untuk menentukan himpunan penyelesaian dengan menggantikan suatu variabel dengan variabel yang lainnya. Dalam metode substitusi suatu variabel dinyatakan dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, selanjutnya variabel ini digunakan untuk mengganti variabel yang sama dalam persamaan lainnya sehingga menjadi persamaan satu variabel dan anda dapat dengan mudah mencari nilai variabel yang tersisa. Carilah persamaan yang paling sederhana dari kedua persamaan itu Kemudian nyatakan persamaan y dalam x atau sebaliknya.

contoh Tentukanlah titik potong fungsi 2x + 3y = 4 dengan x + 2y =1 Jawab : a). ...1) masukan ke 2) ...2) X 2

contoh b). ...1) masukan ke 2) ...2) X 3 { 5, -2 } Jadi himpunan penyelesaiannya { 5, -2 } ...2) X 3

Metode eliminasi Metode Eliminasi adalah cara penyelesaian dengan menghilangkan salah satu variabel untuk mencari nilai variabel yang lain. Adapun langkah-langkah secara adalah sebagai berikut : Untuk mengeliminasi suatu variabel samakan nilai kedua koefisien variabel yang akan dihilangkan. Pada langkah ini anda mengalikan kedua koefisien dengan bilangan tertentu sedemikian sehingga nilai koefisiennya menjadi sama

contoh 2x + 3y = 4 X 1 → 2x + 3y = 4 x + 2y = 1 X 2 → 2x + 4y = 2 Tentukanlah titik potong fungsi 2x + 3y = 4 dengan x + 2y =1 Jawab : a). Eliminasi x 2x + 3y = 4 X 1 → 2x + 3y = 4 x + 2y = 1 X 2 → 2x + 4y = 2 - y = 2 y = - 2 b). Eliminasi y 2x + 3y = 4 X 2 → 4x + 6y = 8 x + 2y = 1 X 3 → 3x + 6y = 3 x = 5 Jadi himpunan penyelesaiannya { 5, -2 }

Metode campuran Penyelesaian dengan metode campuran adalah cara menentukan himpunan penyelesaian dengan menggabungkan antara metode eliminasi dan metode substitusi. Pertama kali anda kerjakan dengan metode eliminasi. Kemudian nilai variabel hasil eliminasi ini disubsitusikan ke dalam salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai variabel yang lain.

contoh Jadi himpunan penyelesaiannya { 5, -2 } Tentukanlah titik potong fungsi 2x + 3y = 4 dengan x + 2y =1 Jawab : a). Eliminasi x 2x + 3y = 4 X 1 → 2x + 3y = 4 x + 2y = 1 X 2 → 2x + 4y = 2 - y = 2 y = - 2 b). Substitusi nilai x ke persamaan ke-2 x + 2y = 1 x + (2 x -2) = 1 x – 4 = 1 x = 5 Jadi himpunan penyelesaiannya { 5, -2 }

latihan Carilah titik potong untuk fungsi-fungsi berikut : a. x + y = 2 d. x + 2y = 4 x – y = 2 3x – y = 5 b. 3x + 2y = 6 e. x + 3y = 1 2x – 4y = 4 2x – y = 9 c. 2x – 5y = 15 f. 2x1 + x2 = 8 3x + 4y = 11 x1 – x2 = 1

PENERAPAN DALAM EKONOMI

PENERAPAN DALAM TEORI EKONOMI MIKRO Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar Pengaruh pajak – spesifik terhadap keseimbangan pasar Pengaruh pajak – proporsional terhadap keseimbangan pasar Pengaruh subsidi terhadap keseimbangan pasar Keseimbangan pasar kasus dua macam barang Fungsi biaya dan fungsi penerimaan Keuntungan, kerugian dan pulang-pokok Fungsi anggaran

FUNGSI LINIER DALAM TEORI EKONOMI MAKRO Fungsi pajak Fungsi Investasi Fungsi impor Pendapatan Nasional Analisis IS-LM

Fungsi Permintaan Fungsi Penawaran Q = a – bP Q = -a + bP

Buat kurva permintaan dan kurva penawaran untuk: P = 20 - Q P = 5 + Q

Keseimbangan pasar How to solve??? Apa arti Keseimbangan Pasar? Qd = Qs dimana Qd adalah ???????? dimana Qs adalah ????????

Cara menghitung keseimbangan pasar dan menggambarkan kurva nya Contoh kasus Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P=15-Q, sedangkan penawannnya P=3+0,5Q. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar? Diketahui: Permintaan P = 15-Q Penawaran P = 3 + 0,5Q Keseimbangan pasar Qd = Qs 15-Q = 3 + 0,5Q 15-3 = 1,5Q 12 / 1,5 =Q Q=8 Q=8  P = 15-8 P = 7

PENGARUH PAJAK – SPESIFIK TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR Pajak yang dikenakan atas penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut naik  setelah dikenakan pajak, produsen berusaha mengalihkan sebagian beban pajak kepada konsumen yaitu dengan harga jual yang lebih tinggi Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit barang yang dijual menyebabkan kurva penawaran bergeser ke atas. P = a + bQ (sebelum pajak )  P = a + bQ +t (sesudah pajak, atau P=a+t+bQ) Dengan kurva penawaran yang lebih tinggi, CETERIS PARIBUS, titik keseimbangan pun akan bergeser lebih tinggi

Contoh kasus dengan pajak Fungsi permintaan P=15-Q dan fungsi penawaran P=3+0,5Q. Terhadap barang tersebut dikenakan pajak sebesar 3 per unit. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sebelum pajak? Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan setelah pajak? Sebelum pajak Pe = 7 dan Qe = 8, setelah pajak maka penawaran menjadi P=3+0,5Q+3 P=6+0,5Q (saya kalikan 2 maka persamaan menjadi 2P-12=Q) Permintaan akan tetap yaitu P=15-Q atau saya balik menjadi 15-P=Q Keseimbangan pasar setelah pajak Qd = Qs 15-P = 2P-12 3P=27 P’e=9 maka Q=15-9 Q’e=6

Beban pajak yang ditanggung oleh konsumen dan produsen Diketahui: PE = 9 P’E = 7 maka beban pajak yang ditanggung oleh konsumen tk = PE – P’E yaitu 2 Sedangkan beban pajak yang ditanggung oleh produsen tp = t – tk, yaitu 1 LALU.. PEMERINTAH?? Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah adalah T = Q’E x t, yaitu 6x3=18 Untuk sumber pendapatan pemerintah dalam peningkatan kualitas barang publik

PENGARUH PAJAK-PROPORSIONAL TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR Pajak Proporsional  pajak yang besarannya ditetapkan berdasarkan persentase tertentu dari harga jual, bukan ditetapkan secara spesifik per unit barang Pengeluaran pajak spesifik menyebabkan kurva penawaan bergeser ke atas sejajar dengan kurva penawaran sebelum pajak, maka pajak proporsional mengakibatkan kurva penawaran memiliki lereng yang lebih besar daripada kurva penawaran sebelum pajak Jika persamaan penawaran P = a + bQ +tP t=pajak proporsional dalam % P-tP = a + bQ (1-t)P = a +bQ P = 𝑎 (1−𝑡) + 𝑏 (1−𝑡) 𝑄 atau Q = - 𝑎 𝑏 + (1−𝑡) 𝑏 P

Contoh kasus pajak proporsional Fungsi permintaan P=15-Q dan fungsi penawaran P=3+0,5Q. Terhadap barang tersebut dikenakan pajak proporsional sebesar 25%. Hitunglah harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan tanpa pajak serta dengan pajak Sebelum pajak Pe = 7 dan Qe = 8 Penawaran sesudah pajak, dengan t = 25% atau 0,25 P = 3 + 0,5Q + 0,25P 0,75P = 3 + 0,5Q P = 4 + 2 3 𝑄 atau Q = -6 + 1,5P maka keseimbangan pasar adalah Qd = Qs 15-P = -6 + 1,5P 2,5P = 21 P’E =8,4 Q= -6 + 1,5 (8,4) Q’E =6,6 Besarnya pajak yang diterima oleh pemerintah setiap unit barangnya adalah t x P’E yaitu 0,25 x 8,4 =2,1 Lalu hitung besarnya pajak yang dibebankan oleh konsumen dan produsen??

PENGARUH SUBSIDI TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR Subsidi yang diberikan atas produksi atau penjualan sesuatu barang dapat menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih rendah Maka dengan adanya subsidi, produsen merasa ongkos produksi menjadi lebih kecil dan bersedia menjual lebih murah Akibatnya, harga keseimbangan yang tercipta di pasar lebih rendah daripada harga keseimbangan sebelum subsidi Contoh kasus yang sama, maka P=7 dan Q=8; subsidi 1,5 atas tiap unit barang Permintaan P= 15-Q Penawaran= P=3+0,5Q-1,5  Q=-3+2P Qd = Qs 15-P = -3 + 2P P=6  Q=9

Subsidi yang dinikmati oleh konsumen sk = Pe – P’e maka nilainya adalah??? Subsidi yang dinikmati oleh produsen sp = s – sk maka nilainya adalah??? Subsisdi yang dibayarkan oleh pemerintah S = Q’e x s

KESEIMBANGAN PASAR KASUS DUA MACAM BARANG Pada fungsi permintaan Q = a – bP adalah hubungan fungsional dari jumlah permintaan dengan harga barang yang bersangkutan Terhadap dua macam barang yang mempunya hubungan penggunaan, maka permintaan akan barang satu bukan saja dipengaruhi oleh (fungsi dari) harga barang itu sendiri tapi juga barang lainnya. Hubungan ini dinamakan hubungan “SUBSTITUSI” dan barang yang saling melengkapi adalah “KOMPLEMENTER” Jika barang X dan Y memiliki hubungan penggunaan, maka permintaan akan masing-masing juga dipengaruhi harga barang lainnya

Contoh kasus Permintaan barang X dengan fungsi permintaan Qdx = 10 – 4Px + 2Py dan fungsi penawaran Qsx = -6 + 6Px sementara itu untuk Permintaan barang Y dengan fungsi permintaan Qdy = 9 – 3Px + 4Py dan fungsi penawaran Qsx = -3 + 7Py Berapa harga keseimbangan yang tercipta di pasar untuk masing-masing barang? Qdx = Qsx 10 – 4Px + 2Py = 9 – 3Px + 4Py 10Px – 2Py = 16 ................ (1) 9 – 3Px + 4Py = -3 + 7Py 4Px – 10Py = -12 ................ (2) Tentukan Px dan Py menggunakan cara eliminasi! Lalu dapatkan nilai Qdx dan Qdy !

FUNGSI BIAYA DAN FUNGSI PENERIMAAN Fungsi Biaya terdiri dari TC, VC dan FC TC atau biaya total dikeluarkan perusahaan dalam operasi bisnisnya yang terdiri atas VC (biaya variabel) dan FC (biaya tetap) Maka FC=k VC=f(Q)=vQ TC=FC+VC  k+vQ

Contoh soal Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar Rp 30,000 sedangkan biaya variabelnya ditunjukkan oleh persamaan VC=150Q. Tunjukkan persamaan dan kurva biaya totalnya?

Fungsi Penerimaan Penerimaan sebuah perusahaan dari hasil penjualan barangnya merupakan fungsi dari jumlah barang yang terjual atau dihasilkan. Penerimaan total adalah hasil kali dari jumlah barang terjual dengan harga jual per unit atau R = Q x P = f(Q) Contoh kasus: Harga jual produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan Rp100 per unit. Tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total perusahaan ini jika besar penerimaannya terjual barang sebanyak 350 unit R = Q x P R = Q x 100 = 100Q Bila Q=350 maka R= 100 (350) = 35,000

Analisis Pulang-Pokok Analisis ini untuk melihat keuntungan dan atau kerugian suatu perusahaan. Jika R>C atau kurva R diatas kurva C maka profit positif atau ∏ > 0 Jika R<C atau kurva R dibawah kurva C maka profit negatif atau ∏ < 0 Konsep yang paling penting adalah break-even point atau nilai pulang-pokok, yaitu suatu konsep yang digunakan untuk menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian, yaitu dengan menggunakan R=C Contoh kasus: Andaikan biaya total yang dikeluarkan perusahaan yang ditunjukkan C=15,000 + 75Q dan penerimaan total ditunjukkan dengan R=150Q. Pada tingkat produksi berapa unit perusahaan ini berada dalam posisi break even point? Apa yang terjadi jika ia berproduksi sebanyak 200 unit? 1) Break even point terjadi saat R=C, maka hitung Q 2) Jika Q=300, masukkan R dan C, maka hitung keuntungan ∏ = R-C 3) Gambar grafik dan identifikasi nilai R dan C pada Q break even point

Fungsi Konsumsi, Fungsi Tabungan dan Angka Pengganda (Multiplier) Pendapatan (Y) adalah penjumlahan nilai Konsumsi (C) dan Tabungan (S) Y = C + S Fungsi Konsumsi menjelaskan hubungan antara konsumsi dan pendapatan nasional, yaitu C=f(Y) = C0 + cY dimana C0 adalah konsumsi otonom dan c adalah marginal propensity to consume (c) yang merupakan lereng dari kurva konsumsi. MPC atau c adalah ΔC / ΔY Fungsi tabungan menjelaskan hubungan antara tabungan dan pendapatan nasional = S = g(Y) = S0 + sY. S0 adalah tabungan otonom dan s adalah marginal propensity to save = ΔS / ΔY Maka, Y = C+S  S= Y-C  S= Y - C0 + cY S= - C0 + (1-c) Y  S0 + sY = - C0 + (1-c) Y Jadi, S0 = - C0 s=1-c  c+s=1 MPS=1-MPC  MPC+MPS=1

Contoh kasus Konsumsi masyarakat suatu negara ditunjukkan dengan C=50+0,5Y. Bagaimana fungsi tabungannya? Jika S=20 berapa C? S=Y-C  S=Y-(50+0,6Y)  S= -50 +0,5Y S=20  20 = -50+0,5Y  Y=140; S=20 maka C = 120 Gambarkan grafiknya Angka Pengganda (Multiplier) adalah suatu bilangan yang menjelaskan tambahan pendapatan nasional akibar dari perubahan variabel-variabel tertentu dalam perekonomian. Multiplier = k = 1 1−𝑐 = 1 𝑠 Jika k=5 memiliki arti bahwa variabel ekonomi tertentu ditambah sejumlah tertentu maka memiliki pendapatan nasional bertambah sebesar 5 kali dari tambahan variabel tadi

LATIHAN

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = 13-Q, sedangkan penawarannya P = 4+Q. Berapa harga keseimbangan diantara keduanya? Bagaimana gambar tingkat keseimbangannya? Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = 25 – Q, sedangkan penawarannya P = 3 + Q. Terhadap barang tersebut dikenakan pajak sebesar 4 per unit.  Hitunglah : harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sebelum pajak harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan setelah pajak pajak yang harus ditanggung konsumen, pajak produsen, dan pajak pemerintah. Hitunglah harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan tanpa pajak serta dengan pajak, besarnya pajak yang ditanggung konsumen, produsen dan pemerintah dari soal no.2 dengan pajak yang dikenakan 25%. Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 20 – Q, sedangkan penawarannya P = 4 + 0,5Q. Pemerintah memberikan subsidi sebesar 2 atas setiap unit barang yang di produksi. Berapa harga keseimbangan serta jumlah keseimbangan tanpa dan dengan subsidi, Berapa subsidi yang diterima konsumen, produsen, dan jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah ? Permintaan akan barang X ditunjukkan oleh persamaan Qdx = 20 – 8 Px + 4 Py ,sedangkan penawaran Qsy = – 12 + 12 Px , sementara itu permintaan akan barang Y ditunjukkan oleh persamaan Qdx = 18 – 6 Py + Px , sedangkan penawaran Qsy = – 6 + 14 Py, berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar untuk masing – masing barang ?

Bila biaya total yang dikeluarkan perusahaan ditunjukkan oleh persamaan C=20.000+100Q dan penerimaan totalnya R = 200Q. Pada tingkat produksi berapa unit perusahaan ini berada dalam posisi pulang pokok ? Apa yang terjadi jika perusahaan tersebut berproduksi sebanyak 300 unit ? Bentuklah persamaan anggaran seorang konsumen untuk barang X dan barang Y apabila pendapatan yang disediakannya sebesar Rp. 100.000,- sedangkan harga barang X dan barang Y masing-masing Rp. 500,- dan Rp. 1.000,- per unit. Jika semua pendapatan yang dianggarkan dibelanjakan untuk barang X, berapa unit barang X dapat dibelinya ?. Berapa unit barang Y dapat dibeli kalau ia hanya membeli 100 unit barang X ? Diketahui data pendapatan suatu negara beserta konsumsi dan tabungannya sebagai berikut.Pada tingkat pendapatan nasional per tahun Rp1.000 miliar, besar konsumsi per tahun Rp950 miliar, sehingga tabungannya Rp50 miliar.Pada tingkat pendapatan nasional per tahun Rp1.200 miliar, besar konsumsi per tahun Rp1.100 miliar, sehingga tabungannya Rp100 miliar.Tentukan: a. Fungsi konsumsi. b. Tingkat pendapatan nasional BEP (Break Even Point). Fungsi konsumsi masyarakat suatu Negara ditunjukkan oleh C = 50+0,6 Yd. Jika pemerintah menerima dari masyarakat pembayaran pajak sebesar Rp 1.200.- dan pada tahun yang sama pemerintah memberikan pada warganya pembayaran alihan sebesar Rp 800,- . Berapa konsumsi nasional seandainya pendapatan nasional pada tahun tersebut sebesar Rp 18.000? Berapa pula tabungan nasional?