TEORI PELUANG

Pengertian Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menyatakan kalimat yang dimulai dengan kata mungkin. Hal ini mengisyaratkan bahwa kita berhadapan dengan sesuatu yang tidak pasti. Contoh : mungkin dalam ujian Statistika yadi akan mendapat nilai 75 Apabila pada kalimat yang dimulai dengan kata mungkin tersebut kita memberikan nilai numerik yang besarnya antara o dan 1, maka kata mungkin tadi berubah menjadi peluang. Contoh : Peluang Yadi akan mendapat nilai ujian Statistika 75 adalah 0,8. Yang menjadi masalah adalah, bagaimana caranya mencantumkan nilai numerik tadi pada kalimat yang dimulai dengan kata mungkin, untuk itu kita memerlukan beberapa definisi yang berkaitan dengan peluang.

Istilah – istilah Untuk mendefinisikan apa yang disebut peluang kita perhatikan contoh sebagai berikut : Seorang istri yang sedang mengandung, menurut pemeriksaan, bayi yang sedang dikandung tidak kembar, jenis kelamin bayi yang mungkin , yang akan lahir adalah L atau P. Menurut teori himpunan ini dinyatakan dalam Himpunan Semesta S = { L , P } Ruang Sampel (Sample Space) Himpunan yang anggota-anggotanya adalah semua hasil yang mungkin dan berkesempatan sama dari suatu eksperimen. Ruang Sampel biasanya dinotasikan oleh S={L,P} b. Event atau Peristiwa adalah SUBSET atau himpunan bagian dari suatu ruang sampel dan biasanya dinotasikan dengan hurup kapital Contoh : A = { L } ; B = { P } dll. Titik Sampel (Sample Point) adalah Elemen yang ada dalam ruang sampel/event Untuk menghitung peluang biasanya diperlukan bilangan kardinal Yaitu N(…) contoh N(A)=1 ; N(S)= 2 dll. d. Peristiwa Saling eksklusif Apabila anak yang lahir itu laki-laki, maka perempuan tidak lahir. Ini berarti kelahirannya saling melenyapkan, hal ini disebut mutually eksklusif atau saling eksklusif

b. Titik-titik sampel LL, PP, LP, PL sifatnya equally likely 2. Jika suami-istri tersebut mempunyai anak 2 orang Ruang sampel S yang menyatakan kemungkinan susunan jenis kelamin kedua anak tesebut seluruhnya : S = {LL, PP, LP, PL} b. Titik-titik sampel LL, PP, LP, PL sifatnya equally likely c. Titik-titik sampel LL, PP, LP, PL sifatnya mutually eksklusif d. Peristiwa lahirnya anak pertama dan anak kedua karena tidak kembar disebut peristiwa saling bebas ( Muttually independent) Berdasarkan istilah – istilah tersebut disusun definisi peluang, yang nantinya akan dipakai sebagai kriteria untuk mencantumkan bilangan pada kalimat yang dimulai dengan kata mungkin.

Definisi Peluang Definisi Klasik Apabila dalam sebuah Ruang Sampel S berisi N titik sampel yang equally likely dan mutually eksklusif, terdapat X buah titik sampel yang menyokong A, maka peluang terjadinya peristiwa A didefinisikan : Definisi Statistis (Empiris/Matematis) Apabila dalam N buah rentetan peristiwa terdapat X buah peristiwa yang menyokong A, maka peluang terjadinya peristiwa A didefinisikan sebagai : Definisi ini adalah definisi yang dipakai untuk menghitung peluang berdasarkan pengamatan

Contoh : Berdasarkan pengalaman puluhan tahun di bidang kedokteran, diantara 100 orang yang terkena penyakit K, 30 orang mati. Pada suatu saat tuan B terkena penyakit K. Berapa peluangnya bahwa tuan B mati terkena penyakit K itu ? jawab : Definisi subjektif mengenai peluang Pada suatu saat seorang peneliti tidak mempunyai pengalaman untuk dijadikan dasar perhitungan peluang. Dalam keadaan seperti ini, peluang ditentukan secara subjektif berdasarkan kepercayaan orang tersebut.

Hukum Peluang Untuk menghitung peluang, digunakan definisi-definisi peluang baik secara klasik, empirik maupun subjektif, ditambah hukum-hukum peluang. 1. Apabila A merupakan sebuah peristiwa yang pasti bakal terjadi, maka berlaku P(A) = 1 Contoh : P(manusia bakal mati) = 1 2. Apabila A merupakan sebuah peristiwa yang tidak mungkin terjadi, maka berlaku P(A) = 0 P(A) = 0, bukan sesuatu yang absolut 3. Akibat dari (1) dan (2) maka apabila A merupakan suatu peristiwa tertentu maka berlaku

Apabila merupakan sebuah peristiwa yang komplemen untuk Apabila merupakan sebuah peristiwa yang komplemen untuk peristiwa A, maka Sesuatu peristiwa disebut komplemen dari peristiwa A, apabila merupakan bukan A Contoh : Dalam arisan keluarga, ada 23 peserta. Pada saat pembukaan arisan, ada 3 yang mungkin bisa menang. Dibuat gulungan kertas 23 yang 3 diantaranya diberi tanda menang. Seorang anggota arisan mengambil sebuah gulungan kertas. a. berapa peluang bahwa dia menang ? b. berapa peluangnya dia tidak menang ?

Apabila A dan B merupakan 2 peristiwa, maka berlaku ini dapat dijelaskan oleh diagram yang disebut diagram Venn A B

a. Gambarkan persoalan tersebut dalam diagram Venn Contoh : Sebuah RT terdiri dari 200 keluarga. 150 diantaranya berlangganan kompas, 90 diantaranya lagi berlangganan PR. Diantara yang berlangganan kompas ada 60 yang juga berlangganan PR. a. Gambarkan persoalan tersebut dalam diagram Venn b. Pada suatu saat, kita bertemu dengan salah seorang anggota keluarga diatas. Berapa peluangnya bahwa orang tersebut adalah anggota keluarga yang berlangganan kompas/PR/kedua-duanya 60 90 30 20 K PR

Berapa peluang bahwa orang yang kita jumpai itu keluarga yang Berapa peluang bahwa orang yang kita jumpai itu keluarga yang tidak berlangganan Kompas juga tidak berlangganan PR ? Masalah diatas dapat dapat digambarkan melalui tabel kontingensi 2 x 2 K PR 60 30 90 20 110 150 50 200

Catatan : Sebuah tabel yang menggambarkan hubungan antara 2 variabel atau lebih disebut Tabel Kontingensi. Apabila tabel kontingensi itu mempunyai 2 baris dan 2 kolom, maka tabel itu disebut tabel kontingensi 2 x 2 Apabila A dan B merupakan 2 buah peristiwa yang mutually eksklusif, maka berlaku Diagram Venn untuk 2 peristiwa mutually eksklusif A B

Contoh : Seorang suami istri mempunyai anak 3 orang Gambarkan ruang sampel S yang menyatakan susunan jenis kelamin dari anak tersebut ! Untuk memudahkan penggambaran ruang sampel, digunakan diagram pohon (tree diagram) L P LLL LLP LPL LPP PLL PLP PPL PPP

Berapa peluangnya bahwa susuna jenis kelamin anak tersebut Berapa peluangnya bahwa susuna jenis kelamin anak tersebut terdiri dari 2 anak laki-laki? Berapa peluangnya bahwa susunan jenis kelamin anak tersebut sekurang-kurangnya 2 laki-laki ? Berapa peluangnya bahwa yang sulung laki-laki, no 2 laki-laki dan yang bungsu perempuan atau yang sulung perempuan, no 2 perempuan dan yang bungsu laki-laki?

7. Untuk 2 buah peristiwa A dan B, berlaku hukum disebut distribusi peluang bersyarat dimana peristiwa B terjadi dengan syarat A telah terjadi Contoh : dalam sebuah kotak terdapat 27 buah kelereng yang bentuk dan warnanya sama. 18 diantaranya warna merah yang lainnya warna hitam. Dari dalam kotak diambil 2 buah kelereng berurut-turut a. Berapa peluannya bahwa kelereng yang pertama terambil berwarna merah dan yang kedua terambil berwarna hitam ?

b. Berapa peluannya bahwa kelereng yang pertama terambil berwarna merah dan yang kedua terambil berwarna merah ? 8. Apabila A dan B merupakan 2 buah peristiwa yang saling independen (bebas) maka berlaku : Contoh : Keluarga dengan 2 orang anak a. P(2 anak laki-laki) = b. P(kelahiran I laki-laki) =

Kaedah Bayes Definisi : suatu sekatan dari suatu kelompok A ialah suatu kelompok (A1,A2, … , An) yang memiliki ciri-ciri :

Teorema : Bila (A1,A2, … , An) merupakan suatu sekatan dalam ruang sampel S dan bila setiap peristiwa A1,A2, … , An memiliki peluang , maka : Contoh : 30% anggota kesebelasan sepakbola Universitas terdiri dari mahasiswa FE, 25% dari mahasiswa FH, 25% dari mahasiswa FISIP dan 20% dari mahasiswa FT. 50% dari mahasiswa FE, 30% FH, 10% FISIP dan 10% FT adalah mahawarman Bila secara random dipilih satu anggota kesebelasan di atas, berapa peluang yang terpilih itu mahawarman ?

Jawab : misalkan A = peristiwa anggota yang terpilih adalah mahawarman P(FE) = 0,3 = P(A1) P(FH) = 0,25 = P(A2) P(FISIP)=0,25=P(A3) P(FT)=0,2=P(A4) P(A|A1) = 0,5 P(A|A2) = 0,3 P(A|A3) = 0,1 P(A|A4) = 0,1

Teorema : Bila (A1,A2, … , An) merupakan suatu sekatan dalam ruang sampel S dan bila setiap peristiwa A1,A2, … , An memiliki peluang , dan bila setiap sembarang peristiwa A memang memiliki peluang , maka bagi tiap bilangan bulat k dimana , kaedah bayes dirumuskan sebagai berikut :

Contoh : Lembaga penerbit UI memiliki 3 mesin stensill A, B dan C A menstensil 30% B menstensil 25% dari seluruh produksi C menstensil 45% Diketahui bahwa 1% dari hasil ppenstensilan A rusak 1,2% dari hasil ppenstensilan B rusak 2% dari hasil ppenstensilan C rusak setiap hari ketiga mesin menstensil 10.000 lembar bila diambil 1 helai secara random, ternyata rusak, berapa peluang helai yang rusak itu diproduksi A

Jawab : misal : A = peristiwa rusak hasil penstensilan A1 = helai stensil A A2 = helai stensil B A3 = helai stensil C P(A1) = 0,3 P(A2) = 0,25 P(A3) = 0,45 P(A|A1) = 0,01 P(A|A2) = 0,012 P(A|A3) = 0,02

Ekspektasi ( Harapan Matematis) Misalkan kita mempunyai sebuah eksperimen yang menghasilkan k buah peristiwa dapat terjadi. Peluang terjadinya tiap peristiwa masing-masing p1, p2, . . . , pk dan untuk tiap peristiwa tersebut terdapat satuan d1, d2, . . . , dk Maka ekspektasi eksperimen itu didefinisikan :