Himpunan (part II) Hukum-hukum himpunan Fradika Indrawan, S.T Teknik Informatika Universitas Ahmad Dahlan Yogyakarta

Hukum-hukum himpunan Hukum identitas: A U Ø = A A ∩ U = A Hukum null/dominasi: A ∩ Ø = Ø A U U = U Contoh Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, A = {1, 2, 3} A U Ø = {1,2,3} U Ø = {1,2,3} A ∩ U = {1,2,3} ∩ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} = {1,2,3} A ∩ Ø = {1,2,3} ∩ Ø = Ø A UU = {1,2,3}U{1,2,3,4,5,6,7,8,9} = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Hukum komplemen: A U A = U A ∩ A = Ø Hukum idempoten: A ∩ A = A Contoh Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, A = {1, 2, 3} A = { 4,5,6,7,8,9} A U A = {1,2,3} U {4,5,6,7,8,9} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} = U A ∩ A = {1,2,3} ∩ {4,5,6,7,8,9} A ∩ A = {1,2,3} ∩ {1,2,3} = {1,2,3} A U A = {1,2,3} U {1,2,3}

Hukum-hukum himpunan (lanjut) Hukum involusi: (A) = A Hukum penyerapan (absorpsi): A U (A ∩ B) = A A ∩ (A U B) = A Contoh Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, A = {1, 2, 3} A = {4,5,6,7,8,9} (A) = {1,2,3} B = {4, 5, 6} A U (A ∩ B) = {1,2,3} U ({1,2,3} ∩ {4,5,6}) = {1,2,3} U {ø} = {1,2,3} A ∩ (A U B) = {1,2,3} ∩ ({1,2,3} U {4,5,6}) = {1,2,3} ∩ {1,2,3,4,5,6} = {1,2,3}

Hukum-hukum Himpunan Hukum komutatif: A U B = B U A A ∩ B = B ∩ A Hukum asosiatif: A U (B U C) = (A U B) U C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Contoh A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 } A U B = {2, 5, 7, 22} B U A = {2, 5, 7, 22} A ∩ B = {5} B ∩ A = {5} A = { 2, 5, 8 }, B = { 7, 5, 22 }, C = {8, 9, 5} A U (B U C) {2,5,8} U ({7,5,22} U {8,9,5}) {2,5,8} U ({5,7,8,9,22}) {2,5,7,8,9,22} = (A U B) U C ({2,5,8} U {7,5,22}) U {8,9,5} ({2,5,7,8,22}) U {8,9,5}

Hukum-hukum himpunan (lanjut) Hukum distributif: A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) Contoh A = { 2, 5, 8 }, B = { 7, 5, 22 }, C = {8, 9, 5} A U (B ∩ C) {2, 5, 8} U ({7, 5, 22} ∩ {8, 9, 5}) {2, 5, 8} U {5} {2, 5, 8} (A U B) ∩ (A U C) ({2, 5, 8} U {7, 5, 22}) ∩ ({2, 5, 8} U {8, 9, 5}) {2, 5, 7, 8, 22} ∩ {2, 5, 8, 9}

Hukum-hukum himpunan (lanjut) Hukum De Morgan: A ∩ B = A U B A U B = A ∩ B Hukum 0/1  = U U =  Contoh A = { 2, 5, 8 }, B = { 7, 5, 22 }, U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, = U  {1,2,3,….,9}

Prinsip Dualitas dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. Contoh: AS  kemudi mobil di kiri depan Indonesia  kemudi mobil di kanan depan

Peraturan: (a) di Amerika Serikat, - mobil harus berjalan di bagian kanan jalan, - pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului, - bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung

(b) di Inggris, - mobil harus berjalan di bagian kiri jalan, - pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului, - bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

Prinsip dualitas: Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.

(Prinsip Dualitas pada Himpunan) (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti U, ∩ , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti U  ∩, ∩  U, Ø  U, U  Ø , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.  

Prinsip dualitas

Prinsip dualitas

Prinsip Dualitas

Prinsip Inklusi-Eksklusi  Untuk dua himpunan A dan B: A  B = A + B – A  B   A  B = A +B – 2A  B Contoh Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?

A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3, B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5, A  B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),

yang ditanyakan adalah A  B. A  B = A + B – A  B = 33 + 20 – 6 = 47 Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.

TUGAS Diketahui A = {1,2,3,4,5,6}, B = {2, 5, 7, 9, 10} C = {x | x bilangan ganjil dari 1 sampai 15} Buktikan A U (B U C) = (A U B) U C A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) Buat dual dari A U (A ∩ B) dan buktikan