PROBABILITAS ( PELUANG) Oleh : Yustriyana Ulta Dewi Sartika

Tinjauan pada pengajaran : Petikan dari standar NCTM (Kurikulum Nasional Pengajaran Matematika) untuk matematika sekolah kelas 6-8*. Pengajar harus memberikan anak-anak di kelas menengah sejumlah kesempatan untuk terlibat dalam pemikiran tentang probabilitas/peluang yang terdapat dalam situasi-situasi sedehana dimana siswa dapat mengembangkan gagasan-gagasan mengenai kesempatan. Mereka harus menggunakan terminologi yang tepat dalam diskusi-diskusi mereka mengenai kesempatan dan menggunakan probabilitas/peluang untuk membuat prediksi dan menguji perkiraan (konjektur). Sebagai contohnya, pengajar mungkin memberikan siswa sebuah soal seperti berikut ini : Anggaplah kamu memiliki sebuah kotak yang berisikan 100 lembar kertas yang bertuliskan angka satu sampai seratus. Jika anda memilih satu kertas secara acak, maka berapakah probabilitas/peluang munculnya angka dengan kelipatan lima? Atau kelipatan 8? Yang bukan kelipatan lima? Atau kelipatan lima dan delapan?

Jarak yang ditempuh dalam satuan kaki (ft) Pengajar dapat membantu siswa untuk menghubungkan probabilitas dengan pekerjaan mereka melalui analisis data dan proporsionalitasnya ketika mereka mengerjakannya melalui histogram frekuensi-relatif. Sebagai contohnya, mengacu pada data yang diperlihatkan pada gambar 6.27, pengajar mungkin dapat mengajukan pertanyaan seperti, seberapa banyak kemungkinannya ketika anda melempar sebuah pesawat kertas yang dapat mencapai ketinggian 27 kaki? Atau yang tidak lebih dari 21 kaki? Histogram frekuensi-relatif untuk data pesawat kertas Dengan satu klip Frekuensi relatif Jarak yang ditempuh dalam satuan kaki (ft)

Probabilitas/peluang eksperimental dari simulasi-simulasi Aktivitas matematika 8.1 Probabilitas/peluang eksperimental dari simulasi-simulasi Tujuan : menggunakan simulasi dan mengeksplor probabilitas/peluang eksperimental Material : Dengan menggunakan spinner (putaran) yang berisi angka 1-8 baik dari material manipulatif ataupun virtual. Tekuk sebuah klip kertas dan peganglah sebuah pensil di tengah spinner, seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut ini, jika anda menggunakan sebuah spinner dari karton. Pensil Klip kertas

Sebuah sekolah akan mengirimkan dua anak dari siswa kelas empat, tiga anak dari siswa kelas lima, dan enam anak dari siswa kelas untuk menghadiri pertemuan satu hari di gadung wakil rakyat. Dua siswa akan dipilih secara acak untuk melakukan makan siang dengan gubernur, dan yang lainnya akan makan siang dengan legislator. Apakah anda berpikir bahwa setidaknya satu siswa dari kelas enam akan terpilih makan siang dengan gubernur ?. Salah satu pendekatan untuk menjawab hal ini adalah dengan merepresentasikan delapan siswa dan tingkatannya (kelas) dengan angka 1 sampai 8 yang berada di spinner. Putaran pertama akan menentukan satu siswa. Lalu putar lagi sampai muncul angka yang berbeda yang akan menentukan siswa kedua. Ulangi eksperimen ini guna memilih secara acak sebanyak 20 kali, catat hasilnya untuk tiap siswa dan kelasnya. b. Berdasarkan data anda, bagaimana anda akan menilai kesempatan yang muncul seperti setidaknya satu anak kelas enam akan terpilih? Tulislah satu atau dua buah kalimat untuk mendukung kesimpulan anda c. Jelaskan apa yang harus dilakukan untuk meningkatkan kepercayaan diri anda (self-confidence) terhadap kesimpulan anda?

Soal berikut ini juga dapat dipecahkan dengan menggunakan simulasi.   Di New Hampshire, banyak mobil yang memiliki stiker inspeksi yang memperlihatkan bukan inspeksi di jendela mobil mereka, sebagaimana yang terlihat di gambar sebelah. Jika terdapat angka yang sama pada dua mobil dikarenakan inspeksi yang dilakukan tiap bulan, maka berapakah sepertinya kemungkinan dari enam mobil yang dipilih secara acak semuanya akan memiliki angka (bulan) inspeksi yang berbeda? Dengan menggunakan spinner yang terdiri dari angka 1-12, maka tiap angka akan mewakili bulan. Putar spinner sebanyak 6 kali, untuk mensimulasikan mobil yang dipilih secara acak dan catatlah angka-angkanya. Ulanglah eksperimen ini sebanyak 15 kali, dan tentukan persentase dari eksperimen untuk melihat enam angka yang berbeda. Persentase ini disebut sebagai probabilitas/peluang eksperimental Berbasis dari probabilitas/peluang eksperimental anda, bagaimanakah sepertinya munculnya kemungkinan (seperti sebesar 50:50) ketika enam mobil dipilih dan mereka akan mempelrihatkan bulan inspeksi yang berbeda? Jelaskan bagaimana anda dapat meningkatkan akurasi dari probabilitas eksperimental anda?

Kasus pembuka : Angka 3,4,5,6 tertulis dalam empat kartu. Jika dua angka dipilih secara acak dan angka yang keluar pertama digunakan sebagai pembilang sebuah pecahan yang yang kedua sebagai penyebut, maka berapakah kemungkinan munculnya pecahan yang lebih besar dari satu dan kurang dari 1½ Probabilitas/peluang, sebagai sebuah cabang yang relatif baru di matematika, muncul pertama kali di italia dan prancis pada abad ke enam belas dan ke tujuh belas dari studi-studi terhadap strategi-strategi yang digunakan dalam permainan-permainan judi. Dari awal seperti inilah probabilitas/peluang berkembang pertama kalinya dan banyak diaplikasikan di berbagai bidang kehidupan. Perusahaan asuransi misalnya menggunakan probabilitas untuk menentukan berapa lama seseorang akan hidup, dan doktor menggunakan probabilitas untuk memprediksi keberhasilan sebuah treatmen sedangkan meteorolog akan menggunakan probabilitas untuk memprekirakan kondisi-kondisi cuaca.

Probabilitas–probabilitas dari hasil Sebagaimana halnya probabilitas yang lahir dari permainan-permainan yang berhubungan dengan kesempatan, maka probabilitas seringkali diperkenalkan pada kelas awal melalui permainan-permainan sederhana seperti yang menggunakan spinner (roda berputar). Pertimbangkan eksperimen dengan menggunakan spinner pada gambar 8.1. Terdapat empat kemungkinan hasil : biru, merah, hijau dan kuning. Kita akan memperkirakan munculnya hasil warna biru yaitu sekitar ¼ dari jumlah kita melakukan putaran. Yang berarti, bahwa probabilitas untuk memperoleh warna biru adalah ¼, hal ini dapat diperlihatkan dengan menuliskan P(biru)= ¼ Secara umum, sebuah aktivitas seperti memutar roda, melemparkan koin, atau menggelindingkan sebuah dadu disebut sebagai eksperimen, dan beragam hasil yang berbeda akan disebut sebagai hasil. Kumpulan semua hasil dari sebuah eksperimen disebut sebagai ruang sampel, dan untuk spinner sebelumnya, maka ruang sampel untuk kumpulan keempat hasil adalah : biru, merah, hijau, dan kuning. Gambar 8.1

Melemparkan koin satu kali dan untuk memperoleh per kepala. CONTOH A Untuk setiap percobaan, menentukan ruang sampel dan hasil peluang yang diberikan. Dadu bersisi enam diroling secara teratur (setiap permukaannya diberi nomor dari 1 sampai 6) dan untuk memperoleh 2 sekaligus. Melemparkan koin satu kali dan untuk memperoleh per kepala. Memilih kelereng hijau di satu undian dari sebuah kotak yang berisi lima kelereng hijau dan tujuh kelereng biru

Penyelesaian : Ruang sampel berisi angka 1 sampai 6, dan P (2) = 1/6 2. Sampel ruang memiliki dua hasil, kepala (H) dan ekor (T), dan P (H) = 1/2 3. Ruang sampel mengandung 12 hasil, lima yang dapat dilambangkan dengan G1, G2, G3, G4, dan G5 untuk lima kelereng hijau, dan tujuh yang dapat dilambangkan dengan B1, B2, B3, B4, B5, B6, dan B7 untuk tujuh kelereng biru. P (G) = 5/12.

Terdapat dua metode untuk menentukan probabilitas/Peluang, salah satunya dengan melakukan eskperimen dan mengamati (observasi) hasilnya. Probabilitas yang dihasilkan dari cara ini disebut sebagai probabilitas eksperimental. Sebagai contohnya, jika sebuah koin dilempar 500 kali dan muncul bagian kepala 300 kali, maka probabilitas eksperimental untuk kemunculan bagian kepala dari eksperimen ini adalah 300/500 atau 3/5. Metode kedua untuk menentukan probabilitas adalah berdasarkan pertimbangan-pertimbangan teoritis. Karena alat-alat yang digunakan untuk hasil-hasil acak seperti spinner (putaran), dadu, koin, dan alat lainnya memiliki ketidaksempurnaan (dalam hal ini karena dapat memberikan hasil yang bersifat bias), maka kita akan menggunakan probabilitas teoritis terhadap hasil dari eksperimen yang ideal. Idealnya, sebagai contohnya, spinner yang diperlihatkan pada gambar 8.1 akan berhenti pada salah satu empat warna yang berada di lingkaran. Jadi probabilitas teoritis untuk berhenti di warna biru adalah ¼ . Dari sini, kata probabilitas akan berarti probabilitas teoritis, kecuali jika dinyatakan dalam istilah lain.

Probabilitas untuk memperoleh salah satu bagian (pilihan) secara ekual pada hasil yang berhubungan dengan probabilitas akan didefinisikan sebagai beirkut : Probabilitas dari hasil kemungkinan yang ekual (sama) adalah jika terdapat n yang sama kemungkinannya dengan hasil. Maka probabilitas dari setiap hasil yang keluar adalah 1/n Hasil tidak selalu mungkin sama, seperti yang ditunjukkan pada Contoh B CONTOH B Spinner yang berputar ini akan menghasilkan salah satu dari empat hasil: biru (B), merah (R), hijau (G), atau kuning (Y). Tentukan peluang berikut. 1. P(B) 2. P(G) 3. P(Y) Penyelesaian   1. P(B ) = 1/8 2. P(G) = 1/4 3. P(Y) = 1/2

PELUANG  KEJADIAN Pertimbangan pada percobaan rolling dua dadu biasa. 36 hasil dari peluang ruang sampel ditunjukkan pada Gambar 8.2 pada halaman 523, dan karena setiap hasil peluangnya sama , peluang untuk mendapatkan setiap pasangan diberikan nomor adalah 1/36 . Perhatikan bahwa ada dua hasil yang berbeda untuk roling 1 dan 2: 1 merah dan 2 kuning adalah hasil yang berbeda dari 1 kuning dan 2 merah. Jadi, peluang bergulir sejumlah 2/36 Demikian pula, ada 2/36 peluang bergulir sejumlah 11. Setelah kita tahu ruang sampel lengkap, seperti pada Gambar 8.2, adalah mungkin untuk menjawab pertanyaan yang lebih sulit mengenai lemparan dua dadu.

PROBABILITAS EKSPERIMENTAL DAN TEORITIS Lab mini Ikuti langkah-langkah beirkut ini untuk menentukan seberapa banyak hasil dobel (seperti 3,3 atau 6,6) dapat diperkirakan ketika kita melempar dua buah dadu Langkah 1 : Gunakan tabel untuk membantu anda menemukan angka yang diperkirakan akan muncul ketika kita melempar dua buah dadu sebanyak 36 kali. Angka di kolom atas akan mewakili salah satu angka dadu, sedangkan di kolom samping kiri akan mewakili angka dadu satunya.

Langkah 2 : Gelindingkan dua dadu sebanyak 36 kali. Catatlah angka dobel yang muncul sebanyak berapa kali. Bandingkan jumlah perkiraan anda munculnya angka dobel dengan kemunculan yang sebenarnya? Tulislah probabilitas dari munculnya angka dobel dari penggelindingan dadu sebanyak 36 kali dengan menggunakan perkiraan yang anda buat berdasarkan langkah pertama. Lalu tuliskan probabilitas aktivitas ini dengan menggunakan langkah 2.

Pada aktivitas lab mini di atas, anda telah dapat mengetahui probabilitas teoritis dan probabilitas eksperimental pada eksperimen menggelindingkan dua buah dadu. Probabilitas teoritis adalah probabilitas yang berdasarkan apa yang sepertinya akan terjadi ketika melakukan sebuah eksperimen probabilitas. Ini adalah probabilitas yang anda gunakan sejak pelajaran 9 - 1. Sedangkan probabilitas eksperimental adalah probabilitas yang berdasarkan pada apa yang sebenarnya terjadi (aktualitas) pada eksperimen yang dilakukan. Probabilitas teoritis : 6/36 ---- 6 putaran seharusnya muncul n/36 ---- muncul pada n putaran (yang aktual terjadi) Teori peluang dan percobaan peluang dari sebuah peristiwa (even) mungkin saja dapat bersifat sama dan berbeda. Ketika jumlah eksperimen yang dilakukan meningkat, maka probabilitas teoritis dan probabilitas eksperimental juga akan semakin dekat nilainya.

Menentukan tingkat keadilan (fairness) sebuah permainan Aktivitas matematika 8.2 Menentukan tingkat keadilan (fairness) sebuah permainan Tujuan : bermain dan menganalisa permainan untuk menentukan apakah permainan tersebut fair atau tidak. Material : Sebuah spinner (roda berputar) dan sebuah grid dari website. Untuk spinner dari karton, kita dapat menggunakan klip yang dibengkokkan dan memegang pensil di bagian tengah spinner, seperti pada permainan berikut ini : Permainan balapan (racing game). Tiap pemain secara bergantian akan memutar spinner dua kali dan menghitung hasil dari munculnya angka 2. Jika angka yang ditulis adalah 1,2,3,4 maka pemain A akan menuliskan x pada kotak diatas angka tersebut di grid seperti yang diperlihatkan di bawah ini. Dengan cara yang sama pemain B akan mencatat untuk hasil seperti 6,8,9,12, dan 16. Permainan berkahir ketika salah satu pemain telah membuat sebuah colom x selesai sampai di garis finish dan kedua pemain telah melakukan semua gilirannya. Tiap pemain menerima 1 poin untuk x yang diperolehnya, dan pemenangnya adalah pemain dengan skor terbesar. Mainkan permainan ini untuk membentuk sebuah opini tentang apakah pemain A atau B yang memiliki keuntungan.

Berdasarkan permainan yang dilakukan, apakah permainan terlihat adil bagi kedua pemain? Yang berarti, apakah kedua pemain sepertinya memiliki kesempatan (chance) menang yang sama? Tabel multiplikasi (perkalian) di kiri memperlihatkan bagaimana sebuah hasil dapat muncul. Sebagai contohnya, hasil 12 dapat muncul dalam dua cara, 3 pada putaran pertama dan 4 di putaran kedua; atau sebaliknya. Lengkapi tabel untuk menentukan 16 cara yang memungkinkan sebuah hasil dapat muncul. c. gunakan tabel ini dan berasumsi bahwa tiap hasil adalah memiliki kesempatan yang sama untuk terjadi, dapatkah anda memiliki sebuah kasus dimana salah satu angka akan berhasil mencapai angka finish terlebih dulu? Atau mencapai finish paling terakhir..??? d. berdasarkan tabel ini, apakah ini permainan yang fair? Tulislah sebuah penjelasan untuk mendukung kesimpulan anda

Permainan balapan (racing game). Permainan ini serupa dengan permainan sebelumnya, namun perbedaannya kita menggunakan spinner dengan angka 1-4 untuk memperoleh angka pertama dan spinner angka 1-6 untuk memperoleh angka kedua. Buatlah sebuah papan permainan, dan putuskan hasil manakah yang harusnya digunakan oleh pemain sehingga menghasilkan sebuah permainan yang fair? Tulislah sebuah pendapat yang meyakinkan tentang mengapa anda beranggapan bahwa permainan yang anda lakukan adalah fair.

Bagian 8.2 EKSPERIMEN MULTI-TAHAP Kasus pembuka : buatlah tiga buah kartu dengan ukuran yang sama. Tulis di kedua sisi kartu dengan huruf A, dan kartu kedua dengan huruf B di kedua sisinya dan kartu ketiga dengan huruf A di salah satu sisi dan B di sisi satunya. Pilihlah kartu secara acak, dan letakkan di meja. Terdapat kemungkinan mungkin akan muncul kartu A dan B. Apakah probabilitas dari sisi kartu yang menghadap ke bawah dibandingkan dengan huruf pada kartu yang berada di sisi atas? Para meteorolog menggunakan komputer dan probabilitas untuk menganalisa pola-pola cuaca. Pada saat ini satelit meteorologis telah semakin meningkatkan akurasi dari peramalan (perkiraan) cuaca. Salah satunya adalah dengan menggunakan satelit cuaca NOAA dan mengirimkan foto dari badai yang mendekat. Sebuah perkiraan cuaca umumnya akan mengguanakan term probabilitas dan tiap probabilitas mungkin dapat ditentukan dari beberapa faktor lainnya. Sebagai contohnya, mungkin saja terdapat probabilitas untuk sebuah arah angin dan munculnya cuaca dingin. Dalam bagian ini. Kita akan melihat bagaimana menggunakan probabilitas daru dua atau tiga even untuk menentukan probabilitas dari sejumlah kombinasi peristiwa.

PROBABILITAS DARI EKSPERIMEN MULTI-TAHAPAN. Dalam bagian 8.1 kita telah mempelajari eksperimen-eksperimen satu-tahap seperti memutar spinner, menggelindingkan dadu ataupun melemparkan uang koin. Eksperimen-eksperimen ini menggunakan satu tahapan. Sekarang kita akan mempelajari tentang kombinasi dari sejumlah eksperimen, yang disebut sebagai eksperimen multi-tahapan. Anggaplah kita memutar spinner A dan B seperti pada gambar 8.7. ini adalah contoh dari eksperimen dua-tahap. Prinsip multiplikasi (perkalian) : jika sebuah peristiwa A dapat terjadi dengan cara m maka peristiwa B dapat terjadi dengan cara n , terlepas apapun yang terjadi pada peristiwa A, maka peristiwa A yang diikuti moleh peristriwa B dapat terjadi dengan cara m x n . Perbedaan hasil yang diperoleh dari ekspeirmen multi-tahapan dapat ditentukan dengan membangun sebuah diagram pohon, yang telah kita gunakan pada bab3, sebagai sebuah model untuk perkalian dari bilangan bulat. Karena akan terdapat 3 hasil yang berbeda dari sipnner A dan 2 2 hasil yang berbeda dari spinner B, maka eksperimen dengan menggunakan spinner A dan B akan berarti 3 x 2 = 6 (memiliki 6 hasil, seperti pada gambar 8.8) hal ini menjelaskan generalisasi berikut ini :

Prinsip multiplikasi (perkalian) : jika sebuah peristiwa A dapat terjadi dengan cara m maka peristiwa B dapat terjadi dengan cara n , terlepas apapun yang terjadi pada peristiwa A, maka peristiwa A yang diikuti moleh peristriwa B dapat terjadi dengan cara m x n . Prinsip multiplikasi dapat digeneralisasikan terhadap hasil dengan faktor lebih dari 2. Sebagai contohnya, jika spinner ketiga (atau spinner C) dengan 5 hasil ditambahkan ke gambar 8.7 maka total jumlah hasilnya adalah 3x2x5 = 30 hasil.

Gambar 8. 9 di halaman berikut. menunjukkan peluang untuk memperoleh Gambar 8.9 di halaman berikut menunjukkan peluang untuk memperoleh masing-masing warna dan masing-masing Hasil dari Gambar 8.8. Diagram seperti ini disebut pohon peluang. Peluang masing- masing dari 6 hasil dapat ditentukan dari pohon peluang ini. Sebagai contoh, perhatikan peluang untuk memperoleh BR (biru pada spinner A diikuti oleh merah pada spinner B). Karena biru terjadi 1/4 waktu di Spinner A dan merah terjadi ½ waktu di Spinner B, peluang BR adalah 1/4 x 1/2, atau 1/8. Peluang ini adalah hasil dari dua peluang sepanjang jalur yang mengarah ke BR. Demikian pula, peluang YG (kuning diikuti oleh hijau) adalah ½ x ½ = 1/4 Perhatikan bahwa jumlah dari peluang untuk semua 6 hasil adalah 1. Sifat perkalian : jika A dan B adalah peristiwa yang tidak berhubungan, maka probabilitas dari kedua peristiwa A dan B adalah:

CONTOH D Apakah probabilitas dari menggelindingkan sebuah dadu dan memperoleh angka 4 yang muncul kemudian menggelindingkannya untuk kedua kalinya dan memperoleh sebuah angka genap? Pemecahan : Karena hasil dari penggelindingan yang pertama tidak akan mempengaruhi hasil dari pengelindingan kedua, maka peristiwa ini tidaklah berhubungan, probabilitas untuk mempeorleh angka 4 pada satu kali penggelindingan adalah 1/6 dan probabilitas untuk mempeorleh angka genap adalah ½. Dengan menggunakan sifat perkalian, maka probabilitas dari memperoleh angka 4 dan angka genap adalah : 1/6 x ½ = 1/12

Sifat perkalian membuat kita dapat menghitung probabilitas dari even yang tidak berhubungan (independen) tanpa harus mmebuat sebuah pohon faktor. Sebagai contohnya, bagian atas dari pohon faktor pada gambar 8.10 di halaman 544 memperlihatkan probabilitas untuk memilih 2 kelereng merah dari sebuah kotak yang berisikan 2 kelereng merah dan 1 kelereng hijau. Dalam eksperimen ini, peristiwa A “memperoleh sebuah kelereng merah di pilihan pertama, dan peristiwa B “memperoleh kelereng merah di pilihan kedua” merupakan sebuah even yang independen. Dengan demikian probabilitas A dan B adalah : Terkadang sejumlah peristiwa tidaklah bersifat independen. Pada contoh E, kelereng pertama dipilih dari kotak tidaklah diganti untuk pemilihan kedua. Dalam hal ini even “ memperoleh kelereng merah untuk pilihan pertama” dan peristiwa “memperoleh sebuah kelereng merah di pilihan kedua” tidaklah independen. Ketika salah satu even mempengaruhi probabilitas dari munculnya peristiwa lainnya, maka kedua even tersebut bersifat dependen.

CONTOH E Sebuah kotak berisi 2 kelereng merah (M) dan 1 kelereng hijau (H). Sebuah kelereng dipilih secara acak namun tidak dikembalikan ke kotak, lalu kelereng kedua diambil. Apakah probabilitas dari memilih 2 kelereng merah? Pemecahan : Probabilitas dari mengambil sebuah kelereng merah di pilihan pertama adalah 2/3, jadi tahap pertama dari pohon faktor adalah sama dengan pada gambar 8.10 di halaman 544. Meski demikian, dikarenakan kelereng pertama tidak diganti, maka probabilitas untuk tahapan kedua akan terpengaruh. Jika sebuah kelereng merah dipilih pada pengambilan pertama, maka akan tersisa 1 kelereng merah dan 1 kelereng hijau, jadi probabilitas memilih kelereng merah pada pengambilan kedua adalah ½. Bagian ujung dari pohon akar yang memperlihatkan probabilitas pengambilan 2 kelereng merah dalam kasus ini adalah : 2/3 x ½ = 1/3 Tahap pertama Tahap kedua HASIL Probabilitas

PENGAPLIKASIAN PROBABILITAS DALAM PEMECAHAN MASALAH Sebuah lotere melakukan sebuah penarikan harian dimana 4 bola ping-pong akan dipilih secara acak dari sebuah 10 bola yang berangka 0,1,2....sampai 9. setelah bola dipilih, maka akan dikembalikan untuk pemilihan selanjutnya. Seorang siswa SD memperhatikan bahwa seringkali dua dari 4 digit yang diatrik adalah sama. Apakah probabilitas dari setidaknya dua dari empat digit yang keluar akan bernilai sama? Memahami masalah : kondisi dimana setidaknya dua... akan melibatkan kemungkinan-kemungkinan bahwa mungkin akan terdapat dua digit yang sama ataupun untuk tiga an empat digit yang sama Membuat sebuah rencana : salah satu cara untuk menentukan probabilitas adalah dengan melakukan simulasi menggunakan sebuah tabel angka (digit) acak seperti pada gambar 8.6 (hal 532). Pertanyaan 1 : bagaimana hal ini dapat dilakukan? Melaksanakan rencana : 12 kelompok angka 4 digit pertama (dengan menggunakan urutan digit) yang berasal dari tabel 8.6 akan diperlihatkan disini. Perhatikan bahwa keenam kelompok ini memiliki dua digit yang sama atau lebih. Lanjutkan simulasi ini hingga sampai kolom tabel kelima. Pertanyaan kedua : apakah probabilitas untuk simulasi ini ?

melihat ke belakang : probabilitas teoritis untuk soal ini dapat ditemukan melalui penghitungan probabilitas untuk even komplementer, yaitu probabilitas untuk semua angka empat digit yang berbeda. Setelah digit pertama ditarik, maka probabilitas untuk digit kedua tidak akan sama dengan digit pertama yaitu sebesar 9/10, dimana probabilitas untuk digit ketiga akan bernilai 8/10 dan seterusnya, jadi probabilitas untuk memilih empat digit yang berbeda adalah... Pertanyaan 3 : apakah probabilitas teoritis untuk munculnya dua dari empat digit yang sama?

Jawaban untuk pertanyaan 1-3 : Mulailah dengan digit manapun yang berdaa di tabel dan gunakan dua dari empat digit dalam satu kali waktu, angka dari kelompok dengan dua digit atau lebih aka dibagi dengan total dari angka kelompok merupakan probabilitas dari simulasi ini. Karena 31 dari 62 kelompok dengan empat digit memiliki dua digit yang sama, maka probabilitas eksperimental untuk simulasi ini adalah 31/62 atau 0.5. probabilitas teoritis untuk munculnya setidaknya dua atau empat digit yang sama ketika dilakukan penarikan adalah 1-.504 = .496 atau kurang lebih .5.

Terima Kasih