Review Kalkulus dan Aritmatika Komputer Metode Numerik Review Kalkulus dan Aritmatika Komputer

Pendahuluan Metode Numerik: teknik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan- permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (arithmetic).

Pendahuluan Permasalahan di Bidang IPTEK Persamaan Penyelesaian: Matematis Penyelesaian: Secara analitis (untuk pers. sederhana) Secara numerik (untuk pers. sulit)

Pendahuluan Hasil penyelesaian numerik merupakan nilai perkiraan atau pendekatan dari penyelesaian analitis atau eksak.

Pendahuluan KOMPUTER Hasil:pendekatan dari penyelesaian METODE NUMERIK Hasil:pendekatan dari penyelesaian Analitis (eksak) Terdapat kesalahan (error) terhadap nilai eksak KOMPUTER Dalam proses perhitungannya (algoritma) dilakukan dengan iterasi dalam jumlah yang sangat banyak dan berulang-ulang

Pendahuluan Metode numerik banyak digunakan di berbagai bidang, seperti bidang teknik (sipil, elektro, kimia, dsb), kedokteran, ekonomi, sosial, dan bidang ilmu lainnya. Berbagai masalah yang ada di berbagai disiplin ilmu dapat digambarkan dalam bentuk matematik dari berbagai fenomena yang berpengaruh. Misalnya gerak air dan polutan di saluran, sungai dan laut, aliran udara, perambatan panas, pertumbuhan penduduk, pertumbuhan ekonomi suatu negara, dsb dapat digambarkan dalam bentuk matematik.

Pendahuluan Persamaan aliran panas bidang datar: Persamaan Logistic : Persamaan Logistic (secara iteratif): Untuk itu diperlukan METODE NUMERIK untuk menyelesaikan persamaan permasalahan di atas.

Pendahuluan Penyelesaian secara numeris memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar), artinya dalam penyelesaian numeris terdapat kesalahan terhadap nilai eksak.

Pendahuluan Terdapat tiga macam kesalahan: Kesalahan bawaan: merupakan kesalahan dari nilai data. Misal kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur.

Pendahuluan Kesalahan pembulatan: terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan, artinya nilai perkiraan digunakan untuk menggantikan bilangan eksak. contoh: nilai: 8632574 dapat dibulatkan menjadi 8633000 nilai: 3,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14

Pendahuluan Kesalahan pemotongan: terjadi karena tidak dilakukan hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar. Sebagai contoh suatu proses tak berhingga diganti dengan proses berhingga. Contoh fungsi dalam matematika yang dapat direpresentasikan dalam bentuk deret tak terhingga yaitu:

Review Kalkulus Notasi [a , b] – Interval tutup (a, b) – Interval buka C[a , b] – Himpunan fungsi kontinu bernilai riil pada [a,b] Cn[a,b] – Himpunan fungsi riil yang memiliki turunan kontinu sampai order n pada [a,b]

2.Beberapa Teorema Teorema Rolle Mean Value Theorem f C [a,b], dan f’(x) ada untuk semua a<x<b. Jika f(a)=f(b) =0 , maka ada c, dengan a<c<b, demikian sehingga f’(c)=0 Mean Value Theorem Jika f C [a,b] dan f differentiabel pada (a,b), maka terdapat , a < <b, demikian sehingga

Lanjutan C. Intermediate Value Theorem Jika f C[a,b] dan c sembarang bilangan anatara f(a) dan f(b), maka terdapat , a< <b, demikian sehingga f( )= c D. Generalized Integral Mean Value Theorem Jika f C[a,b] dan g(x) memiliki satu tanda pada [a,b], maka terdapat , a< <b, demikian sehingga

Teorema Taylor (Fungsi satu variabel) Misalkan f Cn[a,b] dan turunan dari f(n+1) ada pada [a,b], dan mis x0 [a,b]. Untuk setiap x [a,b] terdapat diantara x0 dan x demikian sehingga

Error Term

Latihan Tentukan Polinimial Taylor kedua dan ketiga untuk f(x)= sin(x) disekitar x0=0

Representasi Floating Point Ada dua tipe operasi aritmatika yang tersedia di komputer: Aritmatika Integer Bilangan tanpa bagian pecahan Digunakan untuk counting dan indeks Aritmatika Real atau Floating point Aritmatika Real menggunakan bagian pecahan sebagai operan Paling sering digunakan Aritmatika Komputer

Representasi Floating Point Setiap lokasi (dikatakan word) di memori hanya ditempati oleh sejumlah hingga digit Konsekuensinya semua operan pada operasi aritmatika hanya memiliki sejumlah digit yang hingga juga Aritmatika Komputer

Representasi Floating Point Fixed Position untuk desimal Sebuah lokasi memori menempatkan bilangan 2456.24 Maksimum bilangan yang dapat ditempatkan 9999.99 Minimum bilangan yang dapat ditempatkan 0000.01 Aritmatika Komputer

Representasi Floating Point Normalized floating point Bilangan real dinyatakan sebagai kombinasi dari mantissa dan eksponen Mantissa kurang dari 1 dan lebih besar atau sama dengan 0.1 (1/R) Eksponen adalah pangkat 10 dari mantissa Range bilangan adalah .9999 x 1099 sampai .1000 x 10-99 Contoh: 44.85 x 106 direpresentasikan sebagai .4485E8 (E8 = 108) Aritmatika Komputer

Representasi Floating Point Secara Umum 0.d1d2d3…..dk X 10n d1d2d3…..dk Mantissa n Exponent contoh y=1276 ,Fl(y)= + 0.1276 x 104

Chopping dan Rounding y= +0.d1d2d3…..dk dk+1……dn-1 dn X 10k Ch(y)= +0.d1d2d3…..dk X 10k R(y) = +0.d1d2d3…..dkX 10k dk = dk jika dk+1 <5 dk = dk+1 if dk+1 >= 5

Operasi Aritmatika Penjumlahan .4546E5 + .5433E5 = .9979E5 .6434E99 + .4845E99 = overflow Aritmatika Komputer

Operasi Aritmatika Pengurangan .5452E-3 - .9432E-4 = .4509E-3 .5452E-99 - .5424E-99 = underflow Aritmatika Komputer

Operasi Aritmatika Perkalian +.5543E12 X -.4111E-15 = .22787273E-3 = .2278E-3 .1111E10 X .1234E15 = .01370974E25 = .1370E24 .1111E51 X .4444E50 = .04937284E101 = .4937E100 (overflow) .1234E-49 X .1111E-54 = .13707E-104 (underflow) Aritmatika Komputer

Operasi Aritmatika Pembagian .9998E1 : .1000E-99 = 9.9980E100 (overflow) .9998E-5 : .1000E98 = .9998E-104 (underflow) .1000E5 : .9999E3 = .010001E2 = .1000E1 Aritmatika Komputer

Konsekuensi dari normalized floating point Tidak asosiatif 2/3 x 6 = 4 .6667 + .6667 + .6667 + .6667 + .6667 + .6667 = .3997E1 .6667 x 6 = .4000E1 6a = a + a + a + a + a + a tidak benar Aritmatika Komputer

Konsekuensi dari normalized floating point Hukum Asosiatif dan distributif tidak selalu berlaku . Contoh: a = .5665E1, b = .5556E-1, c = .5644E1 (a+b) = .5665E1 + .5556E-1 = .5720E1 (a+b)-c = .5720E1 - .5644E1 = .7600E-1 (a-c) = .5665E1 - .5644E1 = .2100E-1 (a-c)+b = .2100E-1 + .5556E-1 = .7656E-1 Aritmatika Komputer

Konsekuensi dari normalized floating point Contoh: a = .5555E1, b = .4545E1, c = .4535E1 (b-c) = .4545E1 - .4535E1 = .1000E-1 a(b-c) = .5555E1 x .1000E-1 = .5550E-1 ab = .5555E1 x .4545E1 = .2524E2 ac = .5555E1 x .4535E1 = .2519E2 ab-ac = .2524E-2 + .2519E2 = .5000E-1 Aritmatika Komputer

Latihan Dari hasil pengukuran panjang suatu sisi yakni x dan y kira-kira sebesar : x~3,32 dan y~5,39. hitunglah : x + y x + 0,1*y dan x + 0,01*y (dalam 3 digit) Aritmatika Komputer

Latihan x~3,32 = 0,332 x 101 dan y~5,39 = 0,539 x 101 x + y = 0,871 x 101 x + 0,1*y = 0,332 x 101 + 0,054 x 101 = 0,386 x 101 x + 0,01*y = 0,332 x 101 + 0,005 x 101 = 0,337 x 101 Aritmatika Komputer

Latihan: a b c p q r 2.500 5.200 6.200 1.251 2.605 3.152 Diberikan Selesaikan menggunakan: Aritmatika biasa Aritmatika Floating point dengan 4 digit mantissa a b c p q r 2.500 5.200 6.200 1.251 2.605 3.152 Aritmatika Komputer

Representasi Biner dari Bilangan Bilangan 231.45 dapat dinyatakan sebagai: 10 dikatakan sebagai basis atau radix Sistem Biner (basis 2) Contoh: 101.011 = 1x22 + 0x21 + 1x20 + 0x2-1 + 1x2-2 + 1x2-3 = 5.375 Aritmatika Komputer

Representasi Biner Aritmatika Komputer

Representasi Biner Octal Binary 000 4 100 1 001 5 101 2 010 6 110 3 000 4 100 1 001 5 101 2 010 6 110 3 011 7 111 Aritmatika Komputer

Representasi Biner Aritmatika Komputer

Representasi Biner Binary Hexa 0000 1000 8 0001 1 1001 9 0010 2 1010 A 1000 8 0001 1 1001 9 0010 2 1010 A 0011 3 1011 B 0100 4 1100 C 0101 5 1101 D 0110 6 1110 E 0111 7 1111 F Aritmatika Komputer

Representasi Biner Aritmatika Komputer

Error pada Bilangan Tiga tipe error: Dua tipe pengukuran: Error karena keterbatasan representasi bilangan Rounding error Truncation error Dua tipe pengukuran: Pengukuran error absolut: Pengukuran error relatif: Aritmatika Komputer

Contoh: p : Nilai Eksak p*: Nilai Aproksimasi p=3.141592 p*=3.14 ea=|3.141592-3.14|=0.001592 er=ea/|3.141592|=0.000507 p=1,000,000 p*=999,996 ea=4 er=0.000004

3. P=0.000012 p*=0.000009 ea=0.000003 er=0.25 Kesimpulan: Jika |p| semakin jauh dari 1 maka er lebih akurat dibanding ea