Matematika Ekonomi Oleh: Rino Desanto W. 081234678882; 085604015864 rinomdn@yahoo.co.id rinomdn.wordpress.com

PANGKAT Pangkat dari sebuah bilangan adalah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan Contoh: perkalian bilangan 7 sebanyak 5 kali maka dapat ditulis sbb: 75 = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 Fungsi pemangkatan adalah untuk meringkas penulisan bentuk perkalian termasuk perkalian sepuluh yang nilainya sangat besar atau sangat kecil. Misal: bilangan 100.000.000 ditulis 108 bilangan 0,000.000.001 ditulis 10-9 Matematika Ekonomi 16 September 2018

KAIDAH PEMANGKATAN BILANGAN Bilangan bukan 0 berpangkat 0 adalah 1 x0 = 1 (x ≠ 0) contoh: 30 = 1 Bilangan berpangkat 1 adalah bilangan itu sendiri x1 = x contoh: 51 = 1 0 berpangkat bilangan adalah 0 08 = 0 4. Bilangan berpangkat negatif adalah kebalikan pengali bilangan itu sendiri xˉª = 1/xª contoh: 3-2 = 1/32 = 1/9 Matematika Ekonomi 16 September 2018

KAIDAH PEMANGKATAN BILANGAN 5. Bilangan berpangkat pecahan adalah akar dari bilangan itu sendiri dengan suku pembagi dari pecahan xa/b = b√ xa contoh: 32/5 = 5√ 32 = 5√ 9 = 1,55 Bilangan pecahan berpangkat adalah hasil bagi suku-suku berpangkatnya (x/y)a = xa /yb contoh: (3/5)2 = 32/ 52 = 9/25 Bilangan pangkat dipangkatkan adalah bilangan berpangkat hasil kali pangkat-pangkatnya (xa)b = xab contoh: ( 32)4 = 32.4 = 38 = 6561 Matematika Ekonomi 16 September 2018

KAIDAH PERKALIAN BILANGAN BERPANGKAT Hasil kali bilangan berpangkat yang basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat jumlah pangkat-pangkatnya xª . xⁿ = xª+n Contoh: 3²+4 = 36 = 729 2. Hasilkali bilangan berpangkat yang pangkatnya sama dan basisnya berbeda adalah perkalian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan xª . yª = (xy)ª Contoh: 3² . 5² = (3.5)² = 15² = 225 Matematika Ekonomi 16 September 2018

KAIDAH PEMBAGIAN BILANGAN BERPANGKAT Hasil bagi bilangan berpangkat yang basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat selisih pangkat-pangkatnya xª : xⁿ = xªˉⁿ Contoh: 32 : 34 = 32-4 = 3-2 = 1/9 Hasil bagi bilangan berpangkat yang pangkatnya sama dan basisnya berbeda, adalah pembagian basis-basisnya dalam pangkat bersangkutan xª : yª = (x/y)ª Contoh: 32 : 52 = (3/5)2 = 9/25 = 3/5 Matematika Ekonomi 16 September 2018

AKAR Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat. Jika bilangan yang sama (mis:x) dikalikan berulang sejumlah tertentu sebanyak a, maka dapat ditulis xª, dimana x disebut basis dan a disebut pangkat. Jika xª = m maka x dapat juga disebut sebagai akar pangkat a dari m yang ditulis dalam bentuk akar menjadi x = ª√m Matematika Ekonomi 16 September 2018

KAIDAH PENGAKARAN BILANGAN Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya ª√x = x1/a contoh: 3√64 = 641/3 = 4 Akar dari bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiri berpangkat pecahan, dengan pangkat dari bilangan bersangkutan menjadi suku terbagi sedangkan pangkat dari akar menjadi suku pembagi ª√xⁿ = xn/a contoh: 5√32 = 32/5 = 1,55 Matematika Ekonomi 16 September 2018

KAIDAH PENGAKARAN BILANGAN Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari akar-akarnya ª√x y = ª√x . ª√y contoh: 3√8. 64 = 3√8 . 3√64 = 2. 4 = 8 Akar dari sebuah bilangan pecahan adalah pembagian dari akar suku-sukunya ª√x/y = ª√x / ª√y contoh: 3√8/64 = 3√8 / 3√64 = 2/4 = 0,5 Matematika Ekonomi 16 September 2018

KAIDAH PENJUMLAHAN (PENGURANGAN) BILANGAN TERAKAR Bilangan-bilangan terakar hanya dapat ditambahkan dan dikurangkan jika akar-akarnya pangkat dan radikalnya sama Contoh: 5 √3 + 2 √3 = 7 √3 = 7 (1,73) = 12,11 Matematika Ekonomi 16 September 2018

KAIDAH PERKALIAN BILANGAN TERAKAR Hasil kali bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasilkali bilangan-bilangannya. Perkalian dapat dilakukan jika akar- akarnya berpangkat sama ª√z . ª√y = ª√z.y Contoh: ³√8 . ³√64 = ³√8 .64 = ³√512 = 8 Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan bersangkutan, pangkat baru akarnya ialah hasil kali pangkat dari akar-akar sebelumnya Contoh: ²√³√ 15625 = 2.3√15625 = 5 Matematika Ekonomi 16 September 2018

KAIDAH PEMBAGIAN BILANGAN TERAKAR Hasil kali bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasilbagi bilangan-bilangannya. Pembagian dapat dilakukan jika akar- akarnya berpangkat sama ª√z ª z ª√y y Contoh: ³√8 ³ 8 0,5 ³√64 64 Matematika Ekonomi 16 September 2018

LOGARITMA Logaritma merupakan kebalikan dari pemangkatan dan/atau pengakaran, yang dapat digunakan untuk menyederhanakan operasi-operasi perkalian, pembagian pencarian pangkat dan penarikan akar nª = m dimana n adalah basis & a adalah pangkat maka pangkata disebut logaritma dari m terhadap basis n , dituliskan sbb: a = ⁿ log m Contoh: 5² = 25, pangkat 2 adalah logaritma dari 25 terhadap basis 5 atau 5log 25 =2 Matematika Ekonomi 16 September 2018

KAIDAH-KAIDAH LOGARITMA 1. ªlog a =1 sebab a¹ = a Contoh: ³log 3 = 1 2. ªlog 1 = 0 sebab aº = 1 Contoh: ³log 1 = 0 3. ªlog aⁿ = n Contoh: ³log 3² = 2 4. ªlog mⁿ = n. ªlog m Contoh: ³log 27² = 2. ³log 3³ = 2.3.1 = 6 5. ªlog m.n = ªlog m + ªlog n Contoh: ³log 81x27 = ³log 81 + ³log 27 = 4+3 = 7 6. ªlog m/n = ªlog m - ªlog n Contoh: ³log 81/27 = ³log 81 - ³log 27 = 4-3 = 1 7. ªlog n . ⁿlog a = 1 Matematika Ekonomi 16 September 2018

PENYELESAIAN PERSAMAAN DENGAN LOGARITMA Logaritma bisa digunakan untuk mencari bilangan yang belum diketahui dalam sebuah persamaan, khususnya persamaan eksponensial (persamaan dimana bilangan yang dicari berupa pangkat) dan persamaan logaritma (persamaan dimana bilangan yang dicari bilangan logaritma). Contoh: Hitunglah a untuk 3ªˉ¹ = 27 Dengan melog-kan 2 ruas: (x-1) log 3 = log 27 x -1 = log 27/ log 3 =1,4314/0,4771 x = 3 + 1 = 4 Matematika Ekonomi 16 September 2018

HUBUNGAN BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA aⁿ = m ⁿ m = a ªlog m = n Bentuk Bentuk Bentuk Pangkat Akar Logaritma Matematika Ekonomi 16 September 2018

PENERAPAN BANJAR DAN DERET Contoh: Sebuah perusahaan genteng meng-hasilkan 3000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktifitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika per-kembangan produksinya konstan, berapa buah genteng yang dihasilkannya pada bulan kelima ? Berapa buah yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut ? Matematika Ekonomi 16 September 2018

PENERAPAN BANJAR DAN DERET Jawab: Diketahui : deret hitung dengan a=S1=3000, n=5 Ditanya : Berapa S5 dan D5 = ... ? Rumus : Sn = a + (n-1) b Dn = n/2 (a+ Sn) = n/2 {2a + (n-1) b} a. Banyaknya genteng untuk 5 bulan pertama: 3000, 3500, 4000, 4500, 5000 Atau (untuk bulan ke-5): Sn = a + (n-1)b S5 = 3000 + (5-1)500 = 3000 + 4(500) = 3000 + 2000 = 5.000 b. Genteng yang sudah diproduksi sampai bulan kelima: D5 = n/2 (a+Sn) = 5/2(3000+5000) = 20.000 Matematika Ekonomi 16 September 2018

PENERAPAN BANJAR DAN DERET Contoh: Sebuah dealer sepeda motor merek “Rajawali” baru setahun membuka usahanya. Bulan pertama stok persediaan motor 10 unit, pada akhir tahun di evaluasi ternyata rata-rata permintaan sepeda motor sebanyak 7 unit. Berapa jumlah stok persediaan bulan ketujuh ? Berapa unit yang sudah terjual sampai di bulan ke enam ? Jawab : Diketahui deret hitung dengan S1=a= 10 unit Ditanya : a. Berapa S7= .. ? B. Berapa D6= .. ? Matematika Ekonomi 16 September 2018

PENERAPAN BANJAR DAN DERET Rumus : Sn = a + (n-1) b Dn = n/2 (a+ Sn) = n/2 {2a + (n-1) b} a. Stock Persediaan di bulan ke Lima : S7 = a + (n-1) b = 10 + (7-1) 7 = 52 Unit b. Yang terjual sampai bulan ke enam : D6 = n/2 (a+ Sn) = n/2 {2a + (n-1) b} = 6/2 {2(10) + (6-1) 7} = 3 {20 + 35} = 3 {55} = 165 unit. Matematika Ekonomi 16 September 2018

PENERAPAN BANJAR DAN DERET Thomas Robert Malthus menyatakan bahwa pertumbuhan penduduk mengikuti deret ukur, sedangkan pertumbuhan pangan mengikuti deret hitung. Jadi model pertumbuhan penduduk secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut : Pt = Po (1 + r)n-1 Dimana : Pt : Total penduduk pada periode t Po : Jumlah Penduduk tahun awal r : Pertumbuhan penduduk 1 : Konstanta (angka tetap) n : Selisih tahun antara Pt dan Po Matematika Ekonomi 16 September 2018

PENERAPAN BANJAR DAN DERET Contoh: Pada tahun 1990 penduduk Indonesia jumlahnya 179 juta jiwa, tingkat per-tumbuhan penduduk 1,98%. Berapakah jumlah penduduk tahun 2000? Jawab : Pt = Po (1 + r)n-1 = 179.000.000 (1 +1,98/100)9 = 179.000.000 (1 + 0,0198)9 = 179.000.000 (1,0198)9 = 179.000.000 (1,193) = 213.547.000 jiwa Jadi tahun 2000 dengan perhitungan diperkirakan penduduk berjumlah 213.547.000 jiwa. Matematika Ekonomi 16 September 2018

PENERAPAN BANJAR DAN DERET Bunga pinjaman selama setahun atau kurang, sering dihitung dengan cara yang sederhana I = P.r.t Dimana : P : Besarnya Pokok Pinjaman r : Besarnya prosentase bunga pinjaman setahun t : tahun jangka waktu pinjaman. Contoh: Berapa jumlah yang harus dikembalikan oleh seseorang yang meminjam uang sebanyak Rp.2.500,- pada tanggal 5 juni 2002 dan dikembalikan pada tanggal 5 Pebruari 2003 dengan bunga sebesar 14 persen ? Matematika Ekonomi 16 September 2018

PENERAPAN BANJAR DAN DERET Jawab : Mulai tanggal 5 Juni 2002 sampai 5 Pebruari 2003, atau waktu pinjamannya 8/12= 2/3 tahun besarnya bunga pinjaman : Rumus : I = P.r.t = 2500 (0,14) (2/3) = 233,33 Jadi yang harus dikembalikan adalah pokok pinjaman ditambah dengan bunga, yaitu : Rp.2.500,- + Rp233,33,- = Rp.2.733,33,- Matematika Ekonomi 16 September 2018

PENERAPAN BANJAR DAN DERET Berapa jumlah yang harus dicicil perbulan oleh Tukul yang meminjam di koperasi pegawai, jika meminjam uang sebanyak Rp.2.000.000,- pada tanggal 15 juni 2002 dengan bunga tetap 12 persen pertahun selama periode kurun waktu dua tahun. Jawab : I2 = P.r.t = 2.000.000 (0,12) (2) = Rp.480.000,- Total yang harus dicicil adalah pokok ditambah bunga pinjaman selama 2 tahun adalah : Rp.2.000.000,- + Rp.480.000,- = Rp.2.480.000,- Jadi gaji Tukul dipotong perbulan selama 2 thn sebesar : Rp.2.480.000,- / 24 = Rp.103.333,33,- Matematika Ekonomi 16 September 2018

PENERAPAN BANJAR DAN DERET Nilai sekarang atau present value adalah nilai sejumlah uang saat ini dari jumlah yang diperoleh di masa datang, misalkan P adalah nilai sekarang dari uang sebanyak A pada t tahun yang akan datang dan tingkat bunga adalah r maka bunga yang diperoleh dari P rupiah adalah : I = P.r.t dan uang setelah t tahun menjadi : P + P.r.t = P (1+ r.t) Karena A adalah nilai uang sebanyak P pada t tahun mendatang, maka : A = P (1 + r.t) atau P = A (1 + r.t) Matematika Ekonomi 16 September 2018

PENERAPAN BANJAR DAN DERET Contoh: Setahun lagi Angelina akan menerima apel malang sebanyak Rp.1000.000,- berapakah nilai sekarang dari uang tersebut jika suku bunganya 13 persen setahun ? Jawab : Diketahui : A : Rp.1.000.000,- t : setahun dan r = 13 % Ditanya : berapa nilai present valuenya (P) .? Rumus : P = A = 1.000.000,- (1 + r.t) 1 + (0.13) (1) = 1.000.000 = Rp.884.955,75,- 1,13 Matematika Ekonomi 16 September 2018

BUNGA MAJEMUK Adalah bunga selain dikenakan pada pokok pinjaman, juga dikenakan pada bunga yang dihasilkan, sebagai pola banjar ukur dan deret ukur. Bunga tahun pertama : P.i Bunga dan pokok di akhir tahun : P + P.i = P (1+i) Bunga tahun kedua : P (1+i) . i Bunga dan pokok di akhir tahun kedua : P (1+i) + { P (1+i) i } = P + Pi + Pi + Pi2 = P + 2Pi + Pi2 = P (1+i)2 Dalam periode n tahun menjadi : P (1+i)n = Fn Matematika Ekonomi 16 September 2018

BUNGA MAJEMUK Misalkan pembayaran bunga dilakukan dalam m kali setahun (frekwensi pembayaran) pada tingkat bunga i pertahun. Maka tingkat bunga dalam setiap periode adalah : i/m dan jumlah periode bunga seluruhnya yang dibungakan lagi selama n periode adalah n x m dan rumus untuk menghitung seluruh uangnya : Fn = A = P (1 + i/m )n.m Contoh : ada uang sebanyak Rp.1.000,- dibungakan setahun dengan bunga majemuk sebesar 5 persen pertahun dan diambil dalam setahun sekali, maka berapakah jumlah uang tersebut setelah 6 tahun ? Matematika Ekonomi 16 September 2018

BUNGA MAJEMUK Jawab : Diketahui : P = 1000, i = 5% = 0,05, m=1, n=6 Rumus : A = P (1 + i/m )n.m A6 = 1000 (1+ 0.05/1)6x1 = 1000 (1,05)6 = 1000 (1,34) = Rp.1.340,- Suatu modal sebesar M dipinjamkan dengan bunga majemuk, suku bunga ditetapkan sebesar 12% pertahun. Jika penggabung-an bunganya dilakukan triwulan. Tentukan selama 5 tahun a. Periode bunga , b. Frekuensi penggabungan c. Besar suku bunga untuk setiap periode d. Banyaknya periode bunga Matematika Ekonomi 16 September 2018

BUNGA MAJEMUK Jawab : a. Karena 1 triwulan = 3 bulan, maka periode bunga adalah 3 bulan. b. Frekuensi penggabungan = 12/3 = 4 c. Besar suku bunga untuk setiap periode adalah b = (12%)/4 = 3 % d. Banyaknya periode bunga = 5 x 4 = 20. Matematika Ekonomi 16 September 2018

NILAI MASA DATANG DARI ANUITAS Anuitas adalah serangkaian pembayaran yang dibuat secara periodik dan dalam jumlah uang yang tetap atau sama. Dalam anuitas diasumsikan bahwa semua pembayaran dibuat pada akhir periode dengan bunga majemuk. Ilustrasi: Shyntia menabung uangnya sebanyak 1 juta setiap permulaan tahun, dimana bunga 12% per tahun secara majemuk. Berapa jumlah tabungan Nina setelah 4 tahun (akhir tahun ke-3 atau awal tahun ke-4) ? Matematika Ekonomi 16 September 2018

NILAI MASA DATANG DARI ANUITAS Rumus nilai masa datang dari anuitas adalah: Sn = P {(1+ i) n -1 } i Dimana : Sn = nilai di masa datang P = jumlah sekarang i = suku bunga per tahun n = jumlah tahun Matematika Ekonomi 16 September 2018

DANA CADANGAN Dana cadangan disebut juga sebagai sinking fund yaitu dana yang disisihkan (dicadang-kan) untuk pembayaran nilai tertentu dimasa yang akan datang. Misalkan perusahaan menyisihkan sebagian labanya untuk membayar utang sejumlah tertentu . setelah sekian tahun di masa datang. Rumus dana cadangan diperoleh dari rekayasa rumus nilai masa datang dar Matematika Ekonomi 16 September 2018

DANA CADANGAN Dimana : Sn = nilai di masa datang P = jumlah sekarang i = suku bunga per tahun n = jumlah tahun 8. Nilai Sekarang Dari Anuitas Nilai sekarang dari anuitas adalah jumlah dari nilai- nilai sekarang dari setiap periode pembayaran atau penerimaan uang tertentu. Matematika Ekonomi 16 September 2018

DANA CADANGAN Dimana : An = Nilai sekarang dari anuitas P = Jumlah pembayaran per periode i = Tingkat bunga tahunan n = Jumlah periode pembayaran Matematika Ekonomi 16 September 2018

16 September 2018 PENYISIHAN PINJAMAN Untuk dana cadangan pembayaran cicilan hutang secara periodik dilakukan saat ini, agar di masa mendatang akan terlunasi jumlah tertentu utang atau pinjaman; sedangkan penyisihan pinjaman jumlah tertentu utang atau pinjaman sudah diterima saat ini, kemudian dilakukan pembayaran cicilan atau angsuran utang secara periodik. Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

PENYISIHAN PINJAMAN Dimana : An = Nilai sekarang dari anuitas P = Jumlah pembayaran per periode i = Tingkat bunga tahunan n = Jumlah periode pembayaran Matematika Ekonomi 16 September 2018

PENERAPAN FUNGSI LINIER 16 September 2018 PENERAPAN FUNGSI LINIER Fungsi linier sering digunakan untuk menganalisis masalah- masalah ekonomi, sebab banyak masalah-masalah ekonomi dapat disederhanakan atau diterjemahkan dalam yang berbentuk linier, seperti: Fungsi permintaan Fungsi penawaran Keseimbangan pasar satu macam produk Fungsi konsumsi dan tabungan Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

16 September 2018 FUNGSI PERMINTAAN Jumlah produk yang diminta konsumen tergantung pada 5 point: Harga Produk (Pxt) Pendapatan Konsumen ( (Yt) Harga barang yang berhubungan (Pyt) Harga produk yang diharapkan (Pxt) Selera konsumen (St) Fungsi Permintaan umum: Qdx = f (Pxt,Yt,Pyt,Pxt,St) Catatan: Yang dianggap paling penting adalah faktor Harga (Pxt) dan faktor yang lain dianggap konstan (Ceteris Paribus) Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

16 September 2018 FUNGSI PERMINTAAN HUKUM PERMINTAAN “Jika harga suatu produk naik (turun) , maka jumlah produk yang diminta oleh konsumen akan berkurang (bertambah), dengan asumsi variabel lainnya konstan Qx = a – bPx Dimana, Qx = Jumlah produk X yang diminta Px = Harga produk X a dan b = parameter b bertanda negatif, yang berarti kemiringan garis ke arah bawah Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

16 September 2018 FUNGSI PERMINTAAN Contoh: Suatu produk jika harganya Rp. 100 terjual 10 unit, dan jika harganya 75 terjual 20 unit. Tentukan fungsi permintaannya dan grafiknya. P m = y2-y1/x2-x1 = (20-10) / (75-100) = 10/-25 = 2/-5 c = (m * –x1) + y1 = 2/-5 * -100 + 10 = 40+ 10 = 50 Qx = 50 – 2/5 Px 0,125 50,0 Q Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

FUNGSI PERMINTAAN JIKA FUNGSI PERMINTAAN SUATU PRODUK P = 36 - 4Q a). Berapa Harga tertinggi yang dapat dibayar oleh Konsumen atas produk tersebut? b). Berapa Jumlah Yang diminta jika produk tersebut gratis? c). Gambarkan kurva permintaan tersebut! Matematika Ekonomi 16 September 2018

FUNGSI PERMINTAAN KHUSUS 16 September 2018 FUNGSI PERMINTAAN KHUSUS Adalah fungsi permintaan yang mempunyai kemiringan nol atal tak terhingga Kedua fungsi permintaan tersebut adalah fungsi konstan Kemiringan tak terhingga D P Q Kemiringan Nol D P Q Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

Qsx = f (Pxt, Tt, Pft, Prt, Pxt+1) 16 September 2018 FUNGSI PENAWARAN ADALAH HUBUNGAN ANTARA JUMLAH PRODUK YANG DITAWARKAN OLEH PRODUSEN DENGAN VARIABEL 2 LAIN YANG MEMPENGARUHINYA PADA PERIODE TERTENTU 5 VARIABEL UTAMA / HUB DG Q 1. HARGA PRODUK (Pxt) 2. TINGKAT TEKNOLOGI (Tt) 3. HARGA INPUT PRODUKSI YG DIGUNAKAN (Pf,t) 4. HARGA PRODUK YANG BERHUBUNGAN (Pr,t) 5. HARAPAN PRODUSEN PADA HARGA (Pxt+1) Qsx = f (Pxt, Tt, Pft, Prt, Pxt+1) Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

16 September 2018 FUNGSI PENAWARAN FUNGSI PENAWARAN YANG SEDERHANA ADALAH FUNGSI DARI HARGA. (VARIABEL YANG LAIN DIANGGAP KONSTAN. Qsx =f (Px) = a + bPx S -a/b Qs = a+bP P Q Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

FUNGSI PENAWARAN KHUSUS 16 September 2018 FUNGSI PENAWARAN KHUSUS Adalah fungsi penawaran yang mempunyai kemiringan nol atal tak terhingga Kedua fungsi penawaran tersebut adalah fungsi konstan Kemiringan tak terhingga S P Q Kemiringan Nol S Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

16 September 2018 PENAWARAN Kasus: Jika harga produk Rp 500 terjual 60 unit dan jika harga Rp 700 terjual 100 unit Tentukan Fungsi penawaran dan grafiknya P1 = Rp 500 , Q1 = 60 ; P2 = Rp. 700, Q2 = 100 m = Q2 – Q1 / P2-P1 = (100- 60)/(700-500) = 40/200 Q = m X – mX1 + Q1 = 4/20X – 4/20 500 + 60 = 1/5P - 40 P Q=1/5P -40 0,200 Q Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

KESEIMBANGAN PASAR SATU PRODUK 16 September 2018 KESEIMBANGAN PASAR SATU PRODUK Definisi : adalah interaksi fungsi permointaan Q = a – bP dan fungsi penawaran Q = a+ bP, dimana jumlah produk yang diminta konsumen sama dengan jumlah produk yang ditawarkan (Qd=Qs) atau harga produk yang diminta sama dengan harga produk yang ditawarkan (Pd = Ps) Secara aljabar dengan dengan cara simultan, secara geometri dengan perpotongan kurva permintaan dan penawaran Syarat: perpotongan harus di kuadran I Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

KESEIMBANGAN PASAR SATU PRODUK 16 September 2018 KESEIMBANGAN PASAR SATU PRODUK Dimana: Qd = Jlm Produk yg diminta Qs = Jmlh Produk yg ditawar E = Keseimbangan Pasar Qe = Jumlah Keseimbangan Pe = Harga Keseimbangan Q Qd Qe Pe P Qs E(Qe,Pe) Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

KESEIMBANGAN PASAR SATU PRODUK 16 September 2018 KESEIMBANGAN PASAR SATU PRODUK Kasus: Dua buah Fungsi Qd = 6 - 0,75P dan Qs = -5 + 2P Soal : Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar? Buat Gambar keseimbangan tersebut Jawab: Keseimbangan Qd = Qs 6 – 0,75P = -5 + 2P -2,75 P = -11 P = 4 Q = -5 + 2.4 = 3 Jadi Keseimbangan pada (3,4) P Qs=-5+2P) (0,8) E(3,4) Pe (4) (0, 2.5) Qd = 6-0,75P Matematika Ekonomi 16 September 2018 Q Qe(3) (6,0) Matematika Ekonomi

ANALISIS PULANG POKOK (BEP) 16 September 2018 ANALISIS PULANG POKOK (BEP) Menghitung BEP dg Q TR=TC PQ = FC+VQ PQ-VQ = FC Q(P-V) = FC Q = FC / (P-V) BEP adalah kondisi dimana penerimaan total (TR) sama dengan Biaya total (TC), perusahaan tidak untung dan tidak rugi TC = FC + VQ TC = total cost FC = Fixed Cost VQ = Variable Cost total TR = P.Q TR = Total Revenue P = Price Q = Quantity Product Menghitung BEP dg Penerimaan (TR) TR=TC TR = FC+VQ TR –VQ = FC TR – VQ/TR (TR) =FC TR(1 – VQ / TR) = FC TR(1-VQ/PQ) = FC TR = FC / (1- V/P) Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

BEP TR=P.Q BEP RUGI Q Qe UNTUNG TC=FC + VQ Rp FC Matematika Ekonomi 16 September 2018 BEP TR=P.Q TC=FC + VQ BEP Qe Q TR,TC RUGI UNTUNG Rp FC Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

16 September 2018 BEP TR,TC Contoh: Perusahaan mempunyai produk dengan variabel cost Rp. 4.000 per unit. Harga jual per unit Rp.12.000,- Biaya tetap perusahaan Rp. 2.000.000,- Hitung berapa jumlah produk yang harus dijual untuk BEP? Q = FC/(P-V) Q= Rp. 2.000.000 / (Rp.12.000 – Rp. 4.000) = 2.000.0000 / 8.000 = 250 Unit TR=12.000Q TC=2jt + 4000Q BEP 3jt Rp FC=2jt Q 250 Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN 16 September 2018 FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN FUNGSI KONSUMSI PERTAMA KALI DIKENALKAN OLEH AHLI EKONOMI JOHN M. KEYNES. KEYNES BERASUMSI BAHWA FUNGSI KONSUMSI MEMPUNYAI BEBERAPA SIFAT KHUSUS YAITU: KONSUMSI MUTLAK (ABSOLUT) UNTUK MEMPERTAHANKAN HIDUP MESKI PENDAPATAN =0 YANG BERHUBUNGAN DENGAN PENDAPATAN YANG DAPAT DIBELANJAKAN (DISPOSABLE INCOME), C = f(Yd) Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

FUNGSI KONSUMSI Jika pendapatan meningkat, konsumsi juga meningkat, walaupun jumlahnya lebih sedikit. Jika ∆ yd = perubahan kenaikan pendapatan yang siap dibelanjakan dan ∆c = perubahan konsumsi Maka akan bernilai positif Dan kurang dari satu sehingga Proporsi keneikan pendapatan yang siap dibelanjakan untuk konsumsi adalah konstan. Proporsi ini disebut sebagai kecenderungan konsumsi marginal (marginal propensity to cosume = mpc) Matematika Ekonomi 16 September 2018

FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN Berdasarkan empat asumsi diatas maka fungsi konsumsi adalah C = a + bYd Dimana : C = Konsumsi a = Konsumsi dasar tertentu yang tidak tergantung pada pendapatan b = Kecenderungan konsumsi marginal (MPC) Yd = Pendapatan yang dapat dibelanjakan Matematika Ekonomi 16 September 2018

FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN 16 September 2018 FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN Jika fungsi pendapatan y = c + s Subtitusikan persamaan c = a + byd senhingga: Y = (a + byd ) + S S = Y – (a + byd ) S = -a + (1-b)yd Dimana : S = tabungan A = tabungan negatif jika pendapatan = nol (1-b) = kecenderungan menabung marginal (MPS) Yd = pendapatan yang dapat dibelanjakan Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN 16 September 2018 FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN C=Y C C= a + bY E Qe Y C,S RUGI SAVING Rp MPS = (1-b) ; MPC = b MPS = 1 – MPC MPS + MPC = 1 a DISSAVING 450 Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN 16 September 2018 FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN Kasus: Jika Fungsí konsumsi ditunjukan oleh persamaan C = 15 + 0,75 Yd. Pendapatan yang dapat dibelanjakan (disposable income ) ádalah Rp. 30 miliar Berapa nilai konsumsi agregat, bila pendapatan yang dapat dibelanjakan Rp. 30 miliar? Berapa besar keseimbangan pendapatan Nasional? Gambarkan Fungsi Konsumsi dan Tabungan secara bersama- sama! Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN 16 September 2018 FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN Jawab : a). diketahui Yd = Rp. 30 miliar C = 15 + 0,75 Yd C = 15 + 0,75 . 30 = 15 + 22.5 miliar = 37.5 miliar   b). Yd = C + S S = Y – C = Yd – 15 + 0.75 Yd) = -15 + 0,25 Yd c). Keseimbangan Pendapatan S=0 0 = -15+ 0,25 Yd Yd = 60 miliar C = 15 + 0.75 . 60 = 60 miliar Y = C C = 15 + 0.75 Yd S = -15 + 0,25 Yd Y C,S 60 15 60 -15 Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN 16 September 2018 FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN Dimana : Qdx = Jmh yg diminta dari produk X Qdy = Jmh yg diminta dari produk Y Qsx = Jmh yg ditawarkan dari produk X Qsy = Jmh yg ditawarkan dari produk Y Px = Harga Produk X Py = Harga Produk Y a0, b0, m0, n0, = Konstanta Fungsi permintaan dan fungsi penawaran dua macam produk yang saling berhubungan F. Permintaan Qdx = a0 – a1Px + a2Py Qdy = b0 – b1Px + b2Py F. Penawaran Qsx = -m0 + m1Px + m2Py Qsy = n0 + n1Px + n2Py Keseimbangan terjadi jika Qdx = Qsx Qdy = Qsy Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARAN 16 September 2018 FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARAN Contoh: Diketahui Fungsi Permintaan dan Fungsi Penawaran dua macam produk yang berhubungan substitusi sebagai berikut : Qdx = 5 – 2Px + Py Qdy = 6 – Px + Py dan Qsx = - 5 + 4Px -Py Qsy = -4 - Px + 3Py Carilah harga dan jumlah keseimbangan Pasar? Matematika Ekonomi 16 September 2018 Matematika Ekonomi

FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARAN Penyelesaian : Keseimbangan Produk X Qdx = Qsx …… metode Eliminasi Qdx = 5 – 2Px + Py )x1 Qsx = - 5 + 4Px –Py) x1 0 = 10 - 6 Px + 2Py Qdy = Qsy Qdy = 6 + Px –Py Qsy = -4 –Px + 2Py 0 = 10 + 2Px – 4Py Matematika Ekonomi 16 September 2018

FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARAN 0 = 10 - 6 Px + 2Py (x 2) 0 = 10 + 2Px – 4Py (x 1) menjadi 0 = 20 – 12 Px + 4 Py 0 = 10 + 2Px – 4Py 0 = 30 -10 Px Px = 3 2Py = 6Px – 10 2Py = 6 . 3 -10 2Py = 8; Py = 4 Qx = 5 – 2 Px + Py = 5 – 2 . 3 + 4 = 3 Qy = 6 + Px – Py = 6 + 3 – 4 = 5 Jadi Nilai : Qx = 3 Qy = 4 Px = 3 Py + 4 Matematika Ekonomi 16 September 2018

FUNGSI NON LINIER Fungsi linier dapt berupa fungsi kuadrat dan fungsi rasional (fungsi pecah) Gambar dari jari-jari lingkaran fungsi non linier ini bukan suatu garis lurus, melainkan suatu garis lengkung. Fungsi kuadrat disajikan dalam gambar berupa suatu parabola vertikal & horizontal. Fungsi rasional yang gambarnya berbentuk hiperbola, fungsi kubik, lingkaran & elips. Matematika Ekonomi 16 September 2018

FUNGSI KUADRAT y = f (x) = ax2 + bx + c Fungsi Kuadrat adalah Fungsi yang pangkat tertinggi dari variabel adalah dua. Bentuk umum dari fungsi Kuadrat : y = f (x) = ax2 + bx + c dimana : Y = Variabel terikat X=Variabel bebas a, b= koefisien, Dan a ≠ 0 c = konstanta. Matematika Ekonomi 16 September 2018

CARA MENGGAMBAR FUNGSI KUADRAT a. Dengan cara sederhana (curve traicing process) b. Dengan cara matematis (menggunakan ciri-ciri yang penting) Matematika Ekonomi 16 September 2018

CURVE TRAICING PROCESS Yaitu dengan menggunakan tabel x dan y, dimana kita tentukan dulu nilai x sebagai variabel bebas, maka dengan memasukkan beberapa nilai x kita akan memperoleh nilai y. Misalkan y = x2 - 5x + 6 Kemudian kita plotkan masing-masing pasangan titik tersebut. X -1 1 2 3 4 5 6 Y 12 Matematika Ekonomi 16 September 2018

CURVE TRAICING PROCESS Matematika Ekonomi 16 September 2018

CARA MATEMATIS Yaitu dengan menggambarkan ciri-ciri penting dari fungsi kuadrat, diantaranya : 1.Titik potong fungsi dengan sumbu y, pada x=0, maka y=d. Jadi titiknya adalah A(0,d). 2.Titik potong fungsi dengan sumbu x, pada y=0,maka kita harus mencari nilai Diskriminan (D) terlebih dahulu: Nilai diskriminan ini akan menentukan apakah parabola vertikal memotong, menyinggung dan atau tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. Matematika Ekonomi 16 September 2018

CARA MATEMATIS Jika nilai D = b2 – 4ac adalah negatif maka tidak terdapat titik potong pada sumbu x. Jika nilai D = b2 – 4ac adalah positif maka terdapat dua titik potong pada sumbu x. yaitu pada titik : titik : (x1 , 0) dan (x2 , 0) Jika nilai D = b2 – 4ac adalah nol maka terdapat satu titik potong dengan sumbu x. Titik : Matematika Ekonomi 16 September 2018

CARA MATEMATIS 3.Titik puncak, yaitu titik dimana arah dari grafik fungsi kuadrat kembali ke arah semula. Titik puncak : 4.Sumbu simetri adalah sumbu yang membagi/membelah dua grafik fungsi kuadrat tersebut menjadi dua bagian yang sama besar. Sumbu simetri : Matematika Ekonomi 16 September 2018

GRAFIK FUNGSI jadi titiknya B1 (3,0) jadi titiknya B2 (2,0) Gambarkan grafik fungsi y = x2 - 5x + 6. 1.Titik potong fungsi dengan sumbu y, pada x=0, maka y=6. Jadi titiknya adalah A(0,6). 2.Titik potong fungsi dengan sumbu x, pada y=0, D = b2 – 4ac = (-5)2 – 4(1)(6) = 25 – 24 = 1 Karena D=1 > 0, maka terdapat dua buah titik potong dengan sumbu x. jadi titiknya B1 (3,0) jadi titiknya B2 (2,0) Matematika Ekonomi 16 September 2018

GRAFIK FUNGSI 3.Titik puncak : 4. Sumbu simetri : Matematika Ekonomi 16 September 2018

GRAFIK FUNGSI A(0,6) B2 (2,0) B1 (3,0) Matematika Ekonomi 16 September 2018

PERILAKU KONSUMEN Utilitas Marginal(Marginal Utility) diartikan sebagai pertambahan utilitas/kegunaan suatu barang yang diperoleh oleh konsumen karena menambah konsumsinya sebesar satu unit Matematika Ekonomi 16 September 2018

UTILITAS MAKSIMUM Matematika Ekonomi 16 September 2018

UTILITAS MAKSIMUM Matematika Ekonomi 16 September 2018

KOEFISIEN ELASTISITAS Elastisitas Titik (point elasticity) titik A B; B A Secara matematis ed = Elastisitas permintaan ∆Q =Perubahan quantitas ∆P = Perubahan harga Elastisitas Busur (Arc elasticity) busur CD Secara matematis ed = Elastisitas permintaan ∆Q =Perubahan quantitas ∆P = Perubahan harga P P P1 A P1 C B D P2 P2 Q Q1 Q2 Q1 Q2 Q

ELASTISITAS Elastisitas adalah perbandingan perubahan proporsional dari sebuah variabel dengan perubahan variable lainnya. Dengan kata lain, elastisitas mengukur seberapa besar kepekaan atau reaksi konsumen terhadap perubahan harga. Penggunaan paling umum dari konsep elastisitas ini adalah untuk meramalkan apa yang akan terjadi jika harga barang/jasa dinaikkan. Bagi produsen, pengetahuan ini digunakan sebagai pedoman seberapa besar ia harus mengubah harga produknya. Hal ini sangat berkaitan dengan seberapa besar penerimaan penjualan yang akan ia peroleh. 

ELASTISITAS HARGA PERMINTAAN Kecenderungan perubahan permintaan barang X yang disebabkan perubahan harga barang X itu sendiri. Persamaan; Fungsi permintaan; Qdx = 60 -10Px Titik Harga Quantitas A 4 20 B 2 40

HUBUNGAN ELASTISITAS HARGA DENGAN TOTAL REVENUE (TR) P E>1 (elastis) TR = P x Q Misalnya digunakan persamaan permintaan linear; P = a – bQ maka, TR = (a-bQ) x Q = aQ –bQ2 . E=1 (uniter) E<1 (inelastis) Q Harga E>1 E=1 E<1 P TR TR tetap

HUBUNGAN ELASTISITAS HARGA DENGAN TOTAL REVENUE (TR) Kasus: Suatu riset pasar yang dilakukan perusahaan menunjukkan bahwa barang X dirumuskan dalam suatu model permintaan barang X, sebagai berikut: Qdx = 35 -2Px + Py1 -3Py2 + 0,2I Diketahui nilai variabel; Px = 4 ; Py1 = 2 ; Py2 = 3 ; I = 100 Tentukan besarnya elastisitas harga permintaan barang X dan jelaskan nilai koefisien yang diperoleh. Tentukan sifat permintaan barang X dan jelaskan alasan saudara. Perusahaan ingin meningkatkan penerimaan total (TR) melalui kebijakan harga. Apa yang harus dilakukan perusahaan tersebut? Bagaimana kebijakan harga yang seharusnya dilakukan perusahaan? Matematika Ekonomi 16 September 2018

HUBUNGAN ELASTISITAS HARGA DENGAN TOTAL REVENUE (TR) Tentukan elastisitas silang antara barang X dan Y1. jelaskan nilai koefisien elastisitas silang tersebut. Apa hubungan antara barang X terhadap barang Y1. Tentukan elastisitas silang antara barang X dan barang Y2. jelaskan nilai koefisien elastisitas silang tersebut. Apa hubungan antara barang X dan barang Y2. Tentukan elastisitas pendapatan terhadap permintaan barang X. jelaskan nilai koefisien elastisitas pendapatan tersebut. Berdasarkan besarnya elastisitas penghasilan, apa jenis barang X ini. Berikan alasan jawaban saudara. Matematika Ekonomi 16 September 2018

HUBUNGAN ELASTISITAS HARGA DENGAN TOTAL REVENUE (TR) Kasus: Hasil suatu penelitian terhadap perilaku perusahaan dalam menawarkan barang X yang diproduksi dirumuskan dalam suatu persamaan penawaran, sebagai berikut: Qsx = 40 + 5Px – 2Py – 10N Qsx adalah jumlah barang yang ditawarka; Px adalah harga barang X; Py harga Input; dan N adalah banyaknya macam barang pesaing. Tentukan besarnya koefisien elastisitas harga penawaran barang X pada tingkat Px = 4 ; Py = 2 ; dan N = 3. berikan penjelasan dari setiap nilai koefisien elastisitas tersebut. Matematika Ekonomi 16 September 2018

FUNGSI BIAYA Biaya total (total cost) yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan dalam operasi bisnisnya terdiri atas biaya tetap (fixed cost) dan biaya variabel (variable cost). FC : biaya tetap VC : biaya variabel C : biaya total k : konstanta v : lereng kurva VC dan kurva C Matematika Ekonomi 16 September 2018

FUNGSI BIAYA C Diketahui : FC = 20.000 , VC = 100 Q Ditanyakan : Tunjukkan persamaan dan kurva totalnya !!! Berapa biaya total yang dikeluarkan jika diproduksi 500 unit barang ??? Penyelesaian : C = FC + VC  C = 20.000 + 100 Q Jika Q = 500, maka ; C = 20.000 + 100 (500) = 70.000 C Matematika Ekonomi 16 September 2018

FUNGSI PENERIMAAN Penerimaan sebuah perusahaan dari hasil penjualan barangnya merupakan fungsi dari jumlah barang yang terjual atau dihasilkan. Semakin banyak barang yang diproduksi dan terjual, semakin besar pula penerimaannya. Penerimaan total (total revenue) adalah hasil kali jumlah barang yang terjual dengan harga jual per unit barang tersebut. Secara matematik, penerimaan merupakan fungsi jumlah barang, kurvanya berupa garis lurus berlereng positif dan bermula dari titik pangkal. Matematika Ekonomi 16 September 2018

FUNGSI PENERIMAAN Contoh: Harga jual produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan Rp. 200,00 per unit. Tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total perusahaan ini! Berapa besar penerimaannya bila terjual barang sebanyak 350 unit? Penyelesaian : R = Q X P = Q X 200 = 200 Q Bila Q = 350, maka ; R = 200 X 350 = 70.000 Matematika Ekonomi 16 September 2018