Uncertainty Representation (Ketidakpastian)

Dalam kenyataan sehari-hari banyak masalah di dunia ini yang tidak dapat dimodelkan secara lengkap dan konsisten Penambahan fakta baru pada suatu penalaran mengakibatkan ketidakkonsistenan (Penalaran Non Monotonis), dengan ciri-ciri : adanya ketidakpastian adanya perubahan pada pengetahuan 3. adanya penambahan fakta baru dapat mengubah konklusi yang sudah terbentuk

Contoh : Premis-1 : Aljabar pelajaran yang sulit Premis-2 : Geometri pelajaran yang sulit Premis-3 : Kalkulus pelajaran yang sulit Konklusi : Matematika pelajaran yang sulit Jika muncul premis baru : Premis-4 : Optika pelajaran yang sulit Maka konklusi sebelumnya menjadi salah

Ketidakpastian pada penalaran non monotonis dapat diatasi dengan : Penalaran Statistik(Statistical Reasoning) Probabilitas & Teorema Bayes Faktor Kepastian (Certainty Factor) Teori Dempster-Shafer 2. Logika Fuzzy

Probabilitas & Teorema Bayes

Probabilitas: menunjukkan kemungkinan sesuatu akan terjadi atau tidak

Teorema Bayes : dengan : p(Hi|E) = probabilitas hipotesis Hi benar jika diberikan fakta E p(E|Hi) = probabilitas munculnya fakta E, jika diketahui hipotesis Hi benar p(Hi) = probabilitas hipotesis Hi (menurut hasil sebelumnya) tanpa memandang fakta apapun n = jumlah hipotesis yang mungkin

Contoh: Ani mengalami gejala ada bintik-bintik di wajahnya. Dokter menduga Ani kena cacar dengan : p(Bintik2|Cacar) = 0,8 p(Cacar) = 0,4 p(Bintik2|Alergi) = 0,3 p(Alergi) = 0,7

Maka : Probabilitas Ani terkena cacar karena ada bintik-bintik di wajahnya :

Probabilitas Ani terkena alergi karena ada bintik-bintik di wajahnya :

Muncul satu atau lebih fakta baru setelah pengujian hipotesis : dengan : e = fakta lama E = fakta baru p(H|E,e) = probabilitas hipotesis H benar jika muncul fakta baru E dari fakta lama e p(H|E) = probabilitas hipotesis H benar jika diberikan fakta E p(e|E,H) = kaitan antara e dan E jika hipotesis H benar p(e|E) = kaitan antara e dan E tanpa memandang hipotesis apapun

Hubungan Bintik & Panas Terhadap Cacar Contoh: Hubungan Bintik & Panas Terhadap Cacar p(Bintik2, Panas) = 0,6 Bintik2 Panas Cacar p(Cacar|Bintik2) = 0,8 p(Cacar|Panas) = 0,5 p(Bintik2|Panas, Cacar) = 0,4

Maka : Probabilitas sesorang terkena cacar jika badannya panas selain muncul bintik :

Certainty Factor

CF: menunjukkan ukuran kepastian terhadap suatu fakta atau aturan dengan : CF[h,e] = faktor kepastian MB[h,e] = ukuran kepercayaan terhadap hipotesis h, jika diberikan fakta e (antara 0 dan 1) MD[h,e] = ukuran ketidakpercayaan terhadap fakta h, jika diberikan fakta e (antara 0 dan 1)

Kombinasi aturan dalam CF e1 e2 h

Contoh: Ani mengalami gejala ada bintik-bintik di wajahnya. Dokter menduga Ani kena cacar dengan : MB[Cacar,Bintik2] = 0,80 MD[Cacar,Bintik2] = 0,01 Maka :

Observasi baru menunjukkan Ani juga terkena panas badan dengan : MB[Cacar,Panas] = 0,7 MD[Cacar,Panas] = 0,08 Maka :

Kombinasi aturan dalam CF h1 h2

Contoh: Ani mengalami gejala ada bintik-bintik di wajahnya. Dokter menduga Ani kena cacar dengan : MB[Cacar,Bintik2] = 0,80 MD[Cacar,Bintik2] = 0,01 Maka :

Observasi tersebut juga memberikan kepercayaan bahwa Ani mungkin juga terkena alergi dengan : MB[Alergi,Bintik2] = 0,4 MD[Alergi,Bintik2] = 0,3 Maka :

Nilai faktor kepercayaan Ani menderita cacar dan alergi jika muncul gejala bintik-bintik :

Nilai faktor kepercayaan Ani menderita cacar atau alergi jika muncul gejala bintik-bintik :

Kombinasi aturan dalam CF MB’[h,s] = ukuran kepercayaan h berdasarkan keyakinan penuh terhadap validitas s

Contoh: PHK = terjadi PHK Pengangguran = muncul banyak pengangguran Gelandangan = muncul banyak gelandangan

Aturan : /1/ IF terjadi PHK THEN muncul banyak pengangguran (CF[Pengangguran,PHK]=0,9) /2/ IF muncul banyak pengangguran THEN muncul banyak gelandangan (MB[Gelandangan,Pengangguran]=0,7) Maka : MB[Gelandangan,Pengangguran] = (0,7) * (0,9) = 0,63

Teori Dempster-Shafer

Teori Dempster-Shafer : teori matematika untuk pembuktian berdasarkan belief functions (fungsi kepercayaan) dan plausible reasoning (penalaran yang masuk akal) Digunakan untuk mengkombinasikan potongan informasi (fakta) yang terpisah untuk mengkalkulasi kemungkinan dari suatu peristiwa Teori Dempster-Shafer ditulis dalam bentuk interval :

Belief (Bel) : ukuran kekuatan fakta dalam mendukung suatu himpunan proposisi, jangkauan nilai dari 0 (tidak ada fakta) hingga 1 (kepastian) Plausibility (Pl) :

Contoh : Diketahui nilai belief adalah 0,5 dan nilai plausibility adalah 0,8 untuk proposisi “the cat in the box is dead” Bel = 0,5 Fakta yang mendukung proposisi tersebut memiliki nilai kepercayaan sebesar 0,5 Pl = 0,8 Fakta yang melawan proposisi tersebut hanya memiliki nilai kepercayaan sebesar 0,2

Interval berikut menunjukkan level ketidakpastian berdasarkan fakta pada proposisi tersebut : Hypothesis Mass Belief Plausibility Null (neither alive nor dead) Alive 0,2 0,5 Dead 0,8 Either (alive or dead) 0,3 1,0

Pada teori Dempster-Shafer dikenal adanya frame of discernment (θ) yaitu semesta pembicaraan dari sekumpulan hipotesis Contoh : Nilai probabilitas densitas (m) mendefi- nisikan elemen-elemen θ serta semua subsetnya Jika θ berisi n elemen, subset dari θ adalah 2n

Jika θ berisi n elemen, subset dari θ adalah 2n Jumlah semua m dalam subset θ adalah 1 Jika tidak ada informasi untuk memilih hipotesis-hipotesis yang ada maka :

Jika diketahui X adalah subset dari θ dengan m1 sebagai fungsi densitasnya, dan Y juga merupakan subset dari θ dengan m2 sebagai fungsi densitasnya, maka fungsi kombinasi m1 dan m2 :

Contoh : Ada 3 jurusan yang diminati oleh Ali, Teknik Informatika (I), Psikologi (P), atau Hukum (H). Ali mencoba mengikuti beberapa tes ujicoba : Tes logika : m1{I,P} = 0,75 Tes matematika : m2{I} = 0,8 Tentukan probabilitas densitas yang baru untuk {I,P} dan {I}

Aturan kombinasi untuk m3 (0,8) θ (0,2) {I, P} (0,75) (0,60) (0,15) (0,25) (0,20) (0,05)

Di hari berikutnya, Ali mengikuti tes ketiga yaitu tes kewarganegaraan. Hasil tes menunjukkan bahwa probabilitas densitas m4{H} = 0,3 Tentukan probabilitas densitas yang baru untuk {I,P}, {I}, dan {H}

Aturan kombinasi untuk m4 {H} (0,3) θ (0,2) {I} (0,80) Ø (0,240) (0,560) {I,P} (0,15) (0,045) (0,105) (0,05) (0,015) (0,035)