1.2 DINAMIKA PARTIKEL HUKUM-HUKUM TENTANG GERAK APA YANG MEMBUAT BENDA BERGERAK Aristotle : gaya, tarik atau dorong diperlukan untuk menjaga sesuatu bergerak Galileo Galilei : benda bergerak mempunyai ‘kuantitas gerak’ secara intrinsik Issac Newton : konsep massa (m), gaya (F) dan momentum (p) p = m v 9/19/2018 MEKANIKA

HUKUM NEWTON Hukum I : Benda yang bergerak cenderung untuk tetap bergerak, atau tetap diam jika diam. Ketahanan sebuah benda untuk merubah gerakan disebut inersia Hukum II : Laju perubahan momentum suatu benda sama dengan gaya total yang bekerja pada benda tersebut F = dp/dt = m a Hukum III : Setiap aksi selalu ada reaksi sama besar,berlawanan arah 9/19/2018 MEKANIKA

PEMAKAIAN HUKUM NEWTON LANGKAH PENYELESAIAN MASALAH MEKANIKA Identifikasi benda yang menjadi pusat perhatian Gambar gaya-gaya yang bekerja pada benda secara vektor Pilih sistem koordinat pada benda dan proyeksikan gaya-gayanya komponen x : Fx = F cos q = m ax Komponen y : Fy = m ay F sin q + N - mg = m ay N W F m q N W=mg F F cos q F sin q x y 9/19/2018 MEKANIKA

GESEKAN Gaya gesek adalah gaya yang terjadi antara dua permukaan yang bergerak relatif berlawanan F = 0 diam F1 fs fs = F1 Adhesi permukaan fs F2 fs = F2 fs F3 fs = F3 9/19/2018 MEKANIKA

GAYA GESEKAN Gaya gesek yang terjadi selama benda diam disebut gaya gesek statik, yaitu gaya terkecil yang dibutuhkan agar benda mulai bergerak Gaya statik maksimum sebanding dengan gaya normal N yang timbul akibat deformasi elastik benda-benda yang bersinggungan fs  µs N µs = koefisien gesek statik Bila F3 diperbesar sedikit, benda akan bergerak ( F = m a ) Gaya gesek selama benda bergerak disebut gaya gesek kinetik fk fk = µk N µk = koefisien gesek kinetik fk F4 fk < F4 9/19/2018 MEKANIKA

DINAMIKA GERAK MELINGKAR GAYA SENTRIPETAL Suatu partikel bergerak melingkar dengan kecepatan konstan akan mengalami percepatan (sentripetal) a = v2 / r Benda akan bekerja gaya yang arahnya ke pusat disebut gaya sentripetal w T r a 9/19/2018 MEKANIKA

USAHA, TENAGA DAN DAYA USAHA Δx 9/19/2018 USAHA, TENAGA DAN DAYA USAHA Usaha yang dilakukan oleh sebuah gaya konstan Usaha yang dilakukan oleh gaya tidak konstan (gaya pegas) d F q W = F cos q d : skalar W = F . d : vektor Satuan : 1 N / 1 m = 1 Joule = 107 erg 1 eV = 1,60 x 10 -19 Joule Usaha oleh gaya sentripetal dan gaya normal adalah nol ! F(x) x x1 x2 Δx ΔW = F(x) Δx W =  F(x) Δx x2 W = Lim  F(x) Δx =  F(x) dx Δx0 x1 2 dim dan 3 dim ---> dr 9/19/2018 MEKANIKA MEKANIKA

TENAGA KINETIK Gaya yang bekerja pada sebuah benda dengan massa konstan F = m a = m dv/dt Usaha yang dilakukan W = 1/2 m v22 - 1/2 m v12 = K2 - K1 =  K dimana K adalah energi kinetik 3. DAYA Daya dinyatakan sebagai laju kerja yang dilakukan. Jika jumlah kerja w dilakukan dalam waktu t Daya rata-rata P = w / t karena w = F . r, maka daya, maka P = Fv x2 x2 x2 v2 W =  F(x) dx =  m dv/dt dx =  m dx/dt dv =  m v dv x1 x1 x1 v1 9/19/2018 MEKANIKA

KEKEKALAN TENAGA 1. GAYA KONSERVATIF Gaya konservatif adalah gaya yang dapat menerima kembali usaha yang telah dilakukan Misalkan orang yang memanjat tebing, ada usaha yang melawan yaitu gaya gravitasi Gaya non konservatif adalah gaya yang tidak memenuhi kondisi tsb, misalkan gaya gesek ( usaha tidak tergantung pada lintasan) Usaha yang dilakukan : W = F cos  d = - m g h Jika tergelincir : W = F cos  d = m g h Saat tiba dibawah : W = - mgh + mgh = 0 h Dalam lintasan tertutup :  F . dr = 0 9/19/2018 MEKANIKA

2. TENAGA POTENSIAL Usaha yang dilakukan untuk melawan gaya gravitasi disimpan dalam bentuk tenaga potensial  U = - W = -  F . dr W = K  U = - K -------->  U + K = 0 Usaha hanya bergantung pada posisi partikel, maka U + K = Konstan = E (tenaga mekanik kekal/konstan) Contoh : Tenaga Potensial Gravitasi :  U = mgh2 -mgh1, U = mgh Tenaga Potensial Pegas :  U = 1/2 k x22 -1/2 k x12 , U = 1/2 kx2 h1 h2 F = - mg x F = - kx 9/19/2018 MEKANIKA

3. KEKEKALAN TENAGA Bila dalam suatu benda bekerja beberapa gaya, usaha yang dilakukan Wf +  Wc +  Wnc = K dimana : Wf = Usaha oleh adanya gaya gesek (Wf = - Uint )  Wc = Usaha oleh adanya gaya konservatif ( Wc = -  U)  Wnc= Usaha oleh perubahan tenaga bentuk lain ( Wnc = -UL) Tenaga Total Sistem : K +  U + Uint + UL = 0 Tenaga dapat beralih ragam tetapi tidak dapat dimusnahkan/diciptakan Tenaga total sistem selalu konstan. 9/19/2018 MEKANIKA

PUSAT MASSA Pusat massa adalah suatu titik pada benda yang bergerak serupa dengan gerak partikel (translasi, rotasi dan vibrasi) Koordinat Pusat Massa Hukum Newton II : m1 a1 = F1 + F21 m2 a2 = F2 + F12 m1 a1 + m2 a2 = F1 + F2 + F12 + F21 = F1 + F2 = Feks m1 m2 F21 F12 F1 F2 Percepatan efektif m1 a1 + m2 a2 a = —————— m1 + m2 Maka : M apm = Feks m1 x1 + m2 x2 mi xi X =  =  m1 + m2 mi m1 y1 + m2 y2 mi yi Y =  =  m1 + m2 mi 9/19/2018 MEKANIKA

MOMENTUM LINEAR Tinjau sebuah partikel, mempunyai momentum p p = m v ( m = massa; v = kecepatan ) Untuk n partikel, mempunyai momentum total P P = p1 + p2 + ·······+ pn = m1 v1 + m2 v2 + ·······+ mn vn Momentum Total P = M vpm ---> dp/dt = M (dvpm/dt) = M apm = Feks Kekekalan Momentum Linear Jika selang waktu t kecepatan sistem berubah, maka momentum berubah Jika dibagi dengan t dan nilainya cukup kecil p/t = Fex ; p = 0, jika tidak ada gaya luar, momentum sistem kekal p = p1 + p2 = m1 v1 + m2 v2 p’ = p1’ + p2’ = m1 v1’ + m2 v2’ p = p’  p = m1 v1 + m2 v2 9/19/2018 MEKANIKA

IMPULS DAN MOMENTUM Dalam suatu tumbukan antara dua benda akan terjadi gaya impulsif dalam waktu relatif singkat. Dari Hukum Newton II diperoleh F = dp/dt (gaya impulsif tidak konstan) IMPULS Pendekatan bahwa gaya konstan (gaya rata-rata Fr) : I = Fr t = p -------> Fr = I/ t = p / t ‘Impuls sebuah gaya sama dengan perubahan momentum partikel’ t Fr t F(t) tf pf I =  F dt =  dp = p ti pi 9/19/2018 MEKANIKA

KEKEKALAN MOMENTUM Dua partikel saling bertumbukan Perubahan momentum pada partikel 1 : Perubahan momentum pada partikel 2 : ‘Jika tidak ada gaya eksternal, momentum total sistem tidak berubah’ P = p1 + p2 = 0 ------> aksi = reaksi, p1 = – p2 m1 m2 Gaya aksi - reaksi : F21 = - F12 F12 F21 tf p1 =  F12 dt = Fr12 t ti tf p2 =  F21 dt = Fr21 t ti 9/19/2018 MEKANIKA

TUMBUKAN TUMBUKAN ELASTIK : Bila tenaga kinetiknya kekal Dari kekekalan momentum : m1 v1 + m2 v2 = m1 v1’ + m2 v2’ Dari kekekalan tenaga kinetik :  m1v12 +  m2v22 =  m1v1’2 +  m2v2’2 Dan diperoleh : v1 – v2 = v2’ – v1’ ; e = 1 (koefisien elastisitas) TUMBUKAN TIDAK ELASTIK :Bila tenaga kinetiknya tidak kekal v1 – v2  v2’ – v1’ atau v2’ – v1’ e = ——— < 1 ; 0 < e < 1 v1 – v2 Bila setelah tumbukan kedua benda menempel dan bergerak bersama-sama, tumbukannya tidak elastik sempurna, e v1 = v2’ – v1’ ; e = 0 m1 m2 v2 V1’ V2’ v1 9/19/2018 MEKANIKA

TUMBUKAN DUA DIMENSI Hukum kekekalan momentum Komponen gerak arah sumbu X : m1 v1 = m1 v1’ cos q1 + m2 v2’ cos q2 Komponen gerak arah sumbu Y : 0 = m1 v1’ sin q1 - m2 v2’ sin q2 Jika tumbukan elastis/lenting :  m1v12 +  m2 v22 =  m1v1’2 +  m2 v2’2 Y X m1 V1 V1’ V2’ m2 q2 q1 9/19/2018 MEKANIKA

GERAK ROTASI KECEPATAN DAN PERCEPATAN SUDUT Partikel bergerak dari q = 0 ke titik P dan menempuh lintasan sejauh panjang busur s, dimana : s = r q ---> q = s/r Besaran q dalam radian ( 2 rad = 3600 atau 1 rad  57,30 ) Kecepatan sudut rata-rata partikel : Kecepatan sudut sesaat : y Q(t2) P(t1)  x o _ 2 - 1   = --------- = ----- t2 - t1 t  = lim /t = d/dt t  0 9/19/2018 MEKANIKA

Percepatan sudut rata-rata : Jika kecepatan sudut sesaat benda berubah dari 1 ke 2 dalam selang waktu t Percepatan sudut rata-rata : Percepatan sudut sesaat : Catatan : Rotasi benda tegar pada sumbu tetap, mempunyai kecepatan sudut sama dan percepatan sudut yang sama. Arah  dicari dengan aturan arah maju skrup putar kanan, sedangkan arah  sama dengan arah d/dt yang sama dengan  bila dipercepat dan berlawanan dengan arah  bila diperlambat. _ 2 - 1   = --------- = ----- t2 - t1 t  = lim /t = d/dt t  0 9/19/2018 MEKANIKA

Gerak Rotasi dengan percepatan sudut tetap Persamaan gerak rotasi  = o +  t  = o +  ( + o ) t  = o + o t +   t2 2 = o2 + 2  ( - o ) Hubungan kinematika linier dengan kinematika sudut s = r  ; dinyatakan dalam radian v = t aT = r ; percepatan tangensial aR = 2 r ; percepatan radial 9/19/2018 MEKANIKA

Gerak Osilasi Gerak periodik adalah setiap gerak yang berulang dalam selang waktu yang sama. Istilah lain gerak harmonik. Gerak Osilasi adalah gerak periodik yang bergerak bolak-balik melalui lintasan yang sama. Periode T suatu gerak harmonik adalah waktu yang dibutuhkan untuk menempuh satu lintasan penuh (satu putaran). Frekuensi f adalah banyaknya getaran atau putaran tiap satu satuan waktu f = 1/T Partikel bergerak bolak-balik dengan pergeseran x secara periodik dengan kecepatan dan percepatan v dan a yang berubah secara periodik maka gaya yang bekerja pada sembarang titik dapat dinyatakan dengan fungsi tenaga potensial yaitu : F = -dU/dx Gaya ini disebut gaya pemulih karena ia selalu mempercepat partikel kearah titik seimbangnya. Tenaga total partikel yang berosilasi : E = K + U 9/19/2018 MEKANIKA

1. Osilasi Harmonik Sederhana Jika fungsi potensial dinyatakan dengan U(x) = 1/2 kx2, maka gaya pemulihnya adalah F(x) = -kx Partikel yang berosilasi demikian disebut osilator harmonik sederhana. Jika partikel bermassa m dan bergerak dengan kecepatan a maka menurut hukum Newton kedua F = ma = m d2x/dt2 sehingga : d2x/dt2 + (k/m)x = 0 Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah x = A cos (t + ) dengan 2 = k/m. Periodanya : T = 2 (m/k) Frekuensinnya : f = 1/2 (k/m) Kecepatannya : v = - A sin (t + ) Percepatannya : a = - 2A cos (t + ) Energi Potensial : U = 1/2 k A2 cos2 (t + ) Energi Kinetiknya : K = 1/2 k A2 sin2 (t + ) Tenaga Totalnya : E = 1/2 k A2 9/19/2018 MEKANIKA

-kx - b dx/dt = m d2x/dt2 atau 2. Gerak Harmonik Teredam Gerak harmonik teredam terjadi apabila amplitudo osilasi berkurang sedikit demi sedikit sampai akhirnya menjadi nol karena pengaruh gesekan. Persamaannya diberikan : F = ma -kx - b dx/dt = m d2x/dt2 atau m d2x/dt2 + b dx/dt +kx = 0 dengan -b dx/dt = gaya redaman dan b konstanta positif. Solusi dari persamaan tersebut adalah : x = Ae-bt/2m cos (’t + ) 3. Osilasi Paksa dan Resonansi Osilasi paksa terjadi apabila ada gaya eksternal yang mempengaruhi sehingga frekuensi osilasinya merupakan asilasi gaya eksternal bukan osilasi alamiah benda. 9/19/2018 MEKANIKA

m d2x/dt2 + b dx/dt +kx = Fm cos ’’t Persamaannya adalah sebagai berikut : F = ma m d2x/dt2 + b dx/dt +kx = Fm cos ’’t Fm cos ’’t merupakan gaya eksternal Solusinya : x = (Fm/G) sin (’’t - ) dengan G = [m2 (’’2 - 2)2 + b2 ’’2]1/2 dan  = cos-1(b ’’)/G Untuk osilasi teredam ada suatu harga karakteristik frekuensi pemacu ’’ yang memberikan amplitudo osilasi maskimum. Keadaan ini disebut resonansi dan frekuensinya disebut frekuensi resonansi. 9/19/2018 MEKANIKA