T. Yudi Hadiwandra, M.Kom WA: PROBABILITAS DAN STATISTIK Code : h87p4t

Peta Konsep Probabilias Probabilitas 2

Pencacahan : adalah suatu nilai yang menyatakan banyaknya kemungkinan berbeda dari suatu persoalan Contoh: Berapa banyak rute yang dapat ditempuh dari kota S ke kota T, jika diketahui jaringan jalan seperti berikut ? Pencacahan 3 Pencacahan : ada yg memperhatikan urutan (permutasi) ada yg tidak memperhatikan urutan (Kombinasi)

Permutasi 4 Permutasi : Penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Susunan urutan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil seluruhnya atau sebagian. Permutasi memperhatikan urutan, ( AB ≠ BA ) Terdapat beberapa jenis permutasi, yaitu : 1. Permutasi dari n benda yang berlainan 2. Permutasi dari n benda berlainan yang diambil sebanyak k sekaligus 3. Permutasi dengan elemen yang sama 4. Permutasi siklis atau permutasi dari n benda yang disusun secara melingkar 5. Permutasi dengan penyekatan

Permutasi 5 1.Permutasi dari n Benda yang Berlainan Contoh Berapakah permutasi (bentuk urutan) dari 3 kartu huruf A, B, dan C yang nantinya digunakan untuk sebuah kode ? objek=3 berarti ada 3! (3 faktorial) kemungkinan urutan 3! = 1x2x3 = 6 kemungkinan urutan ABC-ACB-BAC-BCA-CAB-CBA

Permutasi 6 2.Permutasi dari n Benda yang Berlainan yang Diambil k Sekaligus Contoh Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka yang berbeda yang dapat disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7? diambil 2 dari 3 = k=2, n=3 maka P(3,2) = 3!/(3-2)! = 6/1 = 6 macam urutan angka

Permutasi 7 3.Permutasi dengan Elemen yang Sama Untuk untai (S) sepanjang (n) yang mengandung satu macam unsur identik sebanyak (k): Contoh Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur, yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak 2 kali. Kedua a tersebut identik. Permutasi dari aabc ? Total permutasi dari untai aabc adalah sebanyak 4! = 24. Total permutasi ini juga mencakup posisi a0 dan a1 yang bertukar-tukar, yang jumlahnya adalah 2! (karena a terdiri dari 2 unsur: a0 dan a1). Dengan demikian jika dianggap a0 = a1 maka banyak permutasi menjadi 4! dibagi dengan 2! = 24/2 = 12 n!/k!

Permutasi 8 4.Permutasi dengan n Benda yang Disusun Secara Melingkar (Siklis) Banyak permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)! Contoh: Dalam sebuah rapat ada 8 orang duduk melingkar. Berapa susunan duduk yang berlainan dalam rapat tersebut ? Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai abcdefgh Jadi Permutasinya: (8-1)! = 7!

Permutasi 9 Contoh: Ada 9 bola lampu disusun seri. Berapa cara menyusun bola lampu tersebut jika 3 diantaranya merah, 4 biru dan 2 hijau ? 5.Permutasi dengan Penyekatan Jika panjang untai adalah n, mengandung m macam unsur yang masing-masing adalah sebanyak k1,k2,...,km, maka:

Permutasi 10 Latihan: Hitunglah banyak permutasi huruf yang mungkin terjadi jika diberikan huruf m,a,t,e,m,a,t,i,k,a ? =?

Kombinasi 11 Kombinasi : adalah penggabungan beberapa objek dari suatu kelompok tanpa memperhatikan urutan. Dengan kata lain, kombinasi adalah pengelompokan beberapa objek tanpa melihat urutan (berbeda dg permutasi yg memperhatikan urutan) Kombinasi dari (n) benda yang berlainan bila diambil sebanyak (r) adalah :

Kombinasi 12 Contoh: Dalam babak penyisihan suatu turnamen sepak bola, ada 4 tim yang satu sama lain akan bertanding satu kali. Banyaknya pertandingan yang terjadi adalah ? Untuk menentukan banyaknya pertandingan yang terjadi digunakan kombinasi, karena tidak melihat urutannya lagi n = 4 pertandingan r = 2 tim dlm 1 pertandingan

Tugas 13

Tugas 14

Tugas 15

16 Probabilitas atau Peluang : merupakan suatu ukuran tentang seberapa sering suatu peristiwa itu akan terjadi (utk memprediksi suatu kejadian) Semakin besar nilai probabilitas maka peristiwa itu akan sering terjadi Cara menghitung peluang adalah dengan mencari ruang sampel kejadian yang diinginkan, lalu dibagi dengan ruang sampel total dari suatu kejadian. (teori ruang sampel harus dikuasai terlebih dahulu) Peluang bisa dinyatakan dalam perbandingan, bisa dinyatakan dalam prosentase Probabilitas

Ruang Sampel (S) : adalah kumpulan semua even (kejadian) atau himpunan dari semua outcome yang mungkin dari suatu eksperimen random Sample Point (titik sampel): adalah Suatu elemen/unsur/ anggota yg terdapat pada Ruang sampel (S) Ruang sampel Diskrit, apabila titik sampel (sample point) dapat disusun menurut barisan sederhana (deret hitung). Contoh: Percobaan pelemparan uang koin Ruang sampel Kontinyu, apabila titik sampel (sample point) tidak dapat disusun menurut barisan sederhana (bukan deret hitung). Contoh: Percobaan mengukur Tinggi Badan (bukan deret hitung krn mengandung angka desimal) Ruang Sampel 17

18 Contoh Ruang Sampel Eksperimen melempar 2 buah mata uang koin (dua buah koin yang dilempar sekaligus), maka ruang sampelnya: S = { GG, GA, AG, AA} Eksperimen pelemparan sepasang dadu merah dan hijau, maka ruang sampelnya: S = {(x,y) | x = 1, 2, …, 6 ; y = 1, 2, …,6 } Eksperimen mengukur berat badan seseorang yang beratnya antara 45,5 dan 50,5, maka ruang sampelnya: S = { x | 45,5 < x < 50,5 } Ruang Sampel

19 Pelemparan 2 Keping Koin

Rumus umum Teori Peluang: Probabilitas 20 Besarnya peluang suatu peristiwa A terjadi, yang merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S dimana setiap peristiwa didalamnya memiliki peluang yang sama untuk terjadi

Contoh: Probabilitas 21 Hitunglah peluang memperoleh kartu hati bila sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge ? Banyaknya kemungkinan percobaan adalah 52, dan 13 diantaranya adalah hati. Maka peluang memperoleh kartu hati adalah P(A) = 13/52 = 1/4

Latihan: Probabilitas 22

Aturan Dasar Probabilitas 23 Beberapa kombinasi dari kejadian dalam sebuah eksperimen dapat dihitung probabilitasnya berdasarkan dua aturan, yaitu 1.Aturan Penjumlahan –Kejadian Saling Meniadakan (Saling Lepas) –Kejadian Tidak Saling Meniadakan 2.Aturan Perkalian –Kejadian Bebas –Kejadian Tak Bebas (Bersyarat)

Aturan Penjumlahan 24 1.Kejadian saling meniadakan: adalah kejadian dimana jika sebuah kejadian terjadi, maka kejadian yang lain tidak mungkin terjadi secara bersamaan. –Jika A telah terjadi, maka kejadian B tidak akan terjadi

25  Contoh Pada pelemparan dua buah dadu bersamaan. Tentukan peluang munculnya dadu berjumlah 4 atau 8.  Jawaban P(A) = peluang munculnya dadu berjumlah 4 4  (1,3) (2,2),(3,1) P(B) = peluang munculnya dadu berjumlah 8 8  (2,6)(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) S  6 * 6 = 36 P(A atau B) = P(A) + P(B) P(A atau B) = Aturan Penjumlahan

26 Aturan Penjumlahan

27 Aturan Penjumlahan 2.Kejadian tidak saling meniadakan: adalah Dua kejadian yang saling berkaitan (beririsan) dan mungkin terjadi bersamaan (disebut sebagai Joint Probability). –Jika A telah terjadi, maka kejadian B mungkin juga akan terjadi. Hal ini menyatakan, kemungkinan bahwa kejadian A dan B bisa terjadi bersamaan, dalam hal kejadian yang tidak saling meniadakan P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B) atau

28 Aturan Penjumlahan  Contoh Berapa probabilitas bahwa sebuah kartu yang dipilih secara acak dari satu set kartu yang berisi 52 kartu adalah kartu bergambar raja atau bergambar hati?  Jawaban Kartu bergambar raja, n(A) = 4; Kartu bergambar hati, n(B) = 13 Kartu bergambar raja dan hati, n(A ∩ B) = 1

29 Aturan Perkalian 1.Kejadian bebas: adalah apabila terjadinya dua kejadian atau lebih yang tidak saling mempengaruhi. –jika munculnya kejadian A tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian B. Untuk A dan B saling bebas, peluang bahwa A dan B terjadi bersamaan adalah:

30 Aturan Perkalian Contoh : Pada percobaan pelemparan dua buah dadu, tentukan peluang munculnya angka genap pada dadu pertama dan angka ganjil prima pada dadu kedua! Jawab: Karena kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B, maka keduanya disebut kejadian bebas, sehingga peluang munculnya kejadian A dan B adalah :

31 Aturan Perkalian 2.Kejadian bersyarat: adalah apabila terjadinya kejadian A jika kejadian B sudah terjadi atau akan terjadi. –jika munculnya kejadian A mempengaruhi peluang munculnya kejadian B atau sebaliknya. P(A/B) = probabilitas A terjadi jika B terjadi P(B/A) = probabilitas B terjadi jika A terjadi

32 Aturan Perkalian Contoh: Dua dadu dilempar sekali. Jika A = {x : x < 5} dan B = {x : x bilangan ganjil}. Hitunglah P(A/B) dan P(B/A). Jawab: S = 36 A = 4 (1, 2, 3, 4) B = 3 (1, 3, 5) A ∩ B = 2 -> (1, 3) P (A/B) = P (A ∩ B) / P (B) = (2/36) / (3/36) = 2/36 * 36/3 = 2 / 3 = 0,66 P (B/A) = P (A ∩ B) / P (A) = (2/36) / (4/36) = 2/36 * 36/4 = 2/4 = 0,5

33 Aturan Perkalian Contoh 2:

34 Probabilitas Interseksi Kejadian bersyarat interseksi: adalah apabila terjadinya kejadian A mempengaruhi peluang kejadian B yang akan terjadi. –jika hasil kejadian A mempengaruhi peluang munculnya kejadian B atau sebaliknya.

35 Contoh : Pengambilan 2 kartu berturut-turut dari satu set kartu bridge. Berapa probabilitasnya bahwa pengambilan kartu pertama As, yang kedua juga kartu As. Hasil pengambilan pertama tidak dikembalikan lagi. Hasil pengambilan kedua dipengaruhi oleh hasil pengambilan pertama Jawab: S = 52, A = 4, dan B/ A = (4-1)=3, S = 51 Probabilitas Interseksi

Probabilitas Marginal 36 Probabilitas marjinal : menyatakan bahwa suatu kejadian yang terjadi bersamaan dengan kejadian lainnya, dimana kejadian lainnya tersebut mempengaruhi terjadinya kejadian yang pertama

37 Contoh Suatu universitas mempunyai 1000 mahasiswa yang terdiri dari 4 fakultas, yaitu FE = 400, FH = 200, FT = 150, FK = 250 Dari jumlah tersebut terdapat anggota menwa, dengan rincian sebagai berikut FE = 200, FH = 50, FT = 25, FK = 150 Berapa probabilitas bahwa mahasiswa tersebut seorang anggota menwa jika suatu saat bertemu salah seorang mahasiswa? Jawab: Probabilitas Marginal

38 Jawab: Probabilitas Marginal

Sekian 39