KULIAH KE SEMBILAN Elementary Statistics Eleventh Edition and the Triola Statistics Series by Mario F. Triola

Chapter 8 Hypothesis Testing 8-1 Review and Preview 8-2 Basics of Hypothesis Testing 8-3 Testing a Claim about a Proportion 8-4 Testing a Claim About a Mean: σ Known 8-5 Testing a Claim About a Mean: σ Not Known 8-6 Testing a Claim About a Standard Deviation or Variance

REVIEW Dalam Bab 2 dan 3 tentang "statistik deskriptif" telah dibahas tentang data menggunakan alat seperti grafik, dan statistik seperti mean dan deviasi standar. Metode statistik inferensial menggunakan data sampel untuk membuat kesimpulan atau kesimpulan tentang populasi. Dua kegiatan utama statistik inferensial menggunakan data sampel untuk : (1) memperkirakan parameter populasi (seperti estimasi parameter populasi dengan interval kepercayaan), dan menguji hipotesis atau klaim tentang parameter populasi. Dalam Bab 7 disajikan metode untuk memperkirakan parameter populasi dengan interval kepercayaan, dan dalam bab ini kami menyajikan metode pengujian hipotesis.

Definitions Dalam statistik, hipotesis adalah pernyataan tentang kelengkapan dari populasi. Sebuah uji hipotesis (atau uji signifikansi) adalah prosedur standar untuk menguji klaim tentang properti dari populasi. page 386 of Elementary Statistics, 10th Edition Various examples are provided below definition box

Main Objective Tujuan utama dari bab ini adalah : mengembangkan kemampuan untuk melakukan tes hipotesis untuk pernyataan tentang proporsi populasi p, mean populasi , atau deviasi standar populasi . page 386 of Elementary Statistics, 10th Edition Various examples are provided below definition box

Examples of Hypotheses that can be Tested Genetika: The Genetika & IVF Institute menyatakan bahwa metode xSORT yang memungkinkan pasangan untuk meningkatkan kemungkinan memiliki bayi perempuan. Bisnis: Sebuah headline koran membuat pernyataan bahwa sebagian besar pekerja mendapatkan pekerjaan mereka melalui jaringan. Pengobatan: Peneliti medis menyatakan bahwa ketika orang-orang menderita flu diobati dengan echinacea, pengobatan tidak berpengaruh. page 386 of Elementary Statistics, 10th Edition Various examples are provided below definition box

Examples of Hypotheses that can be Tested Keselamatan Penerbangan: Federal Aviation Administration menyatakan bahwa berat rata-rata penumpang maskapai penerbangan (termasuk barang di bagasi) lebih besar dari 185 lb, yang itu 20 tahun yang lalu. Quality Control: Ketika peralatan baru digunakan untuk memproduksi altimeter pesawat, altimeter baru lebih baik karena variasi dalam kesalahan berkurang sehingga pembacaan yang lebih konsisten. page 386 of Elementary Statistics, 10th Edition Various examples are provided below definition box

Caution Ketika melakukan tes hipotesis seperti yang dijelaskan dalam bab ini dan bab-bab berikutnya, bukannya melompat langsung ke prosedur dan perhitungan, tapi pastikan untuk mempertimbangkan konteks data, sumber data, dan metode sampling yang digunakan untuk mendapatkan data sampel. page 386 of Elementary Statistics, 10th Edition Various examples are provided below definition box

Basics of Hypothesis Testing Section 8-2 Basics of Hypothesis Testing

Key Concept Bagian ini menyajikan komponen individual dari uji hipotesis. Kita harus mengetahui dan memahami hal berikut: Bagaimana mengidentifikasi hipotesis nol dan hipotesis alternatif dari klaim yang diberikan, dan bagaimana mengekspresikan baik dalam bentuk simbolik Bagaimana menghitung nilai statistik uji, mengingat klaim dan data sampel Bagaimana mengidentifikasi nilai kritis (s), mengingat tingkat signifikansi Bagaimana mengidentifikasi P-nilai, diberi nilai statistik uji Bagaimana untuk menyatakan kesimpulan tentang klaim secara sederhana dan non-teknis

The Basics of Hypothesis Testing Part 1: The Basics of Hypothesis Testing

Aturan yang jarang dalam Inferensial Statistik Jika asumsi yang diberikan kemungkinan peristiwa yang diamati tertentu ini sangat kecil, kita menyimpulkan bahwa asumsi tersebut mungkin tidak benar Introduce the word ‘significant’ in regard to hypothesis testing.

Components of a Formal Hypothesis Test

Null Hypothesis: H0 Hipotesis nol (dilambangkan dengan H0) adalah pernyataan bahwa nilai parameter populasi (seperti proporsi, rata-rata, atau deviasi standar) adalah sama dengan pernyataan beberapa nilai yang dimaksud.  Pengujian hipotesis nol dapat menolak atau menerima. Emphasize “equal to”.

Alternative Hypothesis: H1 Hipotesis alternatif (dilambangkan dengan H1 atau HA) adalah pernyataan bahwa parameter memiliki nilai yang berbeda dari hipotesis nol. Bentuk simbolis hipotesis alternatif harus menggunakan salah satu simbol ini: < , > , ǂ Give examples of different ways to word “not equal to,” < and >, such as ‘is different from’, ‘fewer than’, ‘more than’, etc.

Note about Forming Your Own Claims (Hypotheses) Jika sedang melakukan studi dan ingin menggunakan uji hipotesis untuk mendukung pernyataan maka pernyataan harus jelas sehingga memiliki hipotesis alternatif. By examining the flowchart for the Wording of the Final Conclusion, Figure 8-7, page 403 of Elementary Statistics, 11th Edition, this requirement for support of a statement becomes clear.

Note about Identifying H0 and H1 Figure 8-2

Example: Mempertimbangkan pernyataan bahwa berat rata-rata penumpang maskapai (termasuk barang di bagasi) adalah paling banyak 195 lb (nilai saat ini digunakan oleh Federal Aviation Administration). Ikuti prosedur tiga langkah yang diuraikan dalam Gambar 8-2 untuk mengidentifikasi hipotesis nol dan hipotesis alternatif.

Example: Langkah 1: Ekspresikan pernyataan yang diberikan dalam bentuk simbolis. Pernyataan bahwa rata-rata adalah paling banyak 195 lb dinyatakan dalam bentuk simbolik sebagai X ≤ 195 lb Langkah 2: Jika X ≤ 195 lb adalah salah , maka X > 195 lb harus benar.

Example: Langkah 3: Dari dua ekspresi simbolik X ≤ 195 lb dan X > 195 lb, tampak bahwa X > 195 lb tidak mengandung kesetaraan, jadi biarkan hipotesis H1 alternatif menjadi X > 195 lb Juga, hipotesis nol harus pernyataan bahwa mean sama dengan 195 lb, jadi biarkan H0 menjadi X = 195 lb.

Test Statistic Uji statistik adalah nilai yang digunakan dalam membuat keputusan tentang hipotesis nol, dan ditemukan dengan mengubah sampel statistik untuk skor dengan asumsi bahwa hipotesis nol benar.

Test Statistic - Formulas Test statistic for proportion Test statistic for mean Test statistic for standard deviation

PENGUJIAN HIPOTESIS

Pengujian Hipotesis adalah suatu prosedur yang akan menghasilkan suatu keputusan yakni menerima atau menolak hipotesis itu. Prosedur Pengujian Hipotesis : Langkah 1 : Menentukan formulasi hipotesis nol ( Ho) dan hipotesis alternatif ( Hi). Hipotesis nol adalah hipotesis yang dirumuskan sebagai suatu pernyataan yang akan diuji. Hipotesis alternatif , merupakan hipotesis yang dirumuskan sebagai lawan atau tandingan dari hipotesis nol.

Langkah 2 : Memilih suatu taraf nyata ( α ) dan menentukan nilai tabel Langkah 2 : Memilih suatu taraf nyata ( α ) dan menentukan nilai tabel. Taraf nyata adalah besarnya batas toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis terhadap nilai parameter populasinya. Contoh : α = 5 % , maka Z ₀‚₀₅ = …. (tabel) Langkah 3 : Membuat kriteria pengujian berupa Penerimaan atau Penolakan Ho, dengan membandingkan nilai α tabel dengan nilai uji statistik nya. Langkah 4 : Melakukan uji statistik langkah 5 : Membuat kesimpulan dalam hal menerima atau menolak Ho

1. PENGUJIAN HIPOTESIS SATU RATA RATA A 1.PENGUJIAN HIPOTESIS SATU RATA RATA A.Untuk sampel besar ( n > 30 ) 1.Formula hipotesis: a. Ho : μ = μ₀ b. Ho : μ = μ₀ c. Ho : μ = μ₀ Hi : μ > μ₀ Hi : μ < μ₀ Hi : μ ‡ μ₀ 2.Menentukan nilai dari Z α ( tabel ) 3.Kriteria Pengujian : A.Untuk Ho : μ = μ₀ dan Hi : μ > μ₀ 1. Ho diterima jika Z₀ ≤ Zα 2. Ho ditolak jika Z₀ > Zα B.Untuk Ho : μ = μ₀ dan Hi : μ < μ₀ 1.Ho diterima jika Z₀ ≥ - Zα 2. Ho ditolak jika Z ₀ < - Zα C .Untuk Ho : μ = μ₀ dan Hi : μ ‡ μ₀ 1. Ho diterima jika - Zα/₂ ≤ Z₀ ≤ Zα/₂ 2. Ho ditolak jika Z₀ > Zα/₂ atau Z₀ < - Zα/₂

4. Uji Statistik. a.Jika simpangan baku diketahui Z₀ = (Ẍ - μ₀ ) : (σ / Vn ) b.Jika simpangan baku tidak diketahui . Z₀ = ( Ẍ - μ₀) : ( s / Vn ) Dimana : s = ATAU: 5.Kesimpulan tentang Penerimaan atau Penolakan sesuai kriteria V ∑ X²/n-1 - (∑X)²/n(n-1)

Contoh Soal : * Pimpinan bagian pengendalian mutu barang pabrik susu “SEHAT” , ingin mengetahui apakah rata rata berat bersih satu kaleng susu bubuk yang diproduksi dan dipasarkan masih tetap 400 gram atau sudah lebih kecil dari itu . Dari data sebelumnya diketahui bahwa simpangan baku bersih per kaleng 125 gram.Dari sampel 50 kaleng yang diteliti. Dapatkah diterima bahwa berat bersih rata rata yang dipasarkan tetap 375 gran ? Jika taraf nyata adalah 5 %. Jawab : n = 50 ; Ẍ = 375 ; σ = 125 ; μ₀ = 400 a.Formulasi hipotesis : Ho : μ = 400 Hi : μ < 400 b.Taraf Nyata : α = 5 % = 0,05 ; Zα = 1,64 c.Kriteria Pengujian : Ho diterima , jika Z₀ ≥ - 1,64 Ho ditolak , jika Z₀ < - 1,64 d.Uji Statistik : Z₀ = (375 – 400) : (125 / V50 ) = - 1,42 e.Kesimpulan : Karena Z₀ ≥ Zα , maka Ho diterima. Artinya,berat bersih rata rata susu Sehat per kaleng sama dengan 400 gram.

Contoh Soal. * Sebuah sampel random 150 catatan kematian negara X,selama tahun lalu menunjukkan umur rata rata 61,8 tahun, dengan simpangan baku 7,9 tahun. Apakah itu menunjukkan bahwa harapan umur sekarang rata rata adalah 60 tahun ? Gunakan taraf nyata 5 %.

1. PENGUJIAN HIPOTESIS SATU RATA RATA A 1.PENGUJIAN HIPOTESIS SATU RATA RATA A.Untuk sampel kecil ( n ≤ 30 ) 1.Formula hipotesis: a. Ho : μ = μ₀ b. Ho : μ = μ₀ c. Ho : μ = μ₀ Hi : μ > μ₀ Hi : μ < μ₀ Hi : μ ‡ μ₀ 2.Menentukan nilai dari tα/₂ dengan derajat bebas n - 1 3.Kriteria Pengujian : A.Untuk Ho : μ = μ₀ dan Hi : μ > μ₀ 1. Ho diterima jika t₀ ≤ tα 2. Ho ditolak jika t₀ > tα B.Untuk Ho : μ = μ₀ dan Hi : μ < μ₀ 1.Ho diterima jika t₀ ≥ - tα 2. Ho ditolak jika t ₀ < - tα C .Untuk Ho : μ = μ₀ dan Hi : μ ‡ μ₀ 1. Ho diterima jika - tα/₂ ≤ t₀ ≤ tα/₂ 2. Ho ditolak jika t₀ > tα/₂ atau t₀ < - tα/₂

Contoh Soal . * Sebuah sampel terdiri atas 15 kaleng cat, memiliki isi berat kotor sebagai berikut ( Kg/kaleng) : 1,21 1,21 1,23 1,20 1,21 1,24 1,22 1,2 4 1,21 1,19 1,19 1,18 1,19 1,23 1,18 Jika digunakan taraf nyata 1 % , dapatkah kita meyakini bahwa berat cat dalam kaleng rata rata 1,2 kg/kaleng. ( dengan alternatif : tidak sama dengan). Berikan evalusinya. Jawab : n = 15 ; α = 1 % = 0,01 ; μ₀ = 1,2 ∑ X = 18,13 ; ∑X² = 21,92 ; Ẍ = 18,13/ 15 = 1,208 s = V 21,91/14 - (18,13)²/ 210 = 0,02 a.Formulasi hipotesis : Ho : μ = 1,2 Hi : μ ǂ 1,2 b.Taraf Nyata dengan tabel t α = 1 % = 0,01 ; α₂ = 0,005 , pada baris (db) ke 15 – 1 = 14 t ₀,₀₀5-14 = 2,977

c.Kriteria Pengujian Ho diterima , jika - 2,977 ≤ t₀ ≤ 2,977 Ho ditolak ,jika t ₀ > 2,977 atau t₀ < - 2,977 d.Uji Statistik. t₀ = (1,208 – 1,2 ) : ( 0,02 /V15 ) = 1,52 e.karena : - 2,977 ≤ 1,52 ≤ 2,977 , maka Ho diterima. Jadi berat cat dalam kaleng secara rata rata berisi 1,2 kg.

Latihan Soal : 1. Ujilah hipotesis bahwa isi kaleng rata rata suatu jenis minyak pelumas adalah 10 liter, dengan alternatif lebih besar, bila suatu sampel random kaleng adalah : 10,2 ; 9,7 ; 9,8 ; 9,9 ; 10,4 ; 10,3 ; 9,8 dan 10,3 liter.Gunakan taraf nyata 5 %. 2.manager perbankan yang bertanggungjawab tentang pemberian kredit, beranggapan bahwa rata rata modal perusahaan adalah Rp.100 juta , dengan alternatif lebih besar dari itu.Untuk menguji anggapan itu dipilih sampel acak sebanyak 81 perusahaan dan ternyata rata rata modalnya Rp.105 juta dengan simpangan baku sebesar Rp.18 juta.Dengan taraf nyata α = 0,01, Ujilah anggapan itu.

1. PENGUJIAN HIPOTESIS SATU PROPORSI Prosedur Pengujiannya : 1 1.PENGUJIAN HIPOTESIS SATU PROPORSI Prosedur Pengujiannya : 1.Formula hipotesis: a. Ho : p = p₀ b. Ho : p = p₀ c. Ho : p = p₀ Hi : p > p₀ Hi : p < p₀ Hi : p ‡ p₀ 2.Menentukan nilai dari Zα atau Zα/₂ dengan derajat bebas n - 1 3.Kriteria Pengujian : A.Untuk Ho : p = p₀ dan Hi : p > p₀ 1. Ho diterima jika Z₀ ≤ Zα 2. Ho ditolak jika Z₀ > Zα B.Untuk Ho : p = p₀ dan Hi : p < p₀ 1.Ho diterima jika Z₀ ≥ - Zα 2. Ho ditolak jika Z₀ < - Zα C .Untuk Ho : p = p₀ dan Hi : p ‡ p₀ 1. Ho diterima jika - Zα/₂ ≤ Z₀ ≤ Zα/₂ 2. Ho ditolak jika Z₀ > Zα/₂ atau Z₀ < - Zα/₂ d.Uji Statistik Z ₀ = ( X – nPo) : VnPo(1 – Po) e.Kesimpulan , merupakan penerimaan atau penolakan terhadap Ho

Contoh Soal : *Seorang kontraktor menyatakan bahwa 60 % rumah rumah yang baru dibangun di kota A dilengkapi dengan telepon.Apakah anda setuju dengan pernyataan itu, bila 50 rumah yang baru diambil secara acak, terdapat 33 rumah yang menggunakan telepon ? Gunakan taraf nyata 10 % , dengan alternatif lebih besar dari itu . Jawab : n = 50 ; X = 33 ; Po = 60 % = 0,6 a.Formulasi hipotesis : Ho : P = 0,6 Hi : P > 0,6 b.Taraf Nyata : α = 10 % = 0,1 ; Z₀‚₁ = 1,28 c.Kriteria Pengujian : Ho diterima , jika Z₀ ≤ 1,28 Hi ditolak , jika Z₀ > 1,28 d.Uji Statistik : Z₀ = ( 33 - 50(0,6)) : V50(0,6).(0,4) = 0,87 e.Kesimpulan : Z₀ < Zα , maka Ho diterima. Jadi pernyataan kontraktor bahwa 60 % rumah yang dibangun dilengkapi dengan telepon dapat diterima ( benar) ,mak

Contoh Soal . * Diduga sekurang kurangnya 65 % penduduk du suatu daerah mendukung pembangunan PLTN.Dari 200 orang yang diambil sampel random ternyata hanya 110 orang yang mendukung. Kesimpulan apakah yang didapat , jika diharapkan kurang dari itu yang mendukung dengan taraf nyata 10 %.

Testing a Claim About a Standard Deviation or Variance Section 8-6 Testing a Claim About a Standard Deviation or Variance

Requirements for Testing Claims About  or  2 n = sample size s = sample standard deviation s2 = sample variance  = claimed value of the population standard deviation 2 = claimed value of the population variance

Chi-Square Distribution Test Statistic

Pengujian hipotesis satu varians merupakan pengujian hipotesia varian suatu populasi yang didasarkan pada varians sampelnya. Langkah langkah pengujian : 1.Menentukan formula hipotesis: a.Ho : α² = α² b. Ho : α² = α² c. Ho : α² = α² Hi : α² > α² Hi : α² < α² Hi : α² ǂα² 2.Menentukan taraf nyata dengan tabel Chi-Kuadrat ( Gunakan derajat bebas = db =α( n-1)) 3.Menentukan kriteria Pengujian. a.Ho diterima,jika X²o ≤ X ² db H0 ditolak , Jika X²o > X² db b.Ho diterima jika X² o ≥ X² db Ho ditolak jika X² o < X² db c.Ho diterima, jika X² 1-(0,5 db) ≤ X²o ≤X² 0,5 db Ho ditolak, jika X²o >X² 0,5 db atau X²o < X²1-(0,5db) 4.Uji Statistik 5.Buat Kesimpulan

Contoh : Perusahaan lampu “X” pada masa lalu memproduksi lampu pijar Contoh : Perusahaan lampu “X” pada masa lalu memproduksi lampu pijar.Kemudian sekarang memproduksi lagi.Dahulu simpangan baku ketahanan lampu adalah 75 jam.Dari sekian banyak produksi diambil sampel 25 buah dan diketahui simpangan baku ketahanannya 90 jam. Ujilah pada taraf nyata 5 %, apakah lampu pijar sekarang memiliki variasi ketahanan lebih besar daripada produksi masa lalu.

Properties of Chi-Square Distribution All values of  2 are nonnegative, and the distribution is not symmetric (see Figure 8-13, following). There is a different distribution for each number of degrees of freedom (see Figure 8-14, following). The critical values are found in Table A-4 using n – 1 degrees of freedom.

Properties of Chi-Square Distribution - cont Properties of the Chi-Square Distribution Chi-Square Distribution for 10 and 20 df Different distribution for each number of df. Figure 8-13 Figure 8-14

Table A-4 Table A-4 is based on cumulative areas from the right (unlike the entries in Table A- 2, which are cumulative areas from the left). Critical values are found in Table A-4 by first locating the row corresponding to the appropriate number of degrees of freedom (where df = n –1). Next, the significance level  is used to determine the correct column. The following examples are based on a significance level of  = 0.05, but any other significance level can be used in a similar manner.

Table A-4 Right-tailed test: Because the area to the right of the critical value is 0.05, locate 0.05 at the top of Table A-4. Left-tailed test: With a left-tailed area of 0.05, the area to the right of the critical value is 0.95, so locate 0.95 at the top of Table A-4.

Table A-4 Two-tailed test: Unlike the normal and Student t distributions, the critical values in this 2 test will be two different positive values (instead of something like ±1.96 ). Divide a significance level of 0.05 between the left and right tails, so the areas to the right of the two critical values are 0.975 and 0.025, respectively. Locate 0.975 and 0.025 at the top of Table A-4

Example: A common goal in business and industry is to improve the quality of goods or services by reducing variation. Quality control engineers want to ensure that a product has an acceptable mean, but they also want to produce items of consistent quality so that there will be few defects. If weights of coins have a specified mean but too much variation, some will have weights that are too low or too high, so that vending machines will not work correctly (unlike the stellar performance that they now provide).

Example: Consider the simple random sample of the 37 weights of post-1983 pennies listed in Data Set 20 in Appendix B. Those 37 weights have a mean of 2.49910 g and a standard deviation of 0.01648 g. U.S. Mint specifications require that pennies be manufactured so that the mean weight is 2.500 g. A hypothesis test will verify that the sample appears to come from a population with a mean of 2.500 g as required, but use a 0.05 significance level to test the claim that the population of weights has a standard deviation less than the specification of 0.0230 g.

Example: Requirements are satisfied: simple random sample; and STATDISK generated the histogram and quantile plot - sample appears to come from a population having a normal distribution.

Example: Step 1: Express claim as  < 0.0230 g Step 2: If  < 0.0230 g is false, then  ≥ 0.0230 g Step 3:  < 0.0230 g does not contain equality so it is the alternative hypothesis; null hypothesis is  = 0.0230 g H0:  = 0.0230 g H1:  < 0.0230 g Step 4: significance level is  = 0.05 Step 5: Claim is about  so use chi-square

Example: Step 6: The test statistic is The critical value from Table A-4 corresponds to 36 degrees of freedom and an “area to the right” of 0.95 (based on the significance level of 0.05 for a left-tailed test). Table A-4 does not include 36 degrees of freedom, but Table A-4 shows that the critical value is between 18.493 and 26.509. (Using technology, the critical value is 23.269.)

Example:

Example: Step 7: Because the test statistic is in the critical region, reject the null hypothesis. There is sufficient evidence to support the claim that the standard deviation of weights is less than 0.0230 g. It appears that the variation is less than 0.0230 g as specified, so the manufacturing process is acceptable.

Recap In this section we have discussed: Tests for claims about standard deviation and variance. Test statistic. Chi-square distribution. Critical values.