Business Statistics for Contemporary Decision Making. 6th Edition. (2010) Ken Black

BAB 4 PROBABILITAS

PROBABILITAS DALAM STATISTIKA INFERENSIAL

INTRODUCTION TO PROBABILITY Sebagian banyak analisis statistik adalah inferensial, dan probabilitas adalah dasar untuk statistik inferensial. Kita ingat bahwa statistik inferensial berkenaan dengan pengambilan sampel dari suatu populasi, melakukan perhitungan statistik pada sampel, dan menyimpulkan nilai parameter yang sesuai dengan populasi dari statistik yang dimiliki. Alasan untuk melakukannya adalah bahwa nilai parameter tidak diketahui. Karena tidak diketahui, analis melakukan proses inferensial dibawah situasi ketidakpastian. Namun, dengan menerapkan aturan dan hukum, analis dapat menetapkan probabilitas untuk mencari hasil tersebut.

METHODS OF ASSIGNING PROBABILITIES Tiga metode umum menerapkan probabilitas adalah metode klasik, frekuensi relatif metode kejadian, dan probabilitas subjektif.

1. Metode Klasik Ketika probabilitas yang ditetapkan berdasarkan hukum dan aturan, metode ini disebut sebagai menerapkan probabilitas metode klasik. Metode ini melibatkan eksperimen, yang merupakan proses yang menghasilkan outcome, dan peristiwa, yang merupakan hasil dari suatu percobaan.

1. Metode Klasik Jika kita menerapkan probabilitas dengan menggunakan metode klasik, probabilitas dari suatu peristiwa individu terjadi ditentukan sebagai rasio jumlah item dalam populasi yang berisi peristiwa tersebut (ne) dengan jumlah total item dalam populasi (N).

1. Metode Klasik Di mana: P(E) = Probabilitas terjadinya persitiwa E N = Total banyaknya outcome yang mungkin dari sebuah eksperimen Ne = Banyaknya outcome di mana peristiwa keluar dari N hasil.

CONTOH Pada pelemparan sebuah dadu satu kali, maka probabilitas peristiwa keluarnya angka 5 adalah 1/6. Karena peristiwa keluarnya angka 5 adalah satu peristiwa dari total kejadian yang bisa adalah 6 kemungkinan (yaitu bisa keluar 1, bisa 2, bisa 3, bisa 4, bisa 5, atau bisa 6.) Pelemparan sebuah dadu adalah eksperimen, bukan dari data historis.

CONTOH Pada pelemparan dua buah dadu sekaligus, maka jika angka yang keluar kita jumlahkan, peristiwa yang mungkin terjadi adalah: Jumlah 2 (1,1) Jumlah 8 (2,6),(3,5),(4,4) Jumlah 3 (1,2) Jumlah 9 (3,6),(4,5) Jumlah 4 (1,3),(2,2) Jumlah 10 (4,6),(5,5) Jumlah 5 (1,4),(2,3) Jumlah 11 (5,6) Jumlah 6 (1,5),(2,4),(3,3) Jumlah 12 (6,6) Jumlah 7 (1,6),(2,5),(3,4)

PELEMPARAN 2 BUAH DADU WARNA SAMA P = 1/21 2 (1, 1) P = 1/21 P = 2/21 P = 3/21 3 (1, 2) 4 (1, 3); (2, 2) 5 (1, 4); (2, 3) 6 (1, 5); (2, 4); (3, 3) 7 (1, 6); (2, 5); (3, 4) 8 (2, 6); (3, 5); (4, 4) 9 (3, 6); (4, 5) 10 (4, 6); (5, 5) 10 11 (5, 6) 12 (6, 6)

Distribusi Probabilitas PELEMPARAN 2 BUAH DADU WARNA SAMA P(2) = 1/21 P(3) = 1/21 P(4) = 2/21 P(5) = 2/21 P(6) = 3/21 P(7) = 3/21 P(8) = 3/21 P(9) = 2/21 P(10) = 2/21 P(11) = 1/21 P(12) = 1/21 Distribusi Probabilitas

CONTOH Berapa probabilitas keluar jumlah10? SOLUSI: Ruang sampel adalah 21 Jumlah peristiwa yang mungkin keluar jumlah 10 adalah 2, yaitu (4,6) dan (5,5). Jadi probabilitas keluar jumlah 10 adalah 2/21 yaitu p(10) = 0.0952

2. Metode Frekuensi Relatif Kejadian Penerapan probabilitas dengan Metode Frekuensi Relatif Kejadian berdasarkan pada data historis kumulatif. Dengan metode ini, probabilitas dari suatu peristiwa yang terjadi adalah sama dengan jumlah kali peristiwa yang telah terjadi di masa lalu dibagi dengan jumlah total peluang untuk peristiwa yang telah terjadi.

Berapa kali terjadinya peristiwa Probabilitas suatu peristiwa =  Total banyaknya kesempatan terjadinya peristiwa Contoh: Dari hasil pengamatan selama 10 tahun yang lalu, telah terjadi tahun-tahun dengan kondisi ekonomi baik 3 kali, telah terjadi tahun-tahun dengan ekonomi sedang 5 kali, dan terjadi ekonomi buruk 2 kali. Jika pola yang terjadi di masa yang akan datang masih seperti di masa lampau, berapa probabilitas tahun depan kondisi ekonominya baik? SOLUSI: Terjadinya peristiwa ekonomi baik adalah 3 kali dari banyaknya kesempatan yang diamati di masa lampau adalah 10. Jadi P(Baik) = 3 / 10 = 0,30

3. Probabilitas Subjektif Menerapkan Probabilitas Metode Subjektif didasarkan pada perasaan atau wawasan dari orang menentukan probabilitas. Probabilitas subjektif berasal dari intuisi atau penalaran seseorang. Meskipun bukan pendekatan ilmiah untuk probabilitas, metode subjektif sering didasarkan pada akumulasi pengetahuan, pemahaman, dan pengalaman yang disimpan dan diproses dalam pikiran manusia.

STRUKTUR PROBABILITAS

STRUKTUR PROBABILITAS Dalam studi probabilitas, mengembangkan bahasa istilah dan simbol sangat membantu. Struktur probabilitas memberikan kerangka kerja umum di mana topik probabilitas dapat dieksplorasi.

Percobaan (Experiment) Seperti yang dinyatakan sebelumnya, percobaan adalah proses yang menghasilkan hasil. Contoh percobaan berorientasi bisnis dengan hasil yang dapat dianalisis secara statistik mungkin termasuk berikut:

Percobaan (Experiment) ■ Wawancara 20 konsumen yang dipilih secara acak dan menanyakan mereka merek alat mereka yang sukai ■ Sampling setiap botol 200 kecap dari jalur perakitan dan berat isi ■ Pengujian obat farmasi baru pada sampel dari pasien kanker dan mengukur peningkatan pasien ■ Audit setiap akun 10 untuk mendeteksi kesalahan ■ Merekam Dow Jones Industrial Average pada hari Senin pertama setiap bulan selama 10 tahun

PERISTIWA (EVENT) Jika suatu peristiwa adalah hasil dari percobaan, suatu percobaan mendefinisikan kemungkinan terjadinya peristiwa. Jika percobaan ini adalah sampel lima botol berasal dari production line, peristiwanya misal mendapatkan satu yang rusak dan empat botol yang baik. Dalam sebuah percobaan untuk pelemparan dadu, satu peristiwa bisa dadu genap dan peristiwa lain bisa keluar angka yang lebih besar dari dua

PERISTIWA (EVENT) Peristiwa ditandai dengan symbol huruf besar italic (misalnya, A dan E1, E2,...), untuk kasus umum atau abstrak, dan huruf romawi (misalnya, H dan T untuk kepala dan ekor) menunjukkan benda dan orang- orang tertentu.

ELEMENTARY EVENT Peristiwa yang tidak bisa diurai atau dipecah menjadi peristiwa lainnya disebut peristiwa elementer (Elementary Event). Peristiwa elementer dilambangkan dengan huruf kecil (misalnya, e1, e2, e3,...) Sebagai contoh, pada eksperimen melempar sebuah dadu, maka keluarnya angka 1, angka 2, dst adalah elementary event. Tapi keluarnya angka genap bukanlah elemtary event, karena angka genap bisa jadi 2, 4, atau 6.

Sample Space Ruang Asample adalah daftar lengkap atau daftar dari semua peristiwa elementary dari suatu percobaan. Tabel 4.1 adalah ruang sampel untuk pelemparan sepasang dadu. Ruang sampel untuk pelemparan sebuah dadu adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

CONTOH Pelemparan dadu dua kali, maka ruang sampel-nya adalah: (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

TEORI HIMPUNAN

Hubungan antar Himpunan p A : p Anggota Himpunan A p  B : p Bukan Anggota Himpunan B A  C : A Himpunan Bagian C A  D : A Bukan Himpunan Bagian D A = E : A Sama Dengan E A  F : A Tidak Sama Dengan F

OPERASI HIMPUNAN A  B : Union (Gabungan) A  B : Intersection (Irisan) A - B : Minus (Selisih) ͞a : Complement (Komplemen) Ac : Complement (Komplemen) U : Himpunan Universal

DIAGRAM VENN U U U A B A B A B A  B A  B A  B = Ф U U U A B A B A B Ac Bc

Hukum Matematik IDEMPOTEN ASOSIATIF KOMUTATIF DISTRIBUTIF IDENTITAS KELENGKAPAN DE MORGAN

Contoh IDEMPOTEN: A  A = A A  A = A ASOSIATIF: (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C)

Contoh KOMUTATIF: A  B = B  A A  B = B  A DISTRIBUTIF: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

Contoh IDENTITAS: A  Φ = A A  Φ = A A  U = U A  U = A KELENGKAPAN: A  Ac = U A  Ac = Φ ( A ) = A U = Φ Φ = U

Contoh DE MORGAN: (A  B) = A  B (A  B) = A  B

Lambang dalam teori himpunan ∈ = elemen Contoh 𝑥∈A ⊂ = himpunan bagian Contoh B⊂A ∪ = gabungan Contoh A∪B ∩ = irisan Contoh A∩B

Lambang dalam teori himpunan − = selisih Contoh A−B A = komplemen Contoh Jika A = x ; x adalah semua bilangan positif ) Maka A = x ; x adalah semua bilangan tidak posisif ) U = himpunan universal  = himpunan kosong

MUTUALLY EXCLUSIVE EVENTS X AND Y Dua atau lebih peristiwa yang mutually exclusive jika terjadinya satu peristiwa menghalangi (meniadakan) terjadinya peristiwa lain. Karakteristik ini berarti bahwa peristiwa saling asing (mutually exclusive) tidak dapat terjadi secara bersamaan dan karena itu dapat memiliki persimpangan.

Collectively Exhaustive Events Sekumpulan peristiwa collectively Exhaustive berisi semua peristiwa elementer yang mungkin dari sebuah eksperimen. Dengan demikian, semua ruang sampel secara kolektif lengkap (collectively exhaustive).

Marginal, Union, Joint, and Conditional Probabilities

HUKUM PERTAMBAHAN

Hukum umum PENAMBAHAN digunakan untuk mencari probabilitas GABUNGAN (UNION) dua peristiwa, P (X  Y). Ekspresi P(X) menunjukkan probabilitas terjadinya X atau Y, atau keduanya X dan Y terjadi. Jika KX, Y adalah

Contoh Yankelovich Partner melakukan survei untuk American Society of Interior Designers di mana pekerja ditanya perubahan apa dalam desain kantor yang dapat meningkatkan produktivitas. Responden diperbolehkan menjawab lebih dari satu jenis perubahan desain. Perubahan pertama adalah bahwa 70% dari para pekerja mengatakan akan meningkatkan produktivitas yaitu mengurangi kebisingan. Di urutan kedua adalah ruang penyimpanan/pengarsipan yang lebih luas, dipilih oleh 67% responden. Jika salah satu responden survei dipilih secara acak dan ditanya perubahan desain kantor apa yang akan meningkatkan produktivitas pekerja, berapa probabilitas bahwa orang ini akan memilih mengurangi kebisingan atau ruang penyimpanan/ pengarsipan yang lebih luas?

Misal N mewakili peristiwa "mengurangi kebisingan Misal N mewakili peristiwa "mengurangi kebisingan." Anggap saja S mewakili peristiwa "ruang penyimpanan/pengarsipan yang lebih luas." Kemungkinan orang menanggapi dengan N atau S dapat dilambangkan statistik sebagai probabilitas gabungan dengan menggunakan hukum penambahan. P(N  S) Untuk berhasil memuaskan mencari orang yang merespon dengan mengurangi kebisingan atau ruang penyimpanan/ pengarsipan yang lebih luas, kita hanya perlu menemukan seseorang yang ingin setidaknya satu dari dua peristiwa. Karena 70% dari orang yang disurvei menjawab bahwa mengurangi kebisingan akan menciptakan lebih banyak produktivitas, P(N) = 0,70. Selain itu, karena 67% menjawab bahwa peningkatan ruang penyimpanan akan meningkatkan produktivitas, P (S) = 0,67. Salah satu dari ini akan memenuhi kebutuhan gabungan. Dengan demikian, solusi untuk masalah ini adalah seperti berikut: P(N  S) = P(N) + P(S) = 0,70 + 0,67 = 1,37

Namun, kita sudah menetapkan bahwa probabilitas tidak bisa lebih dari 1. Apa masalahnya di sini? Perhatikan bahwa semua orang yang menanggapi bahwa kedua mengurangi kebisingan dan meningkatkan ruang penyimpanan akan meningkatkan produktivitas termasuk dalam masing-masing marginal probabilitas P(N) dan P(S). Tentu responden yang merekomendasikan keduanya, perbaikan ini harus dimasukkan sebagai menguntungkan setidaknya satu. Namun, karena mereka termasuk dalam P(N) dan P(S), orang-orang yang direkomendasikan baik perbaikan ganda dihitung. Untuk itu, hukum umum selain mengurangi probabilitas irisan, P.

Gambar 4.7 Diagram Venn

Pada Gambar 4. 7, diagram Venn menggambarkan hal ini Pada Gambar 4.7, diagram Venn menggambarkan hal ini. Ingat bahwa daerah irisan N dan S adalah yang diarsir di diagram A, yang menunjukkan bahwa telah dihitung dua kali. Dalam diagram B, arsiran adalah sepanjang N dan S karena daerah irisan telah dikurangkan. Jadi diagram B menggambarkan aplikasi yang tepat dari hukum umum penambahan. Jadi apa jawaban untuk Yankelovich Partners 'pertanyaan probabilitas serikat? Misalkan 56% dari semua responden survei mengatakan bahwa kedua pengurangan kebisingan dan peningkatan (N  S)

Sebagaimana dinyatakan dalam Bagian 4 Sebagaimana dinyatakan dalam Bagian 4.4, probabilitas persimpangan dua peristiwa (X Y) disebut probabilitas gabungan. Hukum umum perkalian digunakan untuk mencari probabilitas gabungan.

HUKUM PERKALIAN

Contoh Notasi X  Y berarti bahwa baik X dan Y harus terjadi. Hukum umum dari perkalian memberikan bahwa probabilitas kedua peristiwa X dan peristiwa Y akan terjadi pada waktu yang sama. Menurut Biro Statistik Tenaga Kerja AS, 46% dari angkatan kerja AS adalah perempuan. Selain itu, 25% dari perempuan dalam angkatan kerja paruh waktu. Berapakah probabilitas bahwa anggota yang dipilih secara acak dari angkatan kerja AS adalah seorang wanita dan bekerja paruh waktu? Pertanyaan ini adalah salah satu dari probabilitas gabungan, dan hukum umum perkalian dapat diterapkan untuk menjawabnya.

Contoh Misal W menunjukkan hal tersebut anggota dari angkatan kerja adalah seorang wanita. Jika T menunjukkan anggota pekerja paruh waktu. Pertanyaannya adalah: P (W  T) =? Menurut hukum umum perkalian, masalah ini dapat diselesaikan dengan   P (W  T) = P (W) × P (T ƒW)

P (W × T) = P (W) × P (T ƒW) = (0,46) × (0,25) = 0,115 Contoh Karena 46% dari angkatan kerja adalah perempuan, adalah probabilitas bersyarat yang dapat dinyatakan sebagai probabilitas bahwa seorang pekerja adalah pekerja paruh waktu mengingat bahwa pekerja adalah perempuan. Kondisi ini apa yang diberikan dalam pernyataan bahwa 25% dari perempuan dalam angkatan kerja pekerjaan paruh waktu. Oleh karena itu, Dari sana berikut bahwa P (W × T) = P (W) × P (T ƒW) = (0,46) × (0,25) = 0,115  

Contoh Dapat dinyatakan bahwa 11,5% dari angkatan kerja AS adalah perempuan dan bekerja paruh waktu. Diagram Venn pada Gambar 4.10 menunjukkan hubungan ini dan probabilitas gabungan.

Contoh

Conditional Probability Probabilitas bersyarat

Probabilitas bersyarat dari (X Y) adalah probabilitas bahwa X akan terjadi mengingat Y. Rumus probabilitas bersyarat diperoleh dengan membagi kedua sisi hukum umum perkalian dengan P (Y). Dalam studi oleh Yankelovich Partners untuk menentukan perubahan apa dalam desain kantor akan meningkatkan produktivitas, 70% dari responden percaya pengurangan kebisingan akan meningkatkan produktivitas dan 67% mengatakan peningkatan ruang penyimpanan akan meningkatkan produktivitas. Selain itu, kira 56% dari responden percaya baik pengurangan kebisingan dan peningkatan ruang penyimpanan akan meningkatkan produktivitas.

Seorang pekerja yang dipilih secara acak dan bertanya tentang perubahan desain kantor. pekerja ini percaya bahwa pengurangan kebisingan akan meningkatkan produktivitas. Berapa probabilitas bahwa pekerja ini percaya ruang peningkatan penyimpanan akan meningkatkan produktivitas? Artinya, apa probabilitas bahwa seseorang yang dipilih secara acak percaya ruang penyimpanan akan meningkatkan produktivitas mengingat bahwa ia percaya pengurangan kebisingan meningkatkan produktivitas? Dalam simbol-simbol, pertanyaannya adalah P (S | N) = ?

Perhatikan bahwa bagian tertentu dari informasi yang tercantum di sebelah kanan garis vertikal dalam probabilitas bersyarat. Solusi formula 𝑃 S N = 𝑃(S∩N) 𝑃(N) Tapi P (N) = 0,70 dan P (S ∩ N) = 0,56 Karena itu 𝑃 S N = .56 .70 =.80

Delapan puluh persen dari pekerja yang percaya pengurangan kebisingan akan meningkatkan produktivitas percaya ruang penyimpanan meningkat akan meningkatkan produktivitas

BAYES’ RULE ATURAN BAYES