KONSEP DASAR PROBABILITAS Pertemuan 4

Pengantar : Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui dengan pasti, terutama kejadian yang akan datang. Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik disebut Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P.

Konsep dan definisi dasar Eksperimen/percobaan probabilitas adalah segala kegiatan dimana suatu hasil (outcome) diperoleh. Ruang sampel adalah himpunan seluruh kemungkinan outcome dari suatu eksperimen/percobaan. Biasanya dinyatakan dengan S. Banyaknya outcome dinyatakan dengan n(S). Peristiwa/kejadian adalah himpunan bagian dari outcome dalam suatu ruang sampel.

Contoh : Dilakukan eksperimen, yaitu diperiksa 3 buah sikring satu persatu secara berurutan dan mencatat kondisi sikring tersebut dengan memberi notasi B untuk sikring yang baik dan R untuk sikring yang rusak. Maka ruang sampel pada eksperimen probabilitas pemeriksaan tersebut adalah S = {BBB, BBR, BRB, RBB, BRR, RBR, RRB, RRR}. Jumlah outcome dalam ruang sampel S adalah n(S) = 23 = 8. Jika A menyatakan peristiwa diperoleh satu sikring yang rusak, maka A = {BBR, BRB, RBB}. Jumlah outcome dalam ruang peristiwa adalah n(A) = 3.

Definisi probabilitas Bila kejadian A terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian A, ditulis P(A), dapat dituliskan :

Sifat-sifat probabilitas kejadian A : 0  P(A)  1 , artinya nilai probabilitas kejadian A selalu terletak antara 0 dan 1 P(A) = 0, artinya dalam hal kejadian A tidak terjadi (himpunan kosong), maka probabilitas kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa kejadian A mustahil untuk terjadi. P(A) = 1, artinya dalam hal kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat dikatakan bahwa kejadian A pasti terjadi.

Contoh (1): Sebuah koin dilemparkan dua kali. Berapakah probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka? Jawab : Misal M = Muka , B = Belakang Ruang sampel untuk percobaan ini adalah S = {MM, MB, BM, BB} Kejadian A = muncul paling sedikit satu Muka adalah A = {MM, MB, BM} Jadi, Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka adalah

Contoh (2): Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4 coffee, dan 3 coklat. Bila seseorang membuat suatu pemilihan acak dari salah satu kembang gula ini, carilah probabilitas untuk mendapatkan : (a) mint, dan (b) coffee atau coklat. Jawab : Misal, M = mint , C = coffee , T = coklat (a). Probabilitas mendapatkan mint = (b). Probabilitas mendapatkan coffee atau coklat =

Probabilitas kejadian majemuk (1): Bila A dan B kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A dan B adalah kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau pada keduanya.

Probabilitas kejadian majemuk (2): Bila A, B, dan C kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A, B, dan C adalah :

Contoh : Kemungkinan bahwa Ari lulus ujian matematika adalah 2/3 dan kemungkinan ia lulus bahasa inggris adalah 4/9. Bila probabilitas lulus keduanya adalah 1/4, berapakah probabilitas Ari dapat paling tidak lulus salah satu dari kedua pelajaran tersebut? Jawab : Bila M adalah kejadian lulus matematika, dan B adalah kejadian lulus bahasa inggris, maka : Probabilitas Ari lulus salah satu pelajaran tersebut adalah : P(M  B) = P(M) + P(B) – P(M  B) = 2/3 + 4/9 – 1/4 = 31/36

Dua kejadian saling lepas (disjoint events atau mutually exclusive): Bila A dan B dua kejadian saling lepas, maka berlaku : Bila A, B, dan C tiga kejadian saling lepas, maka berlaku :

Contoh : Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 bila sepasang dadu dilemparkan? Jawab : Bila A adalah kejadian diperoleh total 7, maka A = {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)} Bila B adalah kejadian diperoleh total 11, maka B = {(5,6), (6,5)} Sehingga probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 adalah : P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) = 6/36 + 2/36 – 0 = 8/36

Dua kejadian saling komplementer: Bila A dan A’ dua kejadian dalam S yang saling komplementer, maka berlaku :

Contoh: Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya muka dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama. Jawab : Misal A = kejadian munculnya muka dua dadu yang sama = {(1,1), (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} maka P(A) = 6/36 Sehingga, Probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama = P(A’) adalah: P(A’) = 1 – P(A) = 1 – 6/36 = 30/36

Dua kejadian saling bebas (independent): Dikatakan saling bebas artinya kejadian itu tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian A. Bila A dan B dua kejadian saling bebas, berlaku :

Contoh: Pada pelemparan dua uang logam secara sekaligus, apakah kejadian munculnya muka dari uang logam pertama dan uang logam kedua saling bebas? Jawab : Ruang sampel S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)} Misalkan, A = kejadian muncul muka dari uang logam 1  P(A) = 2/4 = ½ = {(m,m), (m,b)} B = kejadian muncul muka dari uang logam 2  P(B) = 2/4 = ½ = {(m,m), (b,m)} A  B = kejadian muncul dua muka dari uang logam 1 dan 2 = {(m,m)}  P(A  B) = ¼ Bila A dan B saling bebas berlaku : P(A  B) = P(A). P(B) ¼ = ½ . ½ ¼ = ¼ Jadi, A dan B saling bebas.

Probabilitas bersyarat (conditional probability): Adalah probabilitas suatu kejadian B terjadi dengan syarat kejadian A lebih dulu terjadi atau akan terjadi atau diketahui terjadi. Ditunjukkan dengan P(BA) yang dibaca “probabilitas dimana B terjadi karena A terjadi”

Contoh (1): Misalkan dipunyai kotak berisi 20 sekering, 5 diantaranya rusak. Bila 2 sekering diambil dari kotak satu demi satu secara acak tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak. Berapakah peluang kedua sekering itu rusak? Jawab : Misalkan A = kejadian sekering pertama rusak B = kejadian sekering kedua rusak Maka peluang kedua sekering itu rusak = P(A  B) P(A  B) = P(A). P(BA) = 5/20 . 4/19 = 1/19

Contoh (2): Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk mengetahui respon konsumen terhadap pasta gigi rasa jeruk (J) dan pasta gigi rasa strawbery (S), diperoleh informasi sebagai berikut : 20 pria menyukai rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria menyukai rasa strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery. Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery? Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk? Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria? Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita?

Jawab: Responsen J S Jumlah R 20 40 60 W 30 10 50 100 Misal W = Wanita, R = Pria, S = pasta gigi rasa Strawbery, dan J = pasta gigi rasa jeruk. Jadi, Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery adalah Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk adalah Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria adalah Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita adalah

Aturan Bayes : Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga kejadian saling lepas dalam ruang sampel S. B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S. S A1 A2 A3 B

probabilitas kejadian B adalah : P(B) = P(BA1). P(A1) + P(BA2). P(A2) + P(BA3). P(A3) = disebut Hukum Probabilitas Total

Secara umum, bila A1, A2, A3, …, An kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang sembarang dalam S, maka probabilitas kejadian bersyarat AiB dirumuskan sebagai berikut : disebut Rumus Bayes (Aturan Bayes).

Contoh: Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup Anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil itu.. Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah? Berapakah peluang bola tersebut terambil dari kotak 2?

Jawab P(bola yang terambil berwarna merah) = P(bola merah tersebut terambil dari kotak 2) =