01 LOGIKA MATEMATIKA Penyajian Himpunan,operasi-operasi dasar himpunan RAHMAT RIAN HIDAYAT,S.T.,M.MSI ILMU KOMPUTER TEKNIK INFORMATIKA

Definisi Himpunan Himpunan (Set) adalah kumpulan dari objek-objek yang berbeda. Anggota Himpunan disebut elemen/anggota. Himpunan ditentukan oleh anggota-anggotanya dan bukan oleh urutan tertentu Note: Jika p adalah anggota himpunan A, ditulis p  A. Sebaliknya jika p adalah bukan anggota himpunan A, maka ditulis p  A.

Contoh Himpunan Himpunan huruf hidup dari huruf Alphabet = {a,e,i,o,u} Himpunan B adalah himpunan positif integer kurang dari 100 maka B = {1,2,3,4...,99}. Himpunan alphabet {a,b,c,d,e, ...,x,y,z}

Penyajian Himpunan (1) Enumerasi Mengenumerasi artinya menulis semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal. Biasanya himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf. Contoh: Himpunan A berisi empat bilangan asli. Dapat ditulis sebagai berikut A = {1,2,3,4} Himpunan B berisi lima bilangan genap positif pertama. Dapat ditulis sebagai berikut B = { 2,4,6,8,10}

Penyajian Himpunan(2) 2. Simbol-simbol Baku A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... } P B = { ..., -2,- 1, 0, 1, 2, ... } Z “Penyajian Himpunan dengan menggunakan simbol-simbol baku. “ P = Himpunan Bilangan Bulat Positif N = Himpunan Bilangan Asli Z = Himpunan Bilangan Bulat Q = Himpunan Bilangan Rasional R = Himpunan Bilangan Riil C = Himpunan Bilangan Kompleks

Penyajian Himpunan (3) 3. Notasi Pembentuk Bilangan   Himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi anggotanya. Notasi: { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x } Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan: Bagian di kiri tanda ‘|’ melambangkan elemen himpunan Tanda ‘|’ dibaca dimana atau sedemikian sehingga Bagian di kanan tanda ‘|’ menunjukan syarat keanggotaan himpunan Setiap tanda ‘,’ di dalam syarat keanggotaan dibaca dan Contoh: A adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5. Dinyatakan sebagai: A = { x | x adalah himpunan bilangan bulat posif lebih kecil dari 5} Notasi matematikanya: A = { x | x  P, x < 5 } Yang ekivalen dengan A = { 1, 2, 3, 4 }

Penyajian Himpunan (4) 4. Diagram Venn Contoh: Diagram Venn: Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Didalam diagram Venn, himpunan semesta (U) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut. Contoh: Diagram Venn: Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Operasi-Operasi Himpunan GABUNGAN (Union) IRISAN (Intersection) SELISIH(Difference) KOMPLEMEN (Complement Beda Setangkup

Irisan (Perpotongan / Intersection) Irisan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemendari himpunan A dan himpunan B. Irisan dinyatakan dengan A  B yang dibaca ”A irisan B”. Diagram Venn untuk A  B

Contoh: S = {a, b, c, d} dan T = {b, d, f, g} Maka S  T = {b, d} Dapat dinyatakan dengan A  B = {x | x  A dan x  B} Setiap himpunan A dan himpunan B mengandung A  B sebagai subhimpunan, yaitu (A  B)  A dan (A  B)  B Jika himpunan A dan himpunan B tidak mempunyai elemen-elemen yang dimiliki bersama, berarti A dan B terpisah, maka irisan dari keduanya adalah himpunan kosong.

Gabungan (Perpaduan / Union ) Gabungan (Union) himpunan dari A dan B adalah himpunan yang setiap Anggotanya merupakan anggota himpunan A atau B atau keduanya. Union tersebut dapat dinyatakan sebagai A  B dibaca A union B. Diagram venn dari A  B Contoh A = {a, b, c, d} dan B = {e, f, g} Maka A  B = {a, b, c, d, e, f, g} Union A dan B dapat didefinisikan secara ringkas sebagai berikut A  B = {x | x  A atau x  B} Berlaku hukum A  B = B  A A dan B kedua-duanya juga selalu berupa subhimpunan dari A  B,yaitu A  (A  B) dan B  (A  B)

Selisih (difference) Selisih dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B. Dinyatakan dengan A – B dibaca ”selisih A dan B” atau ”A kurang B”. Himpunan A mengandung A – B sebagai subhimpunan, berarti(A – B)  A. Diagram Venn untuk A – B Contoh: Jika A = { 1,2,3,...10} dan B = { 2,4,6,8,10} Carilah A – B dan B – A! Jawab A – B = { 1,3,5,7,9} B – A = 0 {himpunan kosong}

Komplemen (complement) Komplemen dari suatu himpunan A terhadap himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A, yaitu selisih dari himpunan semesta U dan A. Komplemen dapat didefinisikan secara ringkas sebagai berikut A’ = {x  x  U dan x  A} atau A’ = {x  x  A} Diagram Venn dari A’. Contoh: Misalkan U = {1,2,3,…,9} A = {1,3,7,9} carilah A’ ! JAWAB A’ = {2,4,6,8}

Jika A = { 2, 4,6} dan B = { 2,3,5} Carilah A B! Jawab Beda Setangkup (symmetric difference / Selisih simetri) Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A dan B tetapi tidak pada keduanya. Diagram Venn untuk A B Contoh: Jika A = { 2, 4,6} dan B = { 2,3,5} Carilah A B! Jawab A B = { 3,4,5,6}

Daftar Pustaka http://ira.lecturer.pens.ac.id/matematika%201/Matematika%20dasar%20pertemuan%201.pdf http://www.docs-engine.com/ppt/1/himpunan.html

Latihan 2. Terdapat himpunan : U = {1, 2, 3, …, 9} A = {1, 2, 3, 4} 1.Terdapat himpunan sebagai berikut A = {0, 1, 3, 4, 6} B = {0, 3, 6} C = {5, 6} Tentukan : a. A  B b. A  C c. B  C 2. Terdapat himpunan : U = {1, 2, 3, …, 9} A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 6, 8} C = {3, 4, 5, 6} Tentukan : A  B A  C B  C B  B

3. Himpunan software under windows: 4. Diketahui Himpunan U, A,B, C: U={a,b,c,d,e,f,g} A={a,b,c,d,e} B={a,c,e,g} C={b,e,f,g} Tentukan : AC 2. BA 3. C-B 4. B’ 5.A’-B B’ C 7. (A-C)’ 8. C’ A 9. (A-B’)’ 10. (A A’)’

1.Terdapat himpunan sebagai berikut C = {5, 6} Tentukan : a. A  B b. A  C c. B  C JAWAB a. A  B = {0, 3, 6} b. A  C = {6} c. B  C = {6}

Untuk menentukan A dan B, kita gabung semua elemen-elemen dari A 2. Terdapat himpunan : U = {1, 2, 3, …, 9} A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 6, 8} C = {3, 4, 5, 6} Tentukan : A  B A  C B  C B  B JAWAB Untuk menentukan A dan B, kita gabung semua elemen-elemen dari A bersama-sama dengan elemen-elemen B. Dengan demikian, a. A  B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} b. Begitu pula dengan A  C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} c. B  C = {2, 4, 6, 8, 3, 5} d. B  B = B = {2, 4, 6, 8}

jawab AC ={a,b,c,d,e,f,g}=U BA ={a,c,e} C-B={b,f} B’ ={b,d,f} 3. A = { MsWord,MsExcel,MsPowerPoint,…} 4. U={a,b,c,d,e,f,g} A={a,b,c,d,e} B={a,c,e,g} C={b,e,f,g} AC ={a,b,c,d,e,f,g}=U BA ={a,c,e} C-B={b,f} B’ ={b,d,f} A’-B ={f}

lanjut B’ C ={b,d,e,f,g} (A-C)’ = {b,e,f,g} C’ A = {a,c,d} (A-B’)’ = {b,d,f,g} (A A’)’ = U