FUNGSI DUA VARIABEL ATAU LEBIH 11/30/2018 FUNGSI DUA VARIABEL ATAU LEBIH MK. Kalkulus Lanjut MKMAT3315 ©Aswad2016 ©Aswad2016

11/30/2018 1.1. Fungsi Dua Variabel ©Aswad2016

11/30/2018 Definisi 1.1. Fungsi f dari dua variabel adalah suatu aturan yang memasangkan setiap bilangan real (x, y) di himpunan D secara unik yang dinotasikan dengan f(x, y). Himpunan D disebut dengan domain atau daerah asal dari f, dan himpunan semua bilangan yang dipasangkan oleh f disebut range atau daerah hasil. Notasi: {f(x, y) | (x, y) ∈ D}. ©Aswad2016

11/30/2018 Selanjutnya akan selalu ditulis z = f(x, y) untuk menunjukkan nilai hasil pemetaan f pada titik (x, y). Variabel x dan y merupakan variabel bebas atau independen dan z merupakan variabel terikat atau dependen ©Aswad2016

11/30/2018 Contoh 1.1. Tentukan domain dari fungsi kemudian selidikilah titik (3, 2). ©Aswad2016

11/30/2018 Penyelesaian: f terdefinisi apabila x ≠ 1, tanda di bawah tanda akar adalah positif. Sehingga D = {(x, y) | x + y + 1 ≥ 0, x ≠ 1}. x + y + 1 ≥ 0 ↔ y ≥ -x – 1 → himpunan titik-titik yang berada tepat pada garis dan daerah sebelah atas persamaan garis y = -x – 1. x ≠ 1 → garis putus-putus yang artinya tidak termasuk dalam domain fungsi f yang dimaksud. ©Aswad2016

11/30/2018 Jelas terlihat bahwa titik (3, 2) merupakan salah satu titik himpunan dari domain D atau dengan kata lain titik (3, 2) terletak pada daerah di atas garis y = -x – 1. ©Aswad2016

11/30/2018 Definisi 1.2. Misalkan f suatu fungsi dua variabel dengan domain D. Grafik f adalah himpunan semua titik (x, y, z) di R3 sedemikian sehingga z = f(x, y) dan (x, y) ∈ D. ©Aswad2016

11/30/2018 Grafik fungsi f dengan dua variabel merupakan suatu permukaan S dengan persamaan z = f(x, y). Karena setiap (x, y) di daerah asal D hanya berpadanan dengan satu nilai z, maka setiap garis tegak lurus bidang-xy memotong permukaan pada paling banyak satu titik saja ©Aswad2016

Gambarkan grafik fungsi f(x, y) = 6 – 3x – 2y. 11/30/2018 Contoh 1.2. Gambarkan grafik fungsi f(x, y) = 6 – 3x – 2y. Note: Fungsi tersebut merupakan fungsi linear dua peubah dengan B.U. F(x, y) = ax + by + c ©Aswad2016

11/30/2018 Penyelesaian: f(x, y) = 6 – 3x – 2y ⇔ z = 6 – 3x – 2y atau 3x + 2y + z = 6. y = z = 0, maka x = 2, ⟹ (2, 0, 0) x = z = 0, maka y = 3, ⟹ (0, 3, 0) x = y = 0, maka z = 6, ⟹ (0, 0, 6) ©Aswad2016

Contoh 1.3. Gambarkan grafik fungsi 11/30/2018 Contoh 1.3. Gambarkan grafik fungsi ©Aswad2016

11/30/2018 Penyelesaian: Dengan menyelesaikan Diperoleh Yg merupakan persamaan bola dengan jari-jari 3. Perhatikan pula jelas bahwa z ≥ 0. Sehingga letak grafik di atas sumbu-z negatif ©Aswad2016

11/30/2018 Bentuk grafik dari suatu fungsi dengan dua variabel atau lebih cukup kompleks. Bahkan untuk bentuk fungsi yang sederhana sekalipun, grafik fungsinya selalu tidak mudah untuk digambar. Perhatikan bentuk grafik fungsi z = y2 – x2 berikut ©Aswad2016

11/30/2018 Definisi 1.3. Level curve suatu fungsi f dengan dua variabel adalah suatu kurva dengan persamaan f(x, y) =k, dengan k adalah suatu konstanta ©Aswad2016

11/30/2018 Contoh 1.4. Gambarkan level curve dari fungsi f(x, y) = 6 – 3x – 2y dengan nilai k = -6, 0, 6, 12. ©Aswad2016

11/30/2018 Penyelesaian: Persamaan level curve dari fungsi tersebut adalah k = 6 – 3x – 2y atau 3x + 2y + (k – 6) = 0 Ambil k = 0, maka diperoleh y = 6 – 3x / 2 Untuk x = 0, y = 3 ⇒ (0, 3); y = 0, x = 2 ⇒ (2, 0). ©Aswad2016

11/30/2018 Dengan cara yang sama dapat diperoleh persamaan garis untuk k = -6, 6, dan 12 berturut-turut adalah 3x + 2y – 12 = 0; 3x + 2y = 0; dan 3x + 2y + 6 = 0. ©Aswad2016

Contoh 1.5. Gambarkan level curve dari fungsi dengan k = 0, 1, 2, 3. 11/30/2018 Contoh 1.5. Gambarkan level curve dari fungsi dengan k = 0, 1, 2, 3. ©Aswad2016

11/30/2018 Penyelesaian: Persamaan level curve nya adalah: x2 + y2 = 9 – k2 Artinya, persamaan x2 + y2 = 9 – k2 merupakan salah satu model dari persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dengan jari-jari ©Aswad2016

1.2. Fungsi Lebih dari Dua Variabel 11/30/2018 1.2. Fungsi Lebih dari Dua Variabel ©Aswad2016

11/30/2018 Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangn terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan u = f(x, y, z) ©Aswad2016

Contoh 1.6. Carilah domain dari fungsi 11/30/2018 Contoh 1.6. Carilah domain dari fungsi ©Aswad2016

11/30/2018 Penyelesaian: Untuk f(x, y, z) = k maka Selama k ≥ 0 maka persaman tersebut menjadi: x2 + y2 + z2 = k + 1. Artinya, kurva dari fungsi f(x, y, z) berbentuk bola yang berpusat di titik asal (0, 0, 0). ©Aswad2016

11/30/2018 Latihan ©Aswad2016

11/30/2018 ©Aswad2016

11/30/2018 ©Aswad2016

11/30/2018 ©Aswad2016