STATISTIKA DAN PROBABILITAS (CIV -110) PERTEMUAN 5 BAYES THEORY

KAIDAH PENGGANDAAN (MULTIPLICATION RULES) Digunakan untuk mengetahui peluang gabungan (joint probability) dua kejadian (event) bebas (independent) yang akan terjadi Maksudnya : untuk dua kejadian bebas misalkan A dan B, maka peluang kedua kejadian tersebut akan terjadi adalah dengan mengalikan peluang kejadian A akan terjadi dengan peluang bersyarat dari kejadian B terjadi bila kejadian A telah terjadi 𝑷 𝑨 𝒅𝒂𝒏 𝑩 =𝑷 𝑨 𝑷 𝑩|𝑨

Contoh kasus: A golfer has 12 golf shirts in his closet. Suppose 9 of these shirts are white and the others blue. He gets dressed in the dark, so he just grabs a shirt and puts it on. He plays golf two days in a row and does not do laundry. What is the likelihood both shirts selected are white? The event that the first shirt selected is white = W1. The probability is P(W1) = 9/12 The event that the second shirt (W2) selected is also white. The conditional probability that the second shirt selected is white , given that the first shirt selected is also white, is 𝑷 𝑾 𝟐 | 𝑾 𝟏 =𝟖/𝟏𝟏 To determine probability of 2 white shirts being selected we use formula : 𝑷 𝑨 𝒅𝒂𝒏 𝑩 =𝑷 𝑨 𝑷 𝑩|𝑨 𝑷 𝑾 𝟏 𝒂𝒏𝒅 𝑾 𝟐 =𝑷 𝑾 𝟏 𝑾 𝟐 | 𝑾 𝟏 = 𝟗 𝟏𝟐 × 𝟖 𝟏𝟏 =𝟎.𝟓𝟓

TABEL KONTINGENSI Tabel Kontingensi merupakan tabel yang digunakan untuk mengukur hubungan (asosiasi) antara dua variabel kategorik dimana tabel tersebut merangkum frekuensi bersama dari observasi pada setiap kategori variabel.

TABEL KONTINGENSI Contoh Tabel hasil survei 150 orang dewasa yang dikelompokkan berdasarkan gender dan jumlah film yang ditonton dalam 1 bulan terakhir

Contoh Kasus Direksi perusahaan melakukan studi lapangan terhadap loyalitas pegawainya. Salah satu pertanyaannya adalah : apabila Anda ditawarkan suatu perusahaan lain suatu posisi yang sama atau lebih baik dari posisi Anda sekarang, akankah Anda bertahan atau mengambil tawaran tersebut? Responden yang disurvei adalah berjumlah 200 orang disertai dengan data lama bekerjanya. LOYALTY LAMA BEKERJA TOTAL < 1 thn 1-5 thn 6-10 thn >10 thn B1 B2 B3 B4 Akan bertahan, A1 10 30 5 75 120 Tidak akan bertahan, A2 25 15 80 35 45 105 200 Tentukan probabilitas terpilihnya secara acak seorang pegawai yang akan loyal dan memiliki durasi kerja > 10 thn ?

DIAGRAM POHON (TREE DIAGRAM) A tree diagram is useful for portraying conditional and joint probabilities. It is particularly useful for analyzing business decisions involving several stages A tree diagram is a graph that is helpful in organizing calculations that involve several stages. Each segment in the tree is one stage of the problem. The branches of a tree diagram are weighted by probabilities.

JUMLAH = 1 Loyalti Lama kerja Kurang dari 1 tahun 1-5 tahun Akan Conditional probability joint probability 𝟏𝟎 𝟏𝟐𝟎 Kurang dari 1 tahun 𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟎𝟎 × 𝟏𝟎 𝟏𝟐𝟎 =𝟎.𝟎𝟓 𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟎𝟎 × 𝟑𝟎 𝟏𝟐𝟎 =𝟎.𝟏𝟓 Akan Bertahan 𝟑𝟎 𝟏𝟐𝟎 1-5 tahun 𝟓 𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟎𝟎 × 𝟓 𝟏𝟐𝟎 =𝟎.𝟎𝟐𝟓 6-10 tahun 𝟕𝟓 𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟎𝟎 × 𝟕𝟓 𝟏𝟐𝟎 =𝟎.𝟑𝟕𝟓 Di atas 10 tahun JUMLAH = 1 𝟖𝟎 𝟐𝟎𝟎 × 𝟐𝟓 𝟖𝟎 =𝟎.𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝟖𝟎 Kurang dari 1 tahun 𝟖𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟓 𝟖𝟎 1-5 tahun 𝟖𝟎 𝟐𝟎𝟎 × 𝟏𝟓 𝟖𝟎 =𝟎.𝟎𝟕𝟓 Tidak akan Bertahan 𝟏𝟓 𝟖𝟎 𝟖𝟎 𝟐𝟎𝟎 × 𝟏𝟎 𝟖𝟎 =𝟎.𝟎𝟓 6-10 tahun 𝟑𝟎 𝟖𝟎 𝟖𝟎 𝟐𝟎𝟎 × 𝟑𝟎 𝟖𝟎 =𝟎.𝟏𝟓 Di atas 10 tahun

BAYES THEOREMA Teorema Bayes digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peistiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi Teorema ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya peristiwa A dengan syarat peristiwa B telah terjadi dan probabilitas terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A telah terjadi. Teorema ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki probabilitas

BAYES THEOREMA Misalkan {B1, B2,…,Bn} suatu himpunan kejadian yang merupakan suatu sekatan ruang sampel S dengan P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1, 2,…n. Dan misalkan A suatu kejadian sembarang dalam S dengan P(A) ≠ 0. 𝑃 𝐵 𝑖 |𝐴 = 𝑃 𝐵 𝑖 ∩𝐴 𝑖=1 𝑛 𝑃 𝐵 𝑖 ∩𝐴 𝑷 𝑩 𝒊 |𝑨 = 𝑷 𝑩 𝒊 𝑷 𝑨|𝑩 𝒊 𝒊=𝟏 𝒏 𝑷 𝑩 𝒊 𝑷 𝑨|𝑩 𝒊

Contoh kasus Suatu perusahaan kontraktor membeli sparepart dengan kode barang T-727 untuk alat berat Back Hoe tipe PC-200 dari tiga supplier,yaitu Volvo, Hitachi, Komatsu dengan komposisi 30% sparepart dibeli dari Volvo, 20% dari Hitachi dan 50% dari Komatsu. Perusahaan kontraktor tersebut memiliki data informasi catatan tentang ketiga supplier tersebut yaitu : 3 % sparepart dari Volvo adalah cacat produksi, 5 % dari Hitachi juga cacat produksi dan 4% dari Komatsu pun cacat produksi. Jika pengiriman sparepart T-727 tiba di kontraktor dan disimpan digudang tanpa dilakukan pengecekan dan identifikasi dari supplier. Kemudian seorang pegawai kontraktor mengambil sparepart T-727 dari Gudang untuk keperluan perbaikan alat berat dan ternyata sparepartnya cacat. Berapa peluang bahwa T-727 tersebut berasal dari Hitachi?

Contoh kasus Terdapat tiga supplier sparepart, yaitu : A1 T-727 yang dibeli dari Volvo A2 T-727 yang dibeli dari Hitachi A3 T-727 yang dibeli dari Komatsu Probabilitas awalnya : P(A1) = 0.3 T-727 yang dibeli dari Volvo P(A2) = 0.2 T-727 yang dibeli dari Hitachi P(A3) = 0.5 T-727 yang dibeli dari Komatsu Informasi tambahannya adalah : B1 = T-727 yang mengalami cacat B2 = T-727 yang tidak mengalami cacat

Contoh kasus Peluang bersyarat dari kondisi tersebut adalah : P(B1| A1) = 0.03  probabilitas bahwa sparepart T-727 dari Volvo adalah cacat P(B1| A2) = 0.05  probabilitas bahwa sparepart T-727 dari Hitachi adalah cacat P(B1| A3) = 0.04  probabilitas bahwa sparepart T-727 dari Komatsu adalah cacat Spare part diambil dari Gudang. Karena spare part tidak diberi tanda oleh supplier,kita tidak dapat menentukan dari mana asal spare part tersebut. Kita akan menentukan probabilitas bahwa sparem part yang cacat berasal dari Hitachi, sehingga probabilitasnya adalah P(A2|B1)

Probabilitas bersyarat Contoh kasus Kejadian (Ai) Probabilitas Awal P(Ai) Probabilitas bersyarat P(B1| Ai) P(Ai dan Bi) P(Ai| B1) Volvo 0.3 0.03 0.009 0.009/0.039 = 0.2308 Hitachi 0.2 0.05 0.010 0.010/0.039 = 0.2564 Komatsu 0.5 0.04 0.020 0.020/0.039 = 0.5128 P(Bi) 0.039  = 1.0000

JUMLAH = 1          B1 = cacat Prior probability Conditional probability joint probability B1 = cacat  𝑷 𝑩 𝟏 | 𝑨 𝟏 =𝟎.𝟎𝟑 𝑷 𝑨 𝟏 𝒅𝒂𝒏 𝑩 𝟏 =𝑷 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 | 𝑨 𝟏 =𝟎.𝟑×𝟎.𝟎𝟑=𝟎.𝟎𝟎𝟗  B2 = baik A1 = Volvo  𝑷 𝑨 𝟏 𝒅𝒂𝒏 𝑩 𝟐 =𝑷 𝑨 𝟏 𝑩 𝟐 | 𝑨 𝟏 =𝟎.𝟑×𝟎.𝟗𝟕=𝟎.𝟐𝟗𝟏 𝑷 𝑨 𝟏 =𝟎.𝟑 𝑷 𝑩 𝟐 | 𝑨 𝟏 =𝟎.𝟗7 B1 = cacat 𝑷 𝑩 𝟏 | 𝑨 𝟐 =𝟎.𝟎5  𝑷 𝑨 𝟐 𝒅𝒂𝒏 𝑩 𝟏 =𝑷 𝑨 𝟐 𝑩 𝟏 | 𝑨 𝟐 =𝟎.𝟐×𝟎.𝟎𝟓=𝟎.𝟎𝟏𝟎  A2 = Hitachi B2 = baik 𝑷 𝑨 𝟐 =𝟎.𝟐  𝑷 𝑩 𝟐 | 𝑨 𝟐 =𝟎.𝟗5 𝑷 𝑨 𝟐 𝒅𝒂𝒏 𝑩 𝟐 =𝑷 𝑨 𝟐 𝑩 𝟐 | 𝑨 𝟐 =𝟎.𝟐×𝟎.𝟗𝟓=𝟎.𝟏𝟗𝟎 B1 = cacat A3 = Komatsu  𝑷 𝑩 𝟏 | 𝑨 𝟑 =𝟎.𝟎4 𝑷 𝑨 𝟑 𝒅𝒂𝒏 𝑩 𝟏 =𝑷 𝑨 𝟑 𝑩 𝟏 | 𝑨 𝟑 =𝟎.𝟓×𝟎.𝟎𝟒=𝟎.𝟎20 𝑷 𝑨 𝟑 =𝟎.5  B2 = baik  𝑷 𝑨 𝟑 𝒅𝒂𝒏 𝑩 𝟐 =𝑷 𝑨 𝟑 𝑩 𝟐 | 𝑨 𝟑 =𝟎.𝟓×𝟎.𝟗𝟔=𝟎.𝟒𝟖𝟎 𝑷 𝑩 𝟐 | 𝑨 𝟑 =𝟎.𝟗6 JUMLAH = 1