STATISTIKA 2 3. Pendugaan Parameter I OLEH: RISKAYANTO MATERI KULIAH STATISTIKA INDUKTIF ILMU EKONOMI UNIVERSITAS GUNADARMA 2018 OLEH: RISKAYANTO

PENDAHULUAN Teori inferensia statistik mencakup semua metode yang digunakan dalam penarikan kesimpulan atau generalisasi mengenai suatu populasi. Suatu penarikan contoh memungkinkan kita mengaitkan suatu taraf kepercayaan tertentu dengan setiap kesimpulan statistik yang kita buat, sebagai suatu ukuran seberapa jauh kita menaruh kepercayaan pada ketepatan statistik dalam menduga parameter populasinya. Inferensia statistik dapat dikelompokkan ke dalam 2 bidang utama, yaitu: pendugaan dan pengujian hipotesis.

PENDUGAAN KLASIK Sebuah nilai bagi suatu statistisk disebut suatu nilai dugaan bagi parameter populasi Θ. Statistik yang digunakan untuk memperoleh sebuah nilai dugaan disebut sebagai penduga atau fungsi keputusan. Ruang Keputusan: Himpunan semua kemungkinan nilai dugaan yang dapat diambil oleh suatu penduga Penduga Tak Bias: Statistik dikatakan sebagai penduga tak bias bagi parameter Θ bila = E( ) = Θ.

PENDUGAAN KLASIK Bila dan keduanya adalah penduga tak bias bagi parameter populasi Θ yang sama, ita akan memilih penduga yang sebaran penarikan contohnya mempunyai ragam terkecil. Bila σ2 < σ2 ,kita katakan bahwa merupakan penduga bagi Θ yang lebih efisien dari pada . Penduga paling efisien: Di antara semua kemungkinan penduga tak bias bagi parameter Θ, yang ragamnya terkecil adalah penduga paling efisien bagi Θ.

ESTIMATOR YANG BAIK Tidak bias; rata-rata estimator adalah nilai parame- ter populasi yang diestimasi. Efisien; varians lebih kecil dibanding estimator lain yang digunakan pada ukuran sampel yang sama. Konsisten; nilai estimator akan semakin mendekati parameter populasi, bila ukuran sampel diperbesar.

PRINSIP PENDUGAAN Untuk sebaran normal dapat diperlihatkan bahwa baik maupun , keduanya merupakan penduga tak bias bagi nilai tengah populasi µ. Tetapi ragam lebih kecil dari pada ragam . Namun sebenarnya bahkan penduga tak bias yang paling efisien pun, kecil sekali kemungkinannya menduga parameter populasi secara tepat. Salah satu jalan pemecahannya adalah dengan menggunakan pendugaan selang (interval estimation) bagi parameter populasi Θ, yaitu suatu selang yang berbentuk Θ1 < Θ < Θ2 dengan Θ1 dan Θ2 bergantung pada nilai statistik untuk suatu contoh tertentu dan juga pada sebaran penarikan contoh bagi .

JENIS PENDUGAAN Pendugaan Titik (poin estimation): adalah nilai tunggal yang dihitung dari sampel dan digunakan untuk membuat inferensi terhadap nilai parameter populasi (Θ). Pendugaan Selang (interval estimation): adalah range nilai yang dihitung dari sampel dan digunakan untuk membuat inferensi terhadap nilai parameter populasi (Θ).

HIRARKI PENDUGAAN

KONSEP PENDUGAAN SELANG Bila ukuran contoh (n) naik, maka = σ2/n akan menurun, sehingga nilai dugaan kita kemungkinannya lebih mendekati nilai parameter µ, dan ini pada akhirnya mengakibatkan selang tersebut menjadi lebih pendek. Bila kita dapat menentukan dan , sehingga: P( < Θ < ) = 1 – α Untuk 0 < α < 1, maka kita memiliki peluang 1 – α untuk memperoleh suatu contoh acak yang akan menghasilkan suatu selang yang mengandung Θ.

KONSEP PENDUGAAN SELANG Terminologi Selang < Θ < , yang dihitung dari contoh terpilih, disebut selang kepercayaan (1 – α) ×100%. Nilai 1 – α disebut koefisien kepercayaan atau derajat kepercayaan. Kedua titik ujung dan masing-masing disebut batas kepercayaan sebelah atas dan bawah.

PENDUGAAN RATA-RATA Salah satu penduga titik bagi nilai tengah (rata-rata) populasi µ adalah statistik . Sebaran penarikan contoh berpusat di µ, dan dalam sebagi- an besar penerapannya, ragamnya lebih kecil dari pada ragam- ragam penduga-penduga lainnya.

PENDUGAAN SELANG RATA-RATA α/2 α/2 1˗ α z ˗ Zα/2 Zα/2 Gambar: P( –zα/2 < Z < zα/2) = 1 – α

PENDUGAAN SELANG RATA-RATA Dengan melambangkan zα/2 bagi nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normalnya adalah α/2, maka dapat dilihat bahwa: P(–zα/2 < Z < zα/2) = 1 – α Sedangkan dalam hal ini , sehingga dengan demikian P(–zα/2 < < zα/2) = 1 – α Dengan beberapa manipulasi aljabar diperoleh: P( – zα/2 < µ < + zα/2 ) = 1 – α

PENDUGAAN SELANG RATA-RATA Selang kepercayaan bagi µ; σ diketahui Bila adalah nilai tengah contoh acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi dengan ragam σ2 diketahui, maka selang kepercayaan (1 – α)× 100% adalah: Sedangkan zα/2 adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal baku adalah α/2. Untuk asumsi σ tidak diketahui, maka simpangan baku populasi dapat diganti dengan s, asalkan n ≥ 30.

PENDUGAAN SELANG RATA-RATA Contoh 1 Suatu contoh acak 36 mahasiswa tingkat akhir memberi- kan nilai tengah dan dan simpangan baku nilai-mutu berturut-turut sebesar 2,8 dan 0,3. Buatlah selang kepercayaan 95% dan 99% untuk nilai tengah dari nilai- mutu seluruh mahasiswa tingkat akhir!

GALAT PEDUGAAN Selang kepercayaan (1 – α)×100% memberikan ukuran sejauh mana ketelitian atau akurasi nilai dugaan titiknya. Kecil sekali kemungkinannya akan tepat sama dengan µ, sehingga nilai dugaan itu akan mesti mempunyai galat (error). Bila digunakan untuk menduga µ, kita percaya (1 – α) × 100% bahwa galatnya (errornya) tidak akan melebihi zα/2 .

n PADA PENDUGAAN µ Bila digunakan untuk menduga µ, kita boleh percaya (1 – α) ×100% bahwa galatnya tidak akan melebihi suatu nilai tertentu e bila ukuran contohnya (n) diambil sebesar: Sebenarnya rumusan di atas hanya dapat digunakan bila kita mengetahui ragam populasi (σ2) yang akan diambil contohnya. Jika tidak diketahui, maka suatu contoh awal berukuran n ≥ 30 dapat diambil untuk memberi dugaan bagi σ.

n PADA PENDUGAAN µ Contoh 2 Seberapa besar contoh (sampel) yang harus diambil dalam soal Contoh 1, bila kita ingin percaya 95% bahwa nilai dugaan kita tidak menyimpang dari µ lebih dari 0,05?

PENDUGAAN SELANG RATA-RATA Pada kondisi ragamnya tidak diketahui dan ukuran contohnya kecil (n < 30), maka: Jika populasi kira-kira berbentuk genta, selang kepercayaan masih bisa diperoleh meskipun σ2 tidak diketahui, dan n kecil. Memanfaatkan sebaran penarikan contoh bagi t, yang dalam hal ini: Prosedurnya sama seperti pada contoh besar, kecuali bahwa di sini digunakan sebaran sebagai pengganti sebaran normal baku.

PENDUGAAN SELANG RATA-RATA Dapat digambarkan sebarannya dengan: α/2 α/2 1˗ α t ˗ tα/2 tα/2 Gambar: P( –tα/2 < T < tα/2) = 1 – α

PENDUGAAN SELANG RATA-RATA Dengan substitusi nilai t, maka diperoleh: P(–tα/2 < < tα/2) = 1 – α Melalui beberapa manipulasi aljabar diperoleh: P( – tα/2 < µ < + tα/2 ) = 1 – α

PENDUGAAN SELANG RATA-RATA Selang kepercayaan bagi µ untuk contoh berukuran kecil; σ tidak diketahui Bila dan s adalah nilai tengah dan simpangan baku contoh berukuran n < 30, yang diambil dari populasi berbentuk genta yang ragamnya σ2 tidak diketahui, maka selang kepercayaan (1 – α)×100% bagi µ diberikan oleh: Sedangkan dalam hal ini tα/2 adalah nilai t dengan v = n – 1 derajat bebas yang di sebelah kanannya terdapat daerah seluas α/2.

PENDUGAAN SELANG RATA-RATA Contoh 3: Isi 7 kaleng Coba-Coba adalah 9,8; 10,2; 10,4; 9,8; 10,0; 10,2; dan 9,6 ml. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah (rata-rata) seluruh kaleng yang demikian ini, jika isi kaleng-kaleng tersebut diasumsikan menyebar normal.

PENDUGAAN SELANG ǀµ1 - µ2ǀ Menurut teori penarikan contoh untuk beda dua nilai tengah (rata-rata), kita dapat mengharapkan bahwa sebaran penarikan contoh bagi – kira-kira akan menyebar normal dengan nilai tengah = µ1 – µ2 dan simpangan baku sebesar Dengan demikian kita dapat menyatakan dengan peluang 1 – α bahwa peubah acak normal baku:

PENDUGAAN SELANG ǀµ1 - µ2ǀ Selang kepercayaan bagi ̵1 – µ2Ì; dan diketahui Bila dan masing-masing adalah nilai tengah contoh acak bebas beru-kuran n1 dan n2 yang diambil dari populasi dengan ragam dan diketahui, maka selang kepercayaan (1 – α)× 100% bagi ǀµ1 – µ2ǀ adalah: Sedangkan dalam hal ini zα/2 adalah nilai peubah normal z yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar α/2.

PENDUGAAN SELANG ǀµ1 - µ2ǀ Contoh 4 Suatu ujian kimia diberikan kepada 50 siswa perempuan dan 75 siswa laki-laki. Siswa perempuan mencapai nilai rata-rata 76, dengan simpangan baku 6. Siswa laki-laki mendapat nilai rata- rata 82 dengan simpangan baku 8. Tentukan selang kepercayaan 96% bagi beda ǀµ1 – µ2ǀ, dalam hal ini µ1 adalah nilai tengah skor semua siswa laki-laki dan µ2 adalah nilai te-ngah skor semua siswa perempuan yang mungkin mengambil ujian ini.

PENDUGAAN SELANG ǀµ1 - µ2ǀ Jika dimisalkan dan tidak diketahui, serta n1 dan n2 kecil (n < 30). Apabila , kita mendapatkan peubah normal baku dalam bentuk: Sementara itu σ2 harus diduga dengan cara menggabungkan ragam kedua contoh. Pendugaan gabungan ( ) diperoleh melalui rumus berikut:

PENDUGAAN SELANG ǀµ1 - µ2ǀ Dengan mensubstitusi bagi σ2 dan memperhatikan bahwa pembagi dalam adalah n1+n2–2 maka akan didapatkan statistik: Yang menyebar menurut sebaran t dengan v = n1+n2–2 derajat bebas. Selanjutnya, melalui beberapa manipulasi aljabar, diperoleh selang kepercayaan (1 – α)×100% bagi ǀµ1 – µ2ǀ.

PENDUGAAN SELANG ǀµ1 - µ2ǀ Selang kepercayaan bagi ̵1 – µ2Ì; untuk contoh berukuran kecil tetapi nilai tidak diketahui Bila dan masing-masing adalah nilai tengah contoh acak bebas beru-kuran kecil n1 dan n2 yang diambil dari populasi yang hampir normal dengan ragam sama tetapi tidak diketahui nilainya, maka selang kepercaya-an (1 – α)×100% bagi ǀµ1 – µ2ǀ diberikan oleh rumus: Dalam hal ini Sp adalah nilai dugaan gabungan bagi simpangan baku populasi dan tα/2 adalah nilai t dengan v = n1+n2–2 derajat bebas yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar α/2.

PENDUGAAN SELANG ǀµ1 - µ2ǀ Contoh 5: Suatu pelajaran matematika diberikan pada 12 siswa dengan metode pengajaran yang biasa. Pelajaran yang sama diberikan pula pada 10 siswa, tetapi dengan metode pengajaran yang menggunakan bahan yang telah diprogramkan. Pada akhir semester pada tiap kelas diberikan ujian yang sama. Kelas yang pertama mencapai nilai rata-rata 85 dengan simpangan baku 4, sedangkan kelas yang kedua mencapai nilai rata-rata 81 dengan simpangan baku 5. Tentukan selang kepercayaan 90% bagi selisih antara kedua nilai tengah populasi , bila diasumsikan kedua populasi menyebar mendekati normal dengan ragam yang sama.

PENDUGAAN SELANG ǀµ1 - µ2ǀ Untuk contoh yang kecil, bila kedua ragam populasi yang tidak diketahui tersebut kecil sekali kemungkinannya untuk sama, dan kita tidak mungkin mengambil contoh yang sama, maka statistik yang digunakan adalah: Statistik t’ sebarannya menghampiri sebaran t dengan v derajat bebas, yang dalam hal ini:

PENDUGAAN SELANG ǀµ1 - µ2ǀ Selang kepercayaan bagi ̵1 – µ2Ì; untuk contoh berukuran kecil tetapi nilai tidak diketahui Bila dan , serta dan masing-masing adalah nilai tengah contoh dan ragam contoh bebas berukuran kecil n1 dan n2 yang mendekati normal dengan ragam tidak sama dan tidak diketahui nilainya, maka selang keper-cayaan (1 – α)×100% bagi ǀµ1 – µ2ǀ yang merupakan dhampiran diberikan oleh rumus: Sedangkan dalam hal ini tα/2 adalah nilai t dengan derajat bebasbas yang di sebelah kanannya terdapat daerah seluas α/2.

PENDUGAAN SELANG ǀµ1 - µ2ǀ Contoh 6 Catatan selama 15 tahun terakhir menunjukkan bahwa curah hujan di suatu daerah rata-rata selama bulan Mei adalah 4,93 cm dengan simpangan baku 1,14 cm. Di daerah lain, catatan serupa selama 10 tahun terakhir menunjukkan bahwa curah hujan rata-rata di bulan Mei adalah 2,64 cm dengan simpang- an baku 0,66 cm. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi selisih curah hujan rata-rata yang sebenarnya selama bulan Mei di kedua daerah itu, bila diasumsikan bahwa pengamatan- pengamatan itu berasal dari dua populasi normal dengan ragam yang berbeda.

PENDUGAAN SELANG ǀµ1 - µ2ǀ Bila kedua contoh tidak bebas dan ragam kedua populasi tidak dapat dianggap sama → hal ini terjadi bila pengamatan dalam kedua contoh saling berpasang-pasangan, sehingga kedua pengamatan itu berhubungan. Selang kepercayaan (1 – α)×100% bagi µD dapat diperoleh dengan menyatakan: P(–tα/2 < T < tα/2) = 1 – α Sedangkan dalam hal ini,

PENDUGAAN SELANG ǀµ1 - µ2ǀ Selang kepercayaan bagi µD = µ1 – µ2 untuk pengamatan berpasangan Bila dan sD masing-masing adalah nilai tengah dan simpangan baku selisih n pengamatan berpasangan, maka selang kepercaya-an (1 – α)×100% bagi µD = ǀµ1 – µ2ǀ adalah: Sedangkan dalam hal ini tα/2 adalah nilai t dengan v = n – 1 derajat bebas yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar α/2.

PENDUGAAN SELANG ǀµ1 - µ2ǀ Contoh 7 Dua puluh mahasiswa tingkat I dibagi ke dalam 10 pasang, di mana setiap pasangan memiliki IQ yang kira-kira sama. Salah seorang dari tiap pasangan diambil secara acak dan dimasuk- kan ke dalam kelas yang hanya menggunakan bahan terpro- gramkan. Anggota pasangan yang lain dimasukkan ke dalam kelas biasa. Pada akhir semester, pada kedua grup tersebut diberikan ujian yang sama dan hasilnya adalah sebagai berikut:

PENDUGAAN SELANG ǀµ1 - µ2ǀ Tentukan selang kepercayaan 98% bagi selisih sesungguhnya dalam kedua metode pengajaran tersebut.