Operations Research Linear Programming (LP) Dosen Febriyanto, SE. MM.

Linear Programming Metode Grafik Linear programing (LP) adalah salah satu metode matematis yang digunakan untuk membantu manajer dalam pengambilan keputusan. Metode Grafik: Masalah Maximisasi Langkah mencari solusi optimal secara grafik adalah sebagai berikut: Langkah [1]. Gambarkan kendala dan tentukan daerah yang layak (feasible solution space). Langkah [2]. Gambarkan garis fungsi tujuan. Langkah [3]. Dapatkan solusi optimal, dengan cara mencari nilai variabel keputusan yang dapat memaksimumkan fungsi tujuan. Operations Research (Febriyanto, SE., MM)

Linear Programming Metode Grafik Contoh. Masalah Product Mix. PT. VENUS adalah pabrik yang memiliki dua jenis produk yaitu Astro dan Cosmos. Untuk memproduksi kedua produk, diperlukan bahan baku X, bahan baku Y dan jam tenaga kerja. Maksimum penyediaan bahan baku X adalah 60 kg per hari, bahan baku Y 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan bahan baku dan jam tenaga kerja, dapat dilihat dalam Tabe berikut. Produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40,00 untuk Astro dan Rp30,00 untuk cosmos. Masalahnya, bagaimana menentukan jumlah produk yang akan diproduksi dalam setiap hari agar mencapai laba max. Operations Research (Febriyanto, SE., MM)

Linear Programming Metode Grafik Sumbangan keuntungan sebesar Rp 40,00 untuk Astro dan Rp30,00 untuk cosmos Z mak = 40x1 + 30x2 d.k [1] 2X1 + 3X2 ≤ 60 (bahan baku A) [2] 2X2 ≤ 30 (bahan baku B) [3] 2X1 + 1X2 ≤ 40 (jam tenaga kerja) [4] X1 ≥ 0 (nonnegativity) [5] X2 ≥ 0 (nonnegativity). Operations Research (Febriyanto, SE., MM)

Linear Programming Metode Grafik Langkah 1: Menggambarkan grafik kendala Kendala 1: Bahan baku A. Kendala 2x1 + 3x2 ≤ 60  2x1 + 3x2 = 60. Bila x1 = 0, Maka x2 = 60/3 = 20 Bila x2 = 0, Maka x1 = 60/2 = 30. Operations Research (Febriyanto, SE., MM)

Linear Programming Metode Grafik Kendala 2: Bahan baku B. Kendala 2x2 ≤ 30 2x2 = 30, x2 = 30/2 X2 = 15. Operations Research (Febriyanto, SE., MM)

Linear Programming Metode Grafik Kendala 3: Jam tenaga kerja. 2x1 + 1x2 ≤ 40 2x1 + 1x2 = 40 bila x1 = 0, maka x2 = 40/1 = 40 bila x2 = 0, maka x1 = 40/2 = 20 Operations Research (Febriyanto, SE., MM)

Linear Programming Metode Grafik Langkah 2: Daerah feasible (feasible solution space) adalah daerah yang diliputi oleh semua kendala. Untuk mendapatkan daerah ini, kita ambil setiap daerah feasible yang terdapat pada ketiga gambar. Daerah feasible terletak pada ersilangan ketiga gambar tersebut. Dalam Gambar 3.4 daerah feasible adalah titik ABCDE. Operations Research (Febriyanto, SE., MM)

Linear Programming Metode Grafik Langkah 3. Mendapatkan solusi optimal [1] 2x1 + 3x2 = 60 [3] 2x1 + 1x2 = 40 - 2x2 = 20 X2 = 10 Masukkan X2 = 10 ke dalam salah satu persamaan: 2x1 + 3(10) = 60 2x1 + 30 = 60 => 2x1 = 60 – 30 => 2x1 = 30 x1 = 15. Nilai optimum fungsi tujuan dapat ditemukan dengan memasukkan x1 = 15 dan x2 = 10 ke dalam fungsi tujuan Z: Z = 40(15) + 30(10) Z = 600 + 300 Z = 900 Operations Research (Febriyanto, SE., MM)

Linear Programming Metode Grafik Setelah melakukan analisa, secara praktis dapat disimpulkan bahwa: Kombinasi produk optimum (optimum product mix) adalah memproduksi 15 astro dan 10 cosmos setiap hari, dengan maksimum keuntungan per hari Rp900,00. Operations Research (Febriyanto, SE., MM)

LP Metode Grafik Maximisasi Masalah Maksimum Keuntungan: Sebuah perusahaan menghasilkan dua jenis produk, yaitu G dan T. Kedua jenis produk diproses melalui tiga departmen dengan kapasitas jam kerja serta waktu proses setiap produk adalah sebagai berikut: Kedua jenis produk, memberikan sumbangan keuntungan sebesar Rp. 30 untuk G dan Rp. 20 untuk T. Bagaimana kombinasi pengerjaan agar memperoleh keuntungan maksimum. Keterangan Jenis Produk Kapasitas (jam) G T Dept. Pencampuran Dept. Penyaringan Dept. Penyelesaian 1 2 40 25 Operations Research (Febriyanto, SE., MM)

LP Metode Grafik Maximisasi Masalah Maksimum Keuntungan: Kedua jenis produk, memberikan sumbangan keuntungan sebesar Rp. 30 untuk G dan Rp. 20 untuk T. Bagaimana kombinasi pengerjaan agar memperoleh keuntungan maksimum. Formulasi LP Zmak = 30G + 20T d.k. (1) G + 2T ≤ 40 (2) 2G + T ≤ 40 (3) G + T ≤ 25 (4) G ; T ≥ 0 Keterangan Jenis Produk Kapasitas (jam) G T Dept. Pencampuran Dept. Penyaringan Dept. Penyelesaian 1 2 40 25 Operations Research (Febriyanto, SE., MM)

LP Metode Grafik Maximisasi Formulasi LP Zmak = 30G + 20T d.k. (1) G + 2T ≤ 40 (2) 2G + T ≤ 40 (3) G + T ≤ 25 (4) G ; T ≥ 0 Kendala 1 G + 2T ≤ 40, atau G + 2T = 40 G = 0,  T = 20; dan jika T = 0,  G = 40 Kendala 2 2G + T ≤ 40, atau 2G + T = 40 Jika G = 0,  T = 40; dan jika T = 0,  G = 20 Kendala 3 G+T ≤ 25, atau G + T = 25 Jika G = 0,  T = 25; dan jika T = 0,  G = 25 Operations Research (Febriyanto, SE., MM)

LP Metode Grafik Maximisasi Fungsi tujuan Zmak = 30G + 20T, Jika Z = Rp 300, Jika produk T = 0, produk G = 10. Jika produk G = 0, produk T = 15. Operations Research (Febriyanto, SE., MM)

LP Metode Grafik Maximisasi Jika grafik fungsi tujuan digeser kekanan menjauhi titik origin, maka titik ekstrim C merupakan titik ekstrim optimum, yaitu titik yang disinggung oleh garis fungsi tujuan yang terjauh dari titik nol. Titik ekstrim C, terbentuk dari perpotongan garis kendala departemen penyaringan dan penyelesaian. 2G + T = 40 2(15) + T = 40 G + T = 25 - T = 10 G = 15 Dari hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa untuk mendapatkan keuntungan maksimum produk G yang harus diproduksi sebanyak 15 unit dan produk T sebanyak 10 unit, dengan total keuntungan sebesar: Zmak = 30G + 20T Zmak = 30(15) + 20(10) = 450 + 200 Zmak = Rp 650 Operations Research (Febriyanto, SE., MM)

Linear Programming Metode Grafik Tugas. Masalah Product Mix. Produk P memberikan keuntungan sebesar Rp (NPM) dan Rp.(NPM) untuk Q. Masalahnya, bagaimana menentukan jumlah produk yang akan diproduksi dalam setiap hari agar mencapai laba max, jika datanya sebagai berikut: Untuk memproduksi kedua produk, diperlukan bahan baku X, bahan baku Y dan jam tenaga kerja. Maksimum penyediaan bahan baku X adalah 80 kg per hari, bahan baku Y 50 kg per hari dan tenaga kerja 60 jam per hari. Kebutuhan bahan baku dan jam tenaga kerja, sebagai berikut. Produk P memerlukan bahan baku X sejumlah 4 dan tenaga kerja 4. Produk Q membutuhkan baku X sebanyak 5, bahan baku Y sebanyak 4 dan tenaga kerja 3. Operations Research (Febriyanto, SE., MM)