4. Pendugaan Parameter II STATISTIKA 2 4. Pendugaan Parameter II MATERI KULIAH STATISTIKA INDUKTIF ILMU EKONOMI UNIVERSITAS GUNADARMA 2018 OLEH: RISKAYANTO

PENDUGAAN SELANG PROPORSI Penduga titik bagi proporsi p dalam suatu percobaan binom diberikan oleh statistik = X/n, di mana X me- nyatakan banyaknya keberhasilan dalam n ulangan → proporsi contoh = x/n akan digunakan sebagai nilai dugaan. Bila proporsi p yang tak diketahui terlalu dekat pada 0 atau 1, maka dapat dibuat selang kepercayaan bagi p dengan mempelajari sebaran penarikan contoh bagi yang merupakan kelipatan peubah acak X. Dari sebaran penarikan contoh bagi untuk n yang cukup besar, didapatkan bahwa

PENDUGAAN SELANG PROPORSI dan Dengan demikian, kita dapat menyatakan bahwa P(–zα/2 < Z < zα/2) = 1 – α Sedangkan dalam hal ini,

PENDUGAAN PROPORSI Selang kepercayaan bagi p untuk contoh berukuran besar Bila adalah proporsi keberhasilan dalam suatu contoh acak berukuran n, dan = 1 – , maka selang kepercayaan kira-kira (1 – α)× 100% bagi parameter binom p diberikan oleh: Sedangkan zα/2 adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal baku adalah α/2.

PENDUGAAN PROPORSI Contoh 8 Dari suatu contoh acak 500 orang yang makan siang di sebuah restoran selama beberapa hari Jum’at, diperoleh informasi bahwa x = 160 orang yang menyukai seafood. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi proporsi sesungguhnya orang yang menyukai makanan laut untuk makan siangnya pada hari Jum’at di restoran ini.

PENDUGAAN PROPORSI Kecil sekali kemungkinannya untuk terjadi bahwa tepat sama dengan p. Dengan kata lain, nilai dugaan titik itu hampir pasti mempunyai galat (eror). Besarnya galat ini sama dengan nilai mutlak selisih p dengan dan kita percaya (1 – α)×100% bahwa selisih ini tidak mele- bihi zα/2 . Jadi. bila digunakan sebagai nilai dugaan titik bagi p, maka kita dapat percaya (1 – α)×100% bahwa galatnya tidak lebih besar dari zα/2 .

PENDUGAAN PROPORSI Ukuran contoh bagi pendugaan p Bila digunakan untuk menduga p, maka kita percaya (1 – α)×100% bahwa galatnya tidak melebihi suatu besaran tertentu e, bila ukuran contohnya diambil sebesar Ketentuan ini sebenarnya agak membingungkan, karena kita harus menggunakan untuk menentukan ukuran contoh n, sementara sendiri dihitung dari contoh yang diperoleh.

PENDUGAAN PROPORSI Patokan untuk menentukan ukuran contoh dalam pendugaan p dengan demikian mengikuti dalil berikut ini. Bila digunakan sebagai suatu nilai dugaan bagi p, maka kita percaya sekurang-kurangnya (1 – α)×100% bahwa galatnya tidak akan melebihi suatu besaran tertentu e, bila ukuran contohnya adalah

PENDUGAAN PROPORSI Contoh 9 Berapa besarnya ukuran contoh yang diperlukan dalam Contoh 8, bila kita ingin percaya sekurang-kurangnya 95% bahwa nilai dugaan bagi p yang dihasilkannya berada dalam jarak sebesar-besarnya 0,02?

PENDUGAAN SELANG ǀp1 - p2ǀ Selang kepercayaan bagi ǀp1 – p2ǀ dapat disusun berdasarkan sebaran penarikan contoh . Karena kedua contoh bebas satu sama lain, maka peubah acak dan juga bebas, sehingga dapat disimpulkan bahwa kira-kira menyebar normal dengan nilai tengah dan ragam

PENDUGAAN SELANG ǀp1 - p2ǀ Untuk keperluan pembentukan selang kepercayaan, maka dalam kasus ini: Dengan mengganti p1 dan p2 dengan nilai dugaannya, masing- masing dan serta melalui beberapa manipulasi aljabar, maka dapat diperoleh selang kepercayaan bagi ǀp1 – p2ǀ

PENDUGAAN SELANG ǀp1 - p2ǀ Selang kepercayaan contoh besar bagi Ìp1 – p2Ì Bila dan masing-masing adalah proporsi keberhasilan dalam contoh acak yang berukuran n1 dan n2, serta dan , maka selang ini kepercayaan kira-kira (1 – α)× 100% bagi selisih antara dua parameter binom ǀp1 – p2ǀ adalah: Sedangkan dalam hal ini zα/2 adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanannya adalah sebesar α/2.

PENDUGAAN SELANG ǀp1 - p2ǀ Contoh 10 Suatu pengumpulan pendapat umum dilakukan terhadap penduduk kota dan penduduk sekitar kota tersebut untuk menyelidiki kemungkinan diajukannya rencana pembangunan suatu kompleks gedung serba guna. Bila 2400 di antara 5000 penduduk kota dan 1200 di antara 2000 penduduk sekitar kota tersebut yang diwawancarai menyetujui rencana tersebut, buatlah selang kepercayaan 90% bagi selisih proporsi sebenar- nya yang menyetujui rencana tersebut.

PENDUGAAN SELANG RAGAM Ragam contoh S2 akan digunakan sebagai nilai dugaan titik σ2. Selang kepercayaan bagi σ2 dapat diperolehh dengan menggunakan statistik χ2 yang disebut chi-kuadrat, dan sebaran penarikan contohnya dikenal dengan sebaran chi- kuadrat dengan v = n – 1 derajat bebas. Statistik χ2 sendiri didefinisikan dengan: Rumusan di atas menunjukkan bahwa nilai-nilai χ2 tidak pernah negatif, sehingga kurva sebaran chi-kuadrat tidak mungkin setangkup terhadap χ2 = 0.

PENDUGAAN SELANG RAGAM Bentuk suatu kurva chi-kuadrat dengan n dan v tertentu tidak simetris, terutama untuk ukuran contoh yang kecil.

PENDUGAAN SELANG RAGAM Peluang bahwa suatu contoh acak akan menghasilkan nilai χ2 lebih besar dari pada suatu nilai tertentu, sama dengan luas daerah di bawah kurva di sebelah kanan nilai ini, dan ini dilambangkan dengan α. Karena bentuknya yang tidak setangkup (simetris), maka untuk pembuatan selang kepercayaan σ2, kita harus mencari nilai 1 – α/2 di samping α/2 untuk χ2. Dengan mengacu pada gambar di slide sebelumnya, kita dapat menyatakan bahwa

PENDUGAAN SELANG RAGAM Selang kepercayaan σ2 Bila s2 adalah ragam contoh acak berukuran n yang ditarik dari suatu populasi normal, maka selang kepercayaan (1 – α)× 100% bagi σ2 diberikan oleh rumusan: Sedangkan dan adalah nilai-nilai χ2 dengan v = n – 1 derajat bebas yang luas daerah di sebelah kanannya berturut-berturut adalah α/2 dan 1 – α/2.

PENDUGAAN SELANG RAGAM Contoh 11 Data berikut ini berupa volume (dalam desi liter), 10 kaleng buah peach hasil produksi sebuah perusahaan tertentu: 46,4; 46,1; 45,8; 47,0; 46,1; 45,9; 45,8; 46,9; 45,2; dan 46,0. Buatlah selang kepercayaan 95% bagi ragam volume kaleng buah peach produksi perusahaan tersebut, bila diasumsikan volume kaleng tersebut menyebar normal.

PENDUGAAN SELANG RASIO RAGAM Nilai dugaan titik bagi rasio dua ragam populasi diberikan oleh rasio ragam contohnya masing-masing . Bila dan keduanya merupakan ragam populasi normal, maka kita dapat membuat selang kepercayaan bagi dengan menggunakan statistik Besaran penarikan contohnya disebut dengan sebaran F. Secara teoritik, statistik F dapat didefinisikan sebagai rasio 2 peubah chi-kuadrat bebas, yang masing-masing dibagi oleh derajat bebasnya.

PENDUGAAN SELANG RASIO RAGAM Dengan demikian, bila f adalah sebuah nilai bagi peubah acak F, maka Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa f adalah sebuah nilai bagi sebaran F dengan v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 – 1 derajat bebas. Sebagaimana dengan sebaran penarikan contoh untuk ragam, maka sebaran f juga akan menghasilkan kurva yang tidak setangkup (simetris). Demikian juga bahwa fα adalah nilai f yang di sebelah kanan- nya terdapat daerah seluas α.

PENDUGAAN SELANG RASIO RAGAM Dengan menuliskan fα(v1, v2) untuk fα dengan v1 dan v2 derajat bebas, maka Untuk mendapatkan selang kepercayaan bagi , maka gambar di bawah ini bisa menunjukkan bahwa P[f1–α/2(v1, v2) < F < fα/2(v1, v2)] = 1 – α

PENDUGAAN SELANG RASIO RAGAM Selang kepercayaan . Bila dan adalah ragam dua contoh bebas berukuran n1 dan n2 yang diambil dari suatu populasi normal, maka selang kepercayaan (1 – α)× 100% bagi diberikan oleh rumusan: Sedangkan dalam hal ini fα/2(v1, v2) merupakan nilai f untuk v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 – 1 derajat bebas yang di sebelah kanannya terdapat daerah seluas α/2.

PENDUGAAN SELANG RASIO RAGAM Contoh 12 Suatu tes penempatan untuk matematika diberikan pada 25 siswa laki-laki dan 16 siswa perempuan. Siswa laki-lai mencapai nilai rata-rata 82 dengan simpangan baku 8, sedangkan siswa perempuan mencapai nilai rata-rata 78 dengan simpangan baku 7. buatlah selang kepercayaan 98% bagi dan σ1/σ2, bila dan masing-masing adalah ragam populasi semua nilai siswa laki-laki dan perempuan yang mungkin mengambil tes tersebut. Asumsikan bahwa populasinya menyebar normal.