HOMOMORFISMA GRUP

Dalam mempelajari sistem, perlu juga mempelajari tentang suatu fungsi yang mengawetkan operasi aljabar. Sebagai contoh, dalam aljabar linier dipelajari tentang alih ragam linier ( linier transformation ). Fungsi ini T : V  W mengawetkan penjumlahan dan pergandaan skalar. Definisi VII.1 Diketahui pemetaan/fungsi f : A  B. Fungsi f dikatakan surjektif jika dan hanya jika untuk setiap y  B terdapat x  A sehingga y = f(x).

Contoh VII.1 : Diketahui fungsi f : R  R dengan f(x) = x. Fungsi f merupakan fungsi yang surjektif. Sedangkan fungsi f : R  R dengan f(x) = x2 bukan fungsi surjektif karena -2  R tetapi tidak ada x  R sehingga f(x) = x2 = -2. Definisi VII.1 Diketahui pemetaan/fungsi f : A  B. Fungsi f dikatakan injektif jika dan hanya jika untuk setiap x, y  A dengan f(x) = f(y) berlaku x = y.

Contoh VII.2 : Diketahui fungsi f : R  R dengan f(x) = x3. Fungsi f merupakan fungsi yang injektif karena untuk setiap x, y  R dengan f(x) = f(y) maka x3 = y3 sehingga berlaku x = y. Sedangkan fungsi f : R  R dengan f(x) = x2 bukan fungsi injektif karena ada -2 , 2  R dan -2 ≠ 2 tetapi f(-2) = (-2)2 = 4 = 22 = f(2). Definisi VII.1 Diketahui pemetaan/fungsi f : A  B. Fungsi f dikatakan bijektif jika f injektif dan f surjektif.

Contoh VII.3 : 1. Fungsi f : R  R dengan f(x) = x merupakan fungsi bijektif. 2. Fungsi f : R  R dengan f(x) = x2 merupakan bukan fungsi bijektif karena f tidak injektif. 3. Fungsi f : R  R dengan f(x) = 2 x + 3 merupakan fungsi bijektif. 4. Fungsi f : R  R dengan f(x) = x3 merupakan fungsi bijektif. 5. Fungsi f : R  R+ dengan f(x) = ex merupakan fungsi bijektif. Definisi VII.1 Misalkan < G, * > dan < H, .> grup. Pemetaan f : G  H dinamakan homomorfisma grup jika f mengawetkan operasi yaitu asalkan bahwa f(x * y) = f(x) . f(y) untuk semua x, y  G.

Contoh VII.4 Misalkan < G, . > suatu grup abelian dan n bilangan bulat tertentu. Akan ditunjukkan bahwa aturan f(x) = xn mendefinisikan suatu homomorfisma f : G  G. Karena f(xy) = (xy)n = xn yn = f(x) f(y) maka f mengawetkan operasi. Khususnya,  : Z10*  Z10* dengan  (x) = x2. Hal itu berarti (1) = 1, (3) = 9, (7) = 9, dan (9) = 1. Contoh VII.5 Determinan sebenarnya merupakan homomorfisma dari M2x2* ke R* karena determinan mempunyai sifat det(AB) = det(A) . det(B) yang berarti fungsi determinan mengawetkan operasi. Dalam hal ini determinan juga merupakan fungsi yang surjektif.

Suatu homomorfisma grup yang bijektif (surjektif dan injektif) dinamakan isomorfisma grup, sedangkan isomorfisma dari grup G ke dirinya sendiri dinamakan automorfisma. Dalam teori grup automorfisma dapat digunakan untuk menghubungkan grup bagian dari suatu grup G dengan grup bagian yang lain dalam upaya menganalisis struktur dari grup G. Salah satu bentuk automorfisma yang penting adalah sebagai berikut: untuk setiap b dalam G terdapat suatu automorfisma fb yang membawa x ke konjugatnya yaitu b-1xb. Peta dari sebarang grup bagian S dibawah automorfisma fb adalah b-1Sb = { b-1 s b | s dalam S }. Dalam hal ini merupakan grup bagian dari G yang isomorfis dengan S. Berbagai grup bagian b-1Sb dinamakan konjugat dari S.

Manfaat utama dari homomorfisma f : G  H yaitu dengan melihat sifat-sifat dari petanya (image) dapat disimpulkan sifat-sifat dari grup G.   Definisi VII.3 Peta Im(f) atau f(G) dari homomorfisma grup f : G  H didefinisikan sebagai Im(f) = f(G) = { f(g) | g  G }. Peta dari homomorfisma f sama dengan H jika f surjektif atau f pada (onto) H.

Teorema VII.1 Jika f : G  H homomorfisma grup maka Im(f) grup bagian dari H. Bukti Akan dibuktikan bahwa f(G) tertutup. Ambil sebarang f(a), f(b) dalam f(G). Karena f homomorfisma maka f(ab) = f(a) f(b). Tetapi a, b dalam G sehingga ab dalam G (sebab G grup). Jadi f(a) f(b) = f(ab) dalam G dengan ab dalam G atau f(G)tertutup. Akan dibuktikan bahwa e dalam f(G) Anggota e adalah identitas dalam H untuk membedakan dengan e dalam G. Misalkan f(b) sebarang anggota dalam Im(f). Karena f(b) dalam Im(f) maka f(e) f(b) = f(eb) = f(b) = e f(b). Dengan menggunakan hukum kanselasi kanan didapat f(e) = e.

Akan dibuktikan f(G) mengandung invers dari anggota f(G). Misalkan f(x) dalam f(G). Anggota f(x-1) merupakan invers dari f(x) karena f(x) f(x-1) = f(xx-1) = f(e) = e. Dengan cara yang sama, didapat f(x-1) f(x) = e dan f(x-1) invers (yang tunggal) dari f(x) dengan f(x-1) dalam f(G).

Latihan Tentukan fungsi ini homomorfisma atau bukan. f : Z  R* dengan f(k) = 2 . f : R  R dengan f(x) = x . f : Z  Z dengan f(k. 1) = k. 1. Jika pada soal nomor 1 di atas homomorfisma maka tentukan peta. Jika G dan H sebarang grup dan f : G  H dengan f(x) = e untuk semua x dalam G buktikan bahwa f homomorfisma.

Diketahui Z3* = { 1, 2 } dan f : Z3*  Z3* dengan f(x) = x2. Apakah f homomorfisma bijektif ? Diketahui Z3* = { 1, 2 } dan f : Z3*  Z3* dengan f(x) = x3. Diketahui Z5* = { 1, 2,3,4 } dan f : Z5*  Z5* dengan f(x) = x2. Diketahui Z7* = { 1, 2, 3,4,5,6 } dan f : Z7*  Z7* dengan f(x) = x3.

TERIMA KASIH