III. Dinamika Robot 1.Pendahuluan  Persamaan Dinamika : Formulasi matematis yang menggambarkan tingkah laku dinamis dari manipulator dengan memperhatikan gaya yang menyebabkan pergerakan tersebut.  Persamaan dinamika digunakan untuk kebutuhan : Simulasi pergerakan lengan robot Perancangan strategi dan algoritma kendali agar lengan robot memenuhi tanggapan dan kinerja yang diinginkan Evaluasi perancangan kinematika dan struktur dari lengan robot

III. Dinamika Robot 1.Pendahuluan  Terdapat dua permasalahan dinamika robot : Forward Dynamic Problem : Persamaan dinamika digunakan untuk menghitung nilai posisi, kecepatan dan percepatan dari setiap joint apabila diberikan gaya/torsi pada setiap joint Inverse Dynamic Problem : Persamaan dinamika digunakan untuk menghitung nilai gaya/torsi setiap joint apabila diberikan posisi, kecepatan dan percepatan dari setiap joint  Terdapat Beberapa Pendekatan untuk menentukan Persamaan Dinamika Lagrange-Euler Formulation (LE): Menghasilkan persamaan diferensial orde dua non-linier. Sifat alami sistem Robot. Sangat baik untuk kebutuhan simulasi Newton-Euler Formulation (NE) : Menghasilkan persamaan linier rekursif. Sangat baik untuk komputasi real-time (inverse dynamic problem)

III. Dinamika Robot 1.Pendahuluan Generalized D’Alembert Formulation : Menghasilkan Persamaan diferensial orde dua penyederhanaan LE namun memeilki komputasi real-time yang lebih baik  Pendekatan formulasi 2 diatas dengan asumsi : Link berupa benda tegar (rigid body) Tidak termasuk aspek dinamik dari perangkat kendali elektronik, backlash dan gesekan akibat transmisi (gear, belt/pully, chain)

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Perhatikan Persamaan Lagrange-Euler :  Dimana :

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Kecepatan Joint dari Lengan Robot Perhatikan gambar, dimana i r i adalah posisi sebuah titk yang terletak di link i yang ikut bergerak bersama link i. Titik tersebut ( i r i )dipandang terhadap kerangka koordinat diam (base, 0x 0 y 0 z 0 ) Dimana :

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Jika joint i berbentuk revolute  Jika joint i berbentuk prismatic

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Kecepatan titik i r i terhadap kerangka koordinat base  Turunan parsial 0 A i terhadap q j

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Jika joint i berbentuk revolute  Jika joint i berbentuk prismatic

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Contoh : Robot dengan semua joint berbentuk revolute

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Dengan demikian secara umum, untuk i = 1,2,…...n Persamaan diatas dapat diinterpretasikan sebagai pengaruh dari pergerakan joint j pada semua titik di link i  Untuk penyederhanaan notasi, didefinisikan :  Sehingga persamaan diatas dapat ditulis ulang :

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Dengan menggunakan notasi tadi, maka bentuk persamaan kecepatan  Dapat dinyatakan menjadi

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Persamaan U ij menunjukkan bagaimana pengaruh pergerakan joint j terhadap semua titik di joint i. Namun semua titik di joint i tidak hanya dipengaruhi oleh sebuah joint tetapi juga oleh pengaruh interaksi joint yang lain, mengingat bahwa sebuah pergerakan manipulator merupakan pergerakan semua joint.  Pengaruh interaksi antara joint-joint dinyatakan sebagai : Persamaan diatas dapat diinterpretasikan sebagai pengaruh dari pergerakan joint j dan joint k pada semua titik di link i

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Energi Kinetik dari link i. Perhatikan dK i adalah energi kinetik dari partikel dengan massa dm pada link i terhadap KK base

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation Matrik U ij adalah kecepatan perubahan dari titik i r i pada link i relatif terhadap KK base karena perubahan posisi joint q j U ij bernilai konstan untuk semua titik di link i dan tidak tergantung pada distribusi massa dari link i Selain itu kecepatan joint i (dq i /dt) tidak bergantung pada distribusi massa link i  Energi kinetic semua titik di link i

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation Dimana Inersia semua titik di link i adalah :  Melalui pendekatan tensor inersia, pers. diatas menjadi

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation Dimana titik pusat massa dari link i : Kronecker delta m i : massa dari link i  Energi Kinetik Keseluruhan Robot

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Energi Potensial Link i, P i  Energi Potensial Keseluruhan Robot, diperoleh dengan menjumlahkan energi potensial setiap link diatas, menjadi

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Apabila Energi Kinetik, K, dan Energi Potensial, P, keseluruhan robot telah diketahui, maka fungsi Lagrange, L = K – P, adalah  Dengan menerapkan formulasi Lagrange-Euleur untuk menghitung nilai gaya/torsi yang diperlukan pada setiap link

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Persamaan sebelumnya dapat disederhanakan menjadi  Atau dalam bentuk matriks  dimana ; Vektor Torsi setiap Joint ; Vektor Posisi setiap Joint ; Vektor Kecepatan setiap Joint ; Vektor Percepatan setiap Joint

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  dimana D( q ) = Matrik Inersia (simetri), dengan elemen-elemennya adalah h( q ) = Vektor Gaya Centrifugal dan Coriolis (non-linier), dengan elemen-elemennya adalah dimana

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  dimana c( q ) = Vektor Gaya Gravitasi dengan elemen-elemennya adalah dimana

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Sebagai ilustrasi untuk robot enam derajat kebebasan dengan semua joint revolute/rotary Matriks Inersia D(q)

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation Matriks Inersia D(q)

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation Matriks Inersia D(q)

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation Vektor Gaya Centrifugal dan Coriolis h( ,d  /dt) dimana i =1,2,……..6

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation Vektor Gaya Gravitasi c(  ) dimana

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation Kompleksitas komputasi Persamaan Dinamis LE

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link Diasumsikan : Joint Variable :  1,  2 ; Massa Link = m 1, m 2 ; Parameter Link :  1 =  2 = 0, d 1 = d 2 = 0 dan a 1 = a 2 = l Menghitung i-1 A i

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link Menghitung Interaksi Antar Joint

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link Menghitung Interaksi Antar Joint

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link Menghitung Inersia, dengan asumsi bentuk link simetri, yang mengakibatkan pusat massa adalah titik pusat dari KK yang sejajar dengan KK link tersebut, maka bentuk pseudo Inersia menjadi

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link Menghitung Pseudo Inersia Menghitung Elemen Matrik Inersia D 11, D 12, D 22

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link Menghitung Elemen Matrik Inersia D 11, D 12, D 22

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link Menghitung Elemen Vektor Centrifugal dan Coriolis Untuk i =1 Dimana :

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link Menghitung Elemen Vektor Centrifugal dan Coriolis Untuk i = 2 Vektor Gaya Centrifugal dan Coriolis

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link Menghitung Elemen Vektor Gravitasi c 1, c 2

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation Menghitung Elemen Vektor Gravitasi c 1, c 2 Vektor Gravitasi c 1, c 2

III. Dinamika Robot 2. Lagrange-Euler Formulation  Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link

III. Dinamika Robot 3. Newton-Euler Formulation  Penggunaan Formulasi LE tidak efisien untuk komputasi real-time, karena Penggunaan matriks transformasi homogen (4x4) meningkatkan operasi aritmatika dan perhitungan sensitif terhadap nilai (ill conditioned), terutama bila terjadi invers Terdapat elemen matriks yang bernilai nol, yang seharusnya tidak perlu dihitung  Pendekatan Formulasi NE dengan menghitung secara analitis bagaimana sebuah posisi, kecepatan dan percepatan sebuah titik dalam KK bergerak dipandang terhadap KK diam tetangganya

III. Dinamika Robot 3. Newton-Euler Formulation  Menghitung Fi, fi, ni, ti, bila diketahui kondisi awal  n = Jumlah Link   o =  o = v o = 0  Vo = g = (g x, g y, g z ) T ; dimana |g| = 9,8 m/detik2  Diketahui q i, q i dan q i untuk i = 1, … n  Nilai lainnya :

III. Dinamika Robot 3. Newton-Euler Formulation  Forward Iteration

III. Dinamika Robot 3. Newton-Euler Formulation  Backward Iteration

III. Dinamika Robot 3. Newton-Euler Formulation  Kompleksitas Komputasi Formulasi NE

III. Dinamika Robot 3. Newton-Euler Formulation  Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link

III. Dinamika Robot 3. Newton-Euler Formulation  Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link  Forward Iteration  Matrik-matrik Rotasi

III. Dinamika Robot 3. Newton-Euler Formulation  Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link  Forward Iteration  Menghitung Kecepatan sudut  i = 1  i = 2

III. Dinamika Robot 3. Newton-Euler Formulation  Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link  Forward Iteration  Menghitung Percepatan sudut  i = 1  i = 2

III. Dinamika Robot 3. Newton-Euler Formulation  Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link  Forward Iteration  Menghitung Percepatan Linier  i = 1

III. Dinamika Robot 3. Newton-Euler Formulation  Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link  Forward Iteration  Menghitung Percepatan Linier  i = 2

III. Dinamika Robot 3. Newton-Euler Formulation  Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link  Forward Iteration  Menghitung Percepatan Linier dititik pusat massa  i = 1

III. Dinamika Robot 3. Newton-Euler Formulation  Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link  Forward Iteration  Menghitung Percepatan Linier dititik pusat massa  i = 2

III. Dinamika Robot 3. Newton-Euler Formulation  Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link  Backward Iteration  Menghitung Gaya fi, yang digunakan pada link i = 2,1  i = 2  i = 1

III. Dinamika Robot 3. Newton-Euler Formulation  Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link  Backward Iteration  Menghitung Gaya fi, yang digunakan pada link i = 2,1  i = 1

III. Dinamika Robot 3. Newton-Euler Formulation  Backward Iteration  Menghitung momen ni, yang digunakan pada link i = 2,1  i = 2

III. Dinamika Robot 3. Newton-Euler Formulation  Backward Iteration  Menghitung momen ni, yang digunakan pada link i = 2,1  i = 1

III. Dinamika Robot 3. Newton-Euler Formulation  Backward Iteration  Torsi yang diberikan kepada joint  i = 2  i = 1