PROBABILITY & STATISTICS KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

MUTUALLY EXCLUSIVE EVENT (MEE) INDEPENDENT EVENT (IE) DEPENDENT EVENT (DE) KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

REVIEW HIMPUNAN Untuk menggambarkan konsep dasar teori peluang, kita mengingat kembali beberapa ide dari teori HIMPUNAN. HIMPUNAN adalah gabungan atau kumpulan objek. Dinotasikan dengan huruf capital A, B, C , …… Anggota Himpunan 𝐴 disebut dengan elemen, bila 𝑥 adalah elemen himpunan 𝐴 maka dapat dituliskan 𝑥∈𝐴 sebaliknya jika 𝑦 bukan anggota 𝐴 maka dituliskan 𝑦∉𝐴 Elemen-elemen himpunan dituliskan dalam tanda kurung kurawal CONTOH: 𝐴= 5,6,7,8,9 𝐶= 𝑥:𝑥∈ℜ , 𝑥 2 =9 𝐵= 𝑎,𝑒,𝑖,𝑜,𝑢 𝐷= 𝑥:𝑥∈ℜ , 𝑥 2 =−1 KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

Sehingga 𝐴=𝐵 jika dan hanya jika 𝐴⊆𝐵 dan 𝐵⊆𝐴 REVIEW HIMPUNAN Himpunan Universal / Himpunan Semesta U Himpunan Kosong / Null Set 𝜙  𝜙= Power Set ℘ 𝐴 = 2 #𝐴 Jika kita perhatikan dua himpunan, misalkan himpunan 𝐴 dan 𝐵. Dikatakan 𝐴 sebagai “HIMPUNAN BAGIAN” dari 𝐵 (ditulis 𝐴⊆𝐵) jika setiap elemen himpunan 𝐴 juga merupakan elemen himpunan 𝐵. U B Sehingga 𝐴=𝐵 jika dan hanya jika 𝐴⊆𝐵 dan 𝐵⊆𝐴 A KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

REVIEW HIMPUNAN 𝐴 = 𝑥:𝑥∈𝑈, 𝑥∉𝐴 𝐴∩𝐵= 𝑥:𝑥∈𝐴 𝒅𝒂𝒏 𝑥∈𝐵 𝐴∪𝐵= 𝑥:𝑥∈𝐴 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝑥∈𝐵 Jika himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah subset dari himpunan universal U, maka: Komplemen dari A, adalah himpunan yang berada dalam U tetapi tidak dimiliki oleh 𝐴. Dituliskan kedalam notasi 𝐴 . Irisan (Intersection) 𝑨 dan 𝑩 adalah himpunan elemen yang dimiliki oleh 𝐴 dan 𝐵. Dituliskan kedalam notasi 𝐴∩𝐵. Gabungan (Union) 𝑨 dan 𝑩 adalah himpunan dari elemen-elemen yang merupakan anggota dari paling sedikit satu dari himpunan 𝐴 dan 𝐵. Dituliskan kedalam notasi 𝐴∪𝐵. 𝐴 = 𝑥:𝑥∈𝑈, 𝑥∉𝐴 𝐴∩𝐵= 𝑥:𝑥∈𝐴 𝒅𝒂𝒏 𝑥∈𝐵 𝐴∪𝐵= 𝑥:𝑥∈𝐴 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝑥∈𝐵 KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

REVIEW HIMPUNAN KOMPLEMEN 𝑨 𝑨 Jika 𝑈= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 𝐴= 1, 2, 3 , 𝐵= 2, 4, 6 dan 𝐶= 1, 3, 5, 7 , maka: U 𝑨 𝐴 = 4, 5, 6, 7 𝐵 = 1, 3, 5, 7 𝐶 = 2, 4, 6 𝑨 Dalam hitung peluang, kata gabung yang digunakan untuk operasi KOMPLEMEN adalah “TIDAK” atau “BUKAN” KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

REVIEW HIMPUNAN IRISAN (INTERSECTION) 𝑨∩𝑩 𝑨 𝑩 Jika 𝑈= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 𝐴= 1, 2, 3 , 𝐵= 2, 4, 6 dan 𝐶= 1, 3, 5, 7 , maka: U 𝑨∩𝑩 𝑨 𝑩 𝐴∩𝐵= 2 𝐴∩𝐶= 1,3 𝐵∩𝐶= =𝜙 Dalam hitung peluang, kata gabung yang digunakan untuk operasi IRISAN adalah “DAN” KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

REVIEW HIMPUNAN GABUNGAN (UNION) 𝑨∪𝑩 𝑨 𝑩 Jika 𝑈= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 𝐴= 1, 2, 3 , 𝐵= 2, 4, 6 dan 𝐶= 1, 3, 5, 7 , maka: U 𝑨∪𝑩 𝑨 𝑩 𝐴∪𝐵= 1, 2, 3, 4, 6 𝐴∪𝐶= 1, 2, 3, 5, 7 𝐵∪𝐶= 𝑈 Dalam hitung peluang, kata gabung yang digunakan untuk operasi IRISAN adalah “ATAU” KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 ⋅𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃(𝐵)⋅𝑃 𝐴|𝐵 REVIEW HIMPUNAN Hukum-Hukum Himpunan: HK. IDENTITAS 𝑨∪𝝓=𝑨 𝑨∪𝑼=𝑼 𝑨∩𝝓=𝝓 𝑨∩𝑼=𝑨 HK. DE’ MORGAN 𝑨∪𝑩 = 𝑨 ∩ 𝑩 𝑨∩𝑩 = 𝑨 ∪ 𝑩 HK. ASOSIATIF 𝑨∪ 𝑩∪𝑪 = 𝑨∪𝑩 ∪𝑪 𝑨∩ 𝑩∩𝑪 = 𝑨∩𝑩 ∩𝑪 HK. DISTRIBUTIF 𝑨∪ 𝑩∩𝑪 = 𝑨∪𝑩 ∩ 𝑨∪𝑪 𝑨∩ 𝑩∪𝑪 = 𝑨∩𝑩 ∪ 𝑨∩𝑪 Aturan Umum Penjumlahan: 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐵 Aturan Umum Perkalian: 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 ⋅𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃(𝐵)⋅𝑃 𝐴|𝐵 KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

RANDOM EXPERIMENT, SAMPLE SPACE, EVENT Unpredictable Outcomes RANDOM EXPERIMENT SAMPLE SPACE Sebuah “EVENT” misalkan event 𝐴, berhubungan dengan ruang sample (sample space) Ω. Jika ruang sample bersifat universal, maka event 𝐴 menjadi bagian (subset) dari ruang sample Ω. Selanjutnya, sebuah “EVENT” dapat dianggap menjadi sebuah himpunan, sehingga berlaku operasi irisan ∩ , gabungan ∪ , dll. EVENT : Mutually Exclusive Event (MEE) Independent Event (IE) Dependent Event (DE) KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

MUTUALLY EXCLUSIVE EVENT (MEE) Jika ada dua (𝐴 dan 𝐵) atau lebih kejadian dihubungkan dengan hasil suatu percobaan tertentu, kemudian irisan-nya ialah himpunan kosong, maka kejadian (event) tersebut dikatakan bersifat saling lepas / saling meniadakan (Mutually Exclusive)  𝐴∩𝐵=𝜙 U U 𝑨 𝟑 𝑨 𝟏 𝑩 𝑨 𝑨 𝟐 𝑨 𝟒 𝑨∩𝑩=𝝓 𝑷(𝑨∩𝑩)=𝟎 𝑨 𝟏 ∩ 𝑨 𝟐 ∩ 𝑨 𝟑 ∩ 𝑨 𝟒 =𝝓 𝑷( 𝑨 𝟏 ∩ 𝑨 𝟐 ∩ 𝑨 𝟑 ∩ 𝑨 𝟒 )=𝟎 KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

MUTUALLY EXCLUSIVE EVENT (MEE) ♣ (Club) ♠ (Spade) ♥ (Heart) ♦ (Diamond) KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

MUTUALLY EXCLUSIVE EVENT (MEE) 𝐴⊥𝐵 dibaca sebagai Event 𝐴 dan 𝐵 adalah Mutually Exclusive Event (MEE) Maka Aturan Umum Penjumlahan untuk MEE Menjadi: 𝑨⊥𝑩 𝑷(𝑨∩𝑩)=𝟎 𝑷 𝑨∪𝑩 =𝑷 𝑨 +𝑷 𝑩 𝑷 𝒊=𝟏 𝒏 𝑨 𝒊 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝑷( 𝑨 𝒊 ) 𝑨 𝟏 ⊥ 𝑨 𝟐 ⊥…⊥ 𝑨 𝒏 𝑷( 𝑨 𝟏 ∩ 𝑨 𝟐 ∩…∩ 𝑨 𝒏 )=𝟎 KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

INDEPENDENT EVENT (IE) 𝐴 𝐵 dibaca sebagai Event 𝐴 dan 𝐵 adalah Independent Event (IE) Terjadinya Event 𝐴 tidak dipengaruhi oleh 𝐵 begitu juga sebaliknya, terjadinya Event 𝐵 tidak dipengaruhi oleh 𝐴, sehingga: 𝑷(𝑨|𝑩)=𝑷(𝑨) & 𝑷(𝑩|𝑨)=𝑷(𝑩) Maka Aturan Umum Perkalian untuk IE: 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 ⋅𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃(𝐴)⋅𝑃 𝐵 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃(𝐵)⋅𝑃 𝐴 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐵 ⋅𝑃 𝐴|𝐵 =𝑃(𝐵)⋅𝑃 𝐴 KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

CONTOH 𝑨 𝑩 𝑪 𝑃 𝐴∪𝐵∪𝐶 =0.568 𝑃 𝐴∪𝐵∪𝐶 =0.2+0.1+0.4− 0.2∙0.1 − 0.2∙0.4 − Diketahui 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 adalah kejadian yang saling bebas dengan P 𝐴 =0.2 ,𝑃 𝐵 =0.1 dan 𝑃 𝐶 =0.4. Cari besarnya 𝑃(𝐴∪𝐵∪𝐶) ! Penyelesaian: 𝑃 𝐴∪𝐵∪𝐶 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 +𝑃 𝐶 −𝑃 𝐴∩𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐶 −𝑃 𝐵∩𝐶 +𝑃 𝐴∩𝐵∩𝐶 𝑃 𝐴 ∙𝑃(𝐵) 𝑃 𝐴 ∙𝑃(𝐶) 𝑃 𝐵 ∙𝑃(𝐶) 𝑃(𝐴)∙𝑃 𝐵 ∙𝑃(𝐶) 𝑃 𝐴∪𝐵∪𝐶 =0.2+0.1+0.4− 0.2∙0.1 − 0.2∙0.4 − 0.1∙0.4 + 0.2∙0.1∙0.4 𝑼 𝑨 𝑩 𝑪 𝑃 𝐴∪𝐵∪𝐶 =0.568 KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

CONTOH 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃(𝐴∩𝐵) Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah kejadian yang saling bebas, dengan 𝑃 𝐴∩𝐵 =0.16 dan 𝑃 𝐴∪𝐵 =0.36. Cari besarnya 𝑃(𝐴) dan 𝑃(𝐵)! Penyelesaian: 𝑃 𝐴∩𝐵 =0.16 𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝐵 =0.16 … (1) 𝑃 𝐴∪𝐵 =0.36 𝑃 𝐴∪𝐵 =1−𝑃 𝐴∪𝐵 =1−0.36=0.64 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃(𝐴∩𝐵) 0.64=𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −0.16 𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 =0.8 … (2) Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh: 𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝐵 =0.16 𝑃 𝐴 ∙ 0.8−𝑃 𝐴 =0.16 → misal P A =x 𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 =0.8 𝒙=𝑷 𝑨 =𝟎.𝟒 𝑥 2 −0.8𝑥+0.16=0 𝑷 𝑩 =𝟎.𝟒 KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

LATIHAN Diketahui P 𝐴 =0.2 , P 𝐵 =0.3 dan 𝑃 𝐴∪𝐵 =0.44. Apakah 𝐴 dan 𝐵 independent ? Diketahui P 𝐴 =P 𝐵 =𝑝, 𝑃 𝐴∪𝐵 =0.7 dan 𝑃 𝐴∩𝐵 =0.2. Tentukan: Nilai 𝑝 Jika diketahui 𝑃 𝐵∪𝐶 =0.7 dan kejadian 𝐵 dan 𝐶 saling bebas, tentukan nilai 𝑃(𝐶) Diberikan dua event 𝐴 dan 𝐵, misalkan 𝑃 𝐴 =𝑝, besarnya peluang event 𝐵 dua kali peluang event 𝐴 dan 𝑃 𝐴∪𝐵 =0.72. Tentukan 𝑃 𝐴 dan 𝑃 𝐵 jika: Event 𝐴 dan 𝐵 bersifat MEE Event 𝐴 dan 𝐵 bersifat IE KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

LATIHAN 41 % penduduk mempunyai sepeda motor Disebuah kota, diketahui: 41 % penduduk mempunyai sepeda motor 22 % penduduk mempunyai mobil 19 % penduduk mempunyai sepeda motor dan mobil Dari data diatas, apakah kepemilikan sepeda motor dan mobil dikota tersebut independent? KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

APLIKASI INDEPENDENT EVENT SERIES & PARALLEL SYSTEM Sistem “SERI” dikatakan BERFUNGSI JIKA SEMUA KOMPONEN BERFUNGSI dan GAGAL jika paling SEDIKIT SATU komponen TIDAK BERFUNGSI. 𝐶 1 𝐶 2 𝐶 3 𝐶 𝑛 𝑹𝒆𝒍𝒊𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒕𝒂𝒔 𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎=𝑷 𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎 𝑩𝒆𝒓𝒇𝒖𝒏𝒈𝒔𝒊 = 𝑷 𝒔 ( 𝑪 𝟏 ∩ 𝑪 𝟐 ∩ 𝑪 𝟑 ∩… ∩ 𝑪 𝒏 ) = 𝑷 𝒔 𝑪 𝟏 ∙ 𝑷 𝒔 𝑪 𝟐 ∙ 𝑷 𝒔 𝑪 𝟑 ∙ … ∙ 𝑷 𝒔 𝑪 𝒏 KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

APLIKASI INDEPENDENT EVENT SERIES & PARALLEL SYSTEM Sedangkan Sistem “PARALEL” dikatakan BERFUNGSI JIKA PALING SEDIKIT SATU KOMPONEN BERFUNGSI dan GAGAL jika SEMUA komponen TIDAK BERFUNGSI. 𝐶 1 𝑷 𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎 𝑮𝒂𝒈𝒂𝒍 = 𝑷 𝒇 ( 𝑪 𝟏 ∩ 𝑪 𝟐 ∩… ∩ 𝑪 𝒏 ) 𝐶 2 𝑷 𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎 𝑮𝒂𝒈𝒂𝒍 = 𝑷 𝒇 𝑪 𝟏 ∙ 𝑷 𝒇 𝑪 𝟐 ∙ … ∙ 𝑷 𝒇 𝑪 𝒏 𝑹𝒆𝒍𝒊𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒕𝒂𝒔 𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎=𝑷 𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎 𝑩𝒆𝒓𝒇𝒖𝒏𝒈𝒔𝒊 =𝟏−𝑷 𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎 𝑮𝒂𝒈𝒂𝒍 𝐶 𝑛 KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

CONTOH Sistem SERI dengan peluang berfungsi setiap komponen seperti tertera pada blok berikut: 𝐴 𝐵 0.98 0.95 𝑃 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑆𝑒𝑟𝑖 𝐵𝑒𝑟𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 = 𝑃 𝑠 𝐴∩𝐵 =0.98⋅0.95=0.931 𝑅𝑒𝑙𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚=93.1 % Sistem PARALEL dengan peluang berfungsi setiap komponen seperti tertera pada blok berikut: 𝐴 𝑃 𝑓 𝐴 =1− 𝑃 𝑆 𝐴 =1−0.9=0.1 0.90 𝑃 𝑓 𝐵 =1− 𝑃 𝑆 𝐵 =1−0.85=0.15 𝐵 𝑃 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙 𝑇𝑖𝑑𝑎𝑘 𝐵𝑒𝑟𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 = 𝑃 𝑓 𝐴∩𝐵 =0.1⋅0.15=0.015 0.85 𝑃 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙 𝐵𝑒𝑟𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 =1−0.015=0.985 𝑅𝑒𝑙𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚=98.5 % KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

CONTOH Diberikan rangkaian relay seperti pada gambar dibawah. Jika diasumsikan setiap komponen bekerja saling bebas (independent) dan peluang gagal (tidak berfungsi) setiap komponen seperti yang tertera pada setiap blok. Tentukan reliabilitas system ! 𝐶 1 0.2 𝐶 2 0.4 𝐶 3 0.4 𝐶 5 0.1 𝐶 4 0.3 KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

CONTOH PENYELESAIAN: 𝑃 𝑓 𝐶 2 =0.4  𝑃 𝑠 𝐶 2 =0.6 𝑹𝑨𝑵𝑮𝑲𝑨𝑰𝑨𝑵 𝑺𝑬𝑹𝑰 𝑰 0.2 𝑃 𝑓 𝐶 2 =0.4  𝑃 𝑠 𝐶 2 =0.6 𝑃 𝑓 𝐶 3 =0.4  𝑃 𝑠 𝐶 3 =0.6 0.4 0.4 0.1 𝑷(𝑺𝒆𝒓𝒊 𝑰 𝑩𝒆𝒓𝒇𝒖𝒏𝒈𝒔𝒊)= 𝑷 𝒔 𝑪 𝟐 ∩ 𝑪 𝟑 =𝟎.𝟔⋅𝟎.𝟔=𝟎.𝟑𝟔 𝑷 𝒇 𝑺𝑬𝑹𝑰 𝑰 =𝟏−𝟎.𝟑𝟔=𝟎.𝟔𝟒 0.3 𝑹𝑨𝑵𝑮𝑲𝑨𝑰𝑨𝑵 𝑷𝑨𝑹𝑨𝑳𝑬𝑳 𝑰 0.2 𝑷 𝒇 𝑷𝑨𝑹𝑨𝑳𝑬𝑳 𝑰 = 𝑷 𝒇 ( 𝑪 𝟏 ∩𝑺𝑬𝑹𝑰 𝑰∩ 𝑪 𝟒 ) 0.64 0.1 𝑷 𝒇 𝑷𝑨𝑹𝑨𝑳𝑬𝑳 𝑰 = 𝑷 𝒇 ( 𝑪 𝟏 )∙ 𝑷 𝒇 𝑺𝑬𝑹𝑰 𝑰 ∙ 𝑷 𝒇 𝑪 𝟒 𝑷 𝒇 𝑷𝑨𝑹𝑨𝑳𝑬𝑳 𝑰 =𝟎.𝟐∙𝟎.𝟔𝟒∙𝟎.𝟑=𝟎.𝟎𝟑𝟖𝟒 0.3 KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

CONTOH PENYELESAIAN: 𝑹𝑨𝑵𝑮𝑲𝑨𝑰𝑨𝑵 𝑺𝑬𝑹𝑰 𝑰𝑰 𝑃 𝑓 𝑃𝐴𝑅𝐴𝐿𝐸𝐿 𝐼 =0.0384  𝑃 𝑠 𝑃𝐴𝑅𝐴𝐿𝐸𝐿 𝐼 =0.9616 0.0512 0.1 𝑃 𝑓 𝐶 5 =0.1  𝑃 𝑠 𝐶 5 =0.9 𝑹𝒆𝒍𝒊𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒕𝒂𝒔 𝑺𝒆𝒓𝒊 𝑰𝑰= 𝑷 𝒔 𝑷𝑨𝑹𝑨𝑳𝑬𝑳 𝑰∩ 𝑪 𝟓 =𝟎.𝟗𝟔𝟏𝟔⋅𝟎.𝟗=𝟎.𝟖𝟔𝟓𝟒𝟒 Sehingga peluang sistem (rangkaian) akan berfungsi adalah 0.86544 , atau reliabilitas sistem sebesar 86.544 % KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

CONTOH Diasumsikan bahwa setiap switch 𝑆 𝑖 pada diagram dibawah memiliki peluang “Closed” sebesar 𝑝 𝑖 dan peluang “Open” sebesar 1− 𝑝 𝑖 , dengan 𝑖=1, 2,…,5. Hitung besarnya peluang circuit tersebut dapat melewatkan arus ! Asumsi setiap switch bekerja independent satu sama lain. 𝑺 𝟏 𝑺 𝟐 𝑳 𝑹 𝑺 𝟑 𝑺 𝟒 𝑺 𝟓 KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

CONTOH 𝑃 𝐴∪𝐵 = 𝑝 1 𝑝 2 + 𝑝 3 𝑝 4 𝑝 5 − 𝑝 1 𝑝 2 𝑝 3 𝑝 4 𝑝 5 PENYELESAIAN: Arus (𝑖) dapat mengalir dari 𝐿 ke 𝑅 dengan melewati jalur atas atau jalur bawah. Sehingga: 𝑃 𝐴𝑟𝑢𝑠 𝑀𝑒𝑛𝑔𝑎𝑙𝑖𝑟 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝐿 𝑘𝑒 𝑅 =𝑃(𝐴𝑟𝑢𝑠 𝑀𝑒𝑙𝑒𝑤𝑎𝑡𝑖 𝐽𝑎𝑙𝑢𝑟 𝐴𝑡𝑎𝑠 𝑨𝑻𝑨𝑼 𝐴𝑟𝑢𝑠 𝑀𝑒𝑙𝑒𝑤𝑎𝑡𝑖 𝐽𝑎𝑙𝑢𝑟 𝐵𝑎𝑤𝑎ℎ) Andakan: 𝐴 adalah event yang menyatakan arus (𝑖) mengalir melewati jalur atas 𝐵 adalah event yang menyatakan arus (𝑖) mengalir melewati jalur bawah 𝑃 𝐴𝑟𝑢𝑠 𝑀𝑒𝑛𝑔𝑎𝑙𝑖𝑟 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝐿 𝑘𝑒 𝑅 =𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐵) 𝑃 𝐴 =𝑃 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑆𝑒𝑟𝑖 𝐼 𝐵𝑒𝑟𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 = 𝑃 𝐶 𝑆 1 ⋅ 𝑃 𝐶 𝑆 2 = 𝑝 1 𝑝 2 𝑃 𝐵 =𝑃 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑆𝑒𝑟𝑖 𝐼𝐼 𝐵𝑒𝑟𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 = 𝑃 𝐶 𝑆 3 ⋅ 𝑃 𝐶 𝑆 4 ∙ 𝑃 𝐶 𝑆 5 = 𝑝 3 𝑝 4 𝑝 5 𝑃 𝐴∪𝐵 = 𝑝 1 𝑝 2 + 𝑝 3 𝑝 4 𝑝 5 − 𝑝 1 𝑝 2 𝑝 3 𝑝 4 𝑝 5 KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

LATIHAN Sebuah system terdiri dari dua komponen yang disusun secara seri. Diasumsikan komponen 𝐴 dan 𝐵 saling bebas. 𝐴 𝐵 Jika peluang kegagalan komponen 𝐴 dan 𝐵 berturut-turut sebesar 0.05 dan 0.03. Berapa peluang berfungsinya sistem tersebut ? Jika Peluang kegagalan kedua komponen 𝐴 dan 𝐵 sama dengan 𝑝, berapakah nilai 𝑝 tersebut jika diketahui peluang berfungsi sistem sebesar 0.90 ? KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

LATIHAN Sebuah system terdiri dari empat komponen yang disusun seperti bagan berikut. Diasumsikan setiap komponen bekerja saling bebas. Peluang tidak berfungsinya system secara berturut-turut ialah 0.1 , 0.05 , 0.1 dan 0.2. Berapakah reliabilitas dari system? 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)

TERIMAKASIH - SELAMAT BELAJAR - KODE DOSEN : NKC / MATA KULIAH : PROBABILITAS & STATISTIKA (MUH1F3)