Probabilitas dan Statistik Pertemuan 1 Konsep Peluang (Probability Concept)

Peluang Kejadian Peluang adalah rasio antara banyaknya kejadian yang diharapkan dari suatu percobaan jika percobaan tersebut pada kondisi yang sama. Peluang biasanya dinotasikan dengan P, misal P(A) peluang kejadian A. Beberapa aturan peluang, yaitu: 0  p(Ai)  1, untuk i=1,2, …, n Kejadian Mustahil A kejadian mustahil jika P(A)=0 Kejadian Pasti A kejadian pasti jika P(A)=1

Jumlah peluang peristiwa E dan komplemennya (E’) adalah satu, 2. Jumlah peluang seluruh kejadian dalam satu ruang sampel (contoh) adalah 1, Jumlah peluang peristiwa E dan komplemennya (E’) adalah satu, P(E) + P(E’) = 1 4. p(A1UA2U…UAm) = p(A1)+p(A2)+…+p(Am), jika A1, A2, …, Am merupakan kejadian-kejadian yang terpisah/ lepas/ saling asing/ eksklusif, dihubungkan dengan kata “atau” A dan B kejadian lepas jika A  B=Ø = { }

Contoh: Sebuah dadu dilempar, maka ruang sampelnya: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S)=6 jika setiap sisi seimbang maka peluangnya p(1)=p(2)=….=p(6)=1/6 Sebuah kejadian yang diharapkan adalah sisi yang muncul kurang atau sama dengan empat maka ruang kejadiannya: A = {1, 2, 3, 4}, n(A) = 4 Maka peluang kejadian A adalah: P(A) = 4/6 = 2/3

Peluang Bersyarat Peluang bersyarat adalah peluang suatu kejadian (A) jika kejadian lain (B) diketahui telah terjadi. Peluang A bersyarat B dinotasikan P(A/B), berarti peluang A dengan syarat B, dimana: P(A/B) = P(AB) / P(B) Jika kejadian A dengan B saling bebas/ independen maka, P(A/B)=P(A) dan P(A B) = P(A).P(B)

Kejadian Saling Bebas Kejadian saling bebas/independen adalah kejadian-kejadian yang tidak saling mempengaruhi. Peluang dari dua buah kejadian yang saling bebas adalah: P(AB)=P(A).P(B) Contoh: Peluang bayi berjenis kelamin laki-laki diketahui 0.6. Jika jenis kelamin anak pertama (A) dan kedua (B) saling bebas, berapa peluang jenis kelamin anak pertama dan anak kedua laki-laki? P(A B)= P(A).P(B)=0.6*0.6=0.36

Contoh: Dalam sebuah kotak berisi 2 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil dua buah bola tanpa pemilihan. Berapakah peluang bola kedua berwarna merah (A) jika pada pengambilan pertama diketahui berwarna biru (B). P(A/B) = P(AB)/P(B) = (3/5)(2/4)/(3/5) = 2/4 = 1/2

Kejadian Inklusi Kejadian A dan B mempunyai hubungan inklusi berlaku hubungan atau A atau B atau keduanya terjadi, maka : P(A dan atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B)

Ekspektasi Jika eksperimen menghasilkan k peristiwa dengan peluang terjadinya tiap peristiwa p1, p2,..,pk dengan setiap peristiwa tersebut terdapat satuan d1, d2,..dk maka ekspektasi eksperimen tersebut :

Contoh : Produksi suatu barang mengalami kerusakan 6%. Jika diambil sampel 50 barang, maka ekspektasi sampel rusak sebanyak 6%.50 = 3 barang

Teorema Bayes Suatu ruang sampel dipartisi menjadi beberapa kejadian B1, B2, …, Bn dan A suatu kejadian pada U (U di dalam ruang sampel) dengan p(B)0 maka, P(A) =  P(Bi)P(A/Bi) Peluang Bk bersyarat A, dapat dihitung sebagai berikut: P(Bk/A) = P(BkA)/ P(A)

Perhatikan diagram berikut: Ruang contoh dipecah menjadi kejadian B1, B2,…,Bn saling terpisah Disamping itu ada kejadian A, yang dapat terjadi pada kejadian B1, B2,…,Bn. Dengan demikian, A=(AB1) + (AB2) + …. + (ABn) Peluang kejadian A adalah: P(A)=P(AB1) + P(AB2) + …. + P(ABn) Dengan memanfaatkan sifat peluang bersyarat, diperoleh peluang Bk bersyarat A adalah: B1 ………. Bn Kejadian A P(Bk/A) = P(Bk)P(A/Bk)/  P(Bi)P(A/Bi)

Contoh Kota Bogor disebut kota hujan karena peluang terjadinya hujan (H) cukup besar yaitu sebesar 0.6. Hal ini menyebabkan para mahasiswa harus siap-siap dengan membawa payung (P). Peluang seorang mahasiswa membawa payung jika hari hujan 0.8, sedangkan jika tidak hujan 0.4. Maka peluang hari akan hujan jika diketahui mahasiswa membawa payung adalah: P(H) = 0.6 P(TH) = 1-0.6=0.4 P(P/H) = 0.8 P(P/TH) = 0.4 Jadi,

Contoh Suatu generator telekomunikasi nirkabel mempunyai 3 pilihan tempat untuk membangun pemancar sinyal yaitu didaerah tengah kota, daerah kaki bukit dikota itu dan derah tepi pantai, dengan masing-masing mempunyai peluang 0.2; 0.3 dan 0.5. Bila pemancar dibangun ditengah kota, peluang terjadi ganguan sinyal adalah 0.05. Bila pemancar dibangun dikaki bukit, peluang terjadinya ganguan sinyal adalah 0.06.Bila pemancar dibangun ditepi pantai, pelaung ganguan sinyal adalah 0.08. A. Berapakah peluang terjadinya ganguan sinyal? B. Bila diketahui telah terjadinya gangguan pada sinyal, berapa peluang bahwa operator tsb ternyata telah membangun pemancar di tepi pantai?

Jawab Misal: A = Terjadi ganguan sinyal B1 = Pemancar dibangun di tengah kota B2 = Pemancar dibangun di kaki bukit B3 = Pemancar dibangun di tepi pantai Maka : A). Peluang terjadinya ganguan sinyal P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) = (0,2).(0.05)+(0.3)(0.06)+(0.5)(0.08)=0.001+0.018+0.04=0.068

B).Diketahui telah terjadi ganguan pd sinyal, maka peluang bahwa operator ternyata telah membangun pemancar di tepi pantai, dapat dinyatakan dgn: “Peluang bersyarat bahwa operator membangun pemancar di tepi pantai bila diketahui telah terjadi ganguan sinyal”:

Ada 300 lembar undian berhadiah dengan sebuah hadiah pertama, 15 hadiah kedua, 20 hadiah ketiga dan sisanya tidaak mendapat hadiah. Berapa peluang seseorang yang membeli selembar dan akan memenangkan hadiah pertama atau kedua.

2. Peluang A akan hidup 20 tahun lagi sebesar 0,75 dan B yaitu 0,54 2. Peluang A akan hidup 20 tahun lagi sebesar 0,75 dan B yaitu 0,54. Berapa peluang keduanya akan hidup 20 tahun lagi.