OPERATIONS RESEARCH – I MODEL PROBABILISTIK DAN JARINGAN DISTRIBUSI Tjutju T Dimyati

PENDAHULUAN 1. Proses Stokastik/Probabilistik 2. Perumusan Variabel Acak Diskrit dan Kontinu 3. Perumusan Parameter Distribusi Diskrit dan Kontinu Tjutju T. Dimyati

Tujuan Pembelajaran Di akhir perkuliahan mahasiswa mampu: Mendeskripsikan contoh proses-proses stokastik Menentukan variabel dan parameter suatu distribusi sebagai dasar bagi proses pengambilan keputusan Tjutju T. Dimyati

MODEL STOKASTIK Model Stokastik adalah model matematika dimana gejala-gejala dapat diukur dengan derajat kepastian yang tidak stabil Disebut juga sebagai model probabilistik Dicirikan oleh ketidakpastian nilai parameter-parameternya Tjutju T. Dimyati

TEORI PELUANG Peluang atau probabilitas adalah harapan terjadinya suatu kejadian yang dikuantitatifkan.  Peluang berhubungan dengan gagasan atau konsep kesempatan atau kemungkinan.  Kita katakan peluangnya besar artinya kesempatan atau kemungkinan terjadinya besar, sebaliknya peluang kecil artinya kesempatan terjadinya kecil. Tjutju T. Dimyati

KONSEP DASAR PELUANG Ruang Contoh / Ruang Sampel : Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan (dilambangkan dengan S) = kumpulan dari semua titik contoh Misal : ruang contoh S bagi pengambilan kartu S = { Diamond, Club, Heart, Spade} ; S1 = {Merah, Hitam} Kejadian : Himpunan bagian dari ruang contoh E = {Diamond} ; E1 = {Merah} Kejadian dibagi dua : - Kejadian Sederhana = kejadian yang hanya memuat satu titik contoh - Kejadian Majemuk / Komposit = kejadian yang memuat lebih dari satu titik contoh Tjutju T. Dimyati

DEFINISI PELUANG Definisi Klasik : Jika suatu percobaan mempunyai k hasil percobaan yang berbeda dan masing-masing mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi maka : –> peluang masing-masing kejadian tersebut adalah 1/k –> peluang kejadian E = P(E) = m/k dimana m adalah hasil percobaan yang menyusun kejadian tersebut Menurut definisi klasik, peluang dapat ditentukan sebelum percobaan dilakukan. Definisi Modern / Frekuensi Relatif Peluang Kejadian E = P(E) = lim n–> tak hingga ne / n, dimana ne = jumlah kejadian E dalam percobaan Menurut definisi modern, peluang dapat ditentukan setelah percobaan dilakukan. Tjutju T. Dimyati

Peluang Bersyarat (Conditional Probability) Adalah peluang terjadinya peristiwa B jika diketahui bahwa peristiwa A sudah terjadi Dinotasikan sebagai dan dirumuskan sebagai: Tjutju T. Dimyati

Peluang Bersyarat (Conditional Probability) Jika A dan B adalah dua peristiwa yang bersifat independen maka: sehingga Tjutju T. Dimyati

KEJADIAN STOKASTIK 1) Kejadian stokastik adalah kebolehjadian yang hanya dapat ditentukan distribusi frekuensinya. Fungsinya tidak dapat ditentukan dengan pasti, hanya berupa kisaran fungsi yang nilainya belum dapat ditetapkan. Kejadian stokastik ini dapat didekati dengan suatu fungsi interval yang bentuknya akan menyerupai, yaitu pada saat-saat tertentu mencapai nilai maksimal sedangkan saat yang lain mencapai titik minimal Contoh dari kejadian stokastik adalah jumlah daun yang berguguran setiap harinya. Helai-helai daun  berguguran dari hari ke hari, namun belum dapat dipastikan berapa jumlahnya dan fungsi seperti apa yang dapat menggambarkan proses bergugurnya daun-daun tersebut. Tjutju T. Dimyati

KEJADIAN STOKASTIK 2) Contoh lain kejadian stokastik: 1.  Jumlah penumpang bus ketika pagi hari, mendekati jam kerja sangat banyak. Jumlah ini akan berangsur-angsur menurun ketika jam kerja sudah dimulai dan menjelang jam istirahat. Jumlah penumpang akan kembali naik ketika jam pulang kerja. Hal ini berlangsung hampir setiap hari, namun tidak dapat dipastikan fungsi apa yang mendekatinya. 2.  Jumlah pengunjung tempat wisata akan meningkat tajam pada saat liburan sekolah maupun weekend. Namun setiap harinya juga terdapat pengunjung yang jumlahnya tidak menentu. Dari jumlah pengunjung ini tidak dapat ditentukan fungsi yang pasti, namun dapat didekati dengan suatu fungsi interval yang bentuknya akan meningkat pada saat weekend ataupun liburan. 3.  Pengunjung warung makan akan meningkat pada saat jam-jam makan siang dan istirahat, dan akan berangsur-angsur berkurang ketika jam makan sudah usai. Begitu seterusnya. Tjutju T. Dimyati

Proses Menghitung Proses stokastik {N(t), t≥0} dinamakan proses menghitung, jika peubah acak N(t) menyatakan banyaknya peristiwa terjadi dalam selang waktu [0,t] dengan sifat: N(t) ≥0 untuk setiap t N(t) bernilai bulat Jika s<t maka N(s) < N(t) Untuk s<t maka peubah acak N(t) – N(s) menyatakan banyaknya peristiwa terjadi dalam selang waktu [s,t] Tjutju T. Dimyati

Proses Poisson Definisi 1: Proses menghitung {N(t), t≥0} dinamakan proses Poisson dengan intensitas (rate) ,  > 0, jika: N(0) = 0 Proses memiliki kenaikan bebas P[N(t+s)–N(s)= n] = Banyaknya peristiwa terjadi (yaitu n) dalam interval yang panjangnya t berdistribusi Poisson dengan rerata  = t Tjutju T. Dimyati

Proses Poisson Definisi 2: Proses menghitung {N(t), t≥0} dinamakan proses Poisson dengan intensitas (rate) ,  > 0, jika: N(0) = 0 Proses memiliki kenaikan stasioner dan kenaikan bebas P[N(h)= 1] = h + o(h) P[N(h)≥2] = o(h) Peluang terjadinya 2 peristiwa atau lebih dalam interval waktu yang sangat pendek adalah sangat kecil, hampir 0 atau hampir mustahil Tjutju T. Dimyati

DISTRIBUSI PELUANG Distribusi peluang untuk peubah acak diskrit: Distribusi Binomial Distribusi Multinomial Distribusi Hipergeometrik Distribusi Poisson Distribusi peluang untuk peubah acak kontinu Distribusi Normal Distribusi Gamma Distribusi Weibull Distribusi Eksponensial Tjutju T. Dimyati

Distribusi Poisson Banyaknya suatu event terjadi pada interval waktu tertentu Contoh: Banyaknya konsumen yang datang dalam 15 mnt. Rata-rata =  Probabilitas:  = 0.5  = 6.0

Distribusi Poisson =2 =4

Distribusi Eksponensial Distribusi eksponensial memiliki kaitan erat dengan distribusi Poisson (dari proses poisson) jika persoalan didekati dari variabel interval antar kedatangan. Tjutju T. Dimyati

Distribusi Eksponensial Tjutju T. Dimyati

Proses Stokastik 1) Adalah suatu keluarga peubah acak Xt atau X(t) tT dengan T={1,2,3,…} untuk t diskrit dan T={0,} untuk t kontinu. Contoh: pelemparan mata uang berkali-kali X1 adalah peubah acak pada pelemparan ke-1 X2 adalah peubah acak pada pelemparan ke-2 : Xn adalah peubah acak pada pelemparan ke-n Maka X1 sampai Xn disebut keluarga peubah acak yang dapat juga disebut proses stokastik Tjutju T. Dimyati

Proses Stokastik 2) Merupakan suatu proses perubahan probabilistik yang terjadi secara terus menerus, di mana perubahan-perubahan variabel di masa yang akan datang didasarkan atas perubahan-perubahan variabel di waktu yang lalu, tetapi pengalaman yang lalu hanya dapat menyajikan struktur peluang keadaan yang akan datang. Banyak digunakan untuk memodelkan evolusi suatu sistem yang mengandung suatu ketidakpastian atau sistem yang dijalankan pada suatu lingkungan yang tak dapat diduga. Dapat dikelompokkan berdasarkan jenis ruang parameternya dan ruang keadaannya. Tjutju T. Dimyati

Klasifikasi Proses Stokastik Berdasarkan ruang parameter dan ruang keadaannya Proses stokastik dengan ruang parameter diskrit dan ruang keadaan diskrit Contoh: Banyak barang terjual di sebuah toko per hari Proses stokastik dengan ruang parameter kontinu dan ruang keadaan diskrit Contoh: Banyak ikan yang diperoleh hasil memancing pada waktu t sebarang Tjutju T. Dimyati

Klasifikasi Proses Stokastik Berdasarkan ruang parameter dan ruang keadaannya Proses stokastik dengan ruang parameter diskrit dan ruang keadaan kontinu Contoh: Waktu yang diperlukan seorang dokter untuk memeriksa pasien ke n Proses stokastik dengan ruang parameter kontinu dan ruang keadaan kontinu Contoh: Volume air di sebuah bendungan yang diamati pada waktu t sebarang Tjutju T. Dimyati

Proses Markov Adalah suatu sistem stokastik yang mempunyai karakter bahwa terjadinya suatu keadaan (state) pada suatu saat adalah bergantung pada dan hanya pada state sebelumnya Pada awalnya digunakan sebagai alat dalam analisis perubahan cuaca, tetapi kini digunakan juga untuk membantu pembuatan keputusan dalam dunia bisnis atau industri Tjutju T. Dimyati

Contoh Proses Markov Misalkan jika hari ini tidak hujan maka peluang bahwa besok tidak akan hujan adalah 0.8 dan jika hari ini hujan maka peluang bahwa besok akan hujan adalah 0.4 maka prosesnya dapat digambarkan sebagai berikut: Hujan Tidak Hujan 0.6 0.4 0.8 0.2 Tjutju T. Dimyati

Probabilitas Transisi Menyatakan probabilitas bersyarat dari sistem yang berada dalam x0 pada t0 jika diketahui bahwa sistem ini berada dalam x0-1 pada t0-1 Biasa dinyatakan secara lengkap dalam matriks probabilitas transisi Ukuran matriks bersesuaian dengan jumlah seluruh state yang mungkin Tjutju T. Dimyati

Probabilitas Transisi Pada contoh cuaca, jika tidak hujan dinyatakan sebagai kejadian 0 dan hujan dinyatakan sebagai kejadia 1 maka: dapat dinyatakan sebagai: Hujan Tidak Hujan 0.6 0.4 0.8 0.2 Tjutju T. Dimyati