Konsep Probabilitas

Pengertian probabilitas, percobaan, ruang sample, titik sample dan peristiwa, probabilitas beberapa peristiwa Harapan matematis Distribusi teoritis

Pengertian Probabilitas atau peluang: Merupakan ukuran numeric tentang seberapa sering peristiwa itu akan terjadi. Semakin besar nilai probabilitas menyatakan bahwa peristiwa itu akan sering terjadi.

Himpunan Beberapa komponen yang berhubungan : Eksperimen Proses pengumpulan data dari sebuah fenomena yang memperlihatkan variasi pada hasilnya. Ruang sampel Kumpulan dari seluruh kemungkinan hasil yang didapatkan dari suatu eksperimen, dilambangkan dengan S. Peristiwa/Event/Kejadian Kumpulan hasil-hasil dasar yang digolongkan oleh suatu ciri tertentu.

Probabilitas beberapa peristiwa PERISTIWA SALING LEPAS (MUTUALLY EXCLUSIVE) Dua buah peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas apabila kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Jika peristiwa A dan B saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah: P (A U B) = P (A) + P (B) Jika peristiwa A, B, dan C saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah: P ( A U B U C ) = P (A) + P (B) + P (C)

Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peristiwa- peristiwanya adalah : Contoh: Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peristiwa- peristiwanya adalah : A = peristiwa mata dadu 2 muncul B = mata dadu lebih dari 4 muncul Tentukan probabilitasnya dari kejadian P (A U B): P (A) = 1 dan P (B) = 2 6 6 P ( A U B ) = 1 + 2 = 3 6 6 6

PERISTIWA TIDAK SALING LEPAS (NON-MUTUALLY EXCLUSIVE) Dua buah peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling lepas apabila kedua atau lebih peristiwa itu dapat terjadi secara bersamaan. Jika peristiwa A dan B tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah : P (AUB) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Jika peristiwa A, B, dan C tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah: P (A U B U C) = P(A)+P(B)+P(C) – P(A∩B)–P(A∩C)–P(B∩C) + P(A∩B∩C)

Contoh: Setumpuk kartu bridge yang akan diambil salah satu kartu. Berapa probabilitasnya dalam sekali pengambilan tersebut akan diperoleh kartu Ace atau kartu Diamont ? Dimisalkan : A = kartu Ace D = kartu Diamont Maka P(AUD) = P(A) + P(D) – P(A∩D) = 4 + 4 - 1 52 52 52 = 7 52

PERISTIWA INDEPENDENT (BEBAS) Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling bebas apabila terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang lainnya. Untuk dua peristiwa A dan B saling bebas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut : P (AB) = P(A) x P(B) Untuk tiga peristiwa A, B, dan C saling bebas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut : P (ABC) = P(A) x P(B) x P(C)

a. tiga kali pengambilan terdapat rusak 1 Contoh: Dari 100 barang yang diperiksa terdapat 30 barang rusak. Berapa probabilitasnya dalam : a. tiga kali pengambilan terdapat rusak 1 b. empat kali pengambilan terdapat bagus 1 Dimisalkan A = bagus B = rusak Maka P(A) = 0,70 P(B) = 0,30 = P(A∩A∩B) U P(A∩B∩A) U P(B∩A∩A) = 0,70 x 0,70 x 0,30 atau 0,70 x 0,30 x 0,70 atau 0,30 x 0,70 x 0,70 = 0,147 + 0,147 + 0,147 = 0,441

PERISTIWA DEPENDENT (BERSYARAT) Terjadi jika peristiwa yang satu mempengaruhi/merupakan syarat terjadinya peristiwa yang lain. Probabilitas bahwa B akan terjadi bila diketahui bahwa A telah terjadi ditulis sbb : P(B/A) Dengan demikian probabilitas bahwa A dan B akan terjadi dirumuskan sbb : P(A∩B) = P(A) x P(B/A) Sedang probabilitas A akan terjadi jika diketahui bahwa B telah terjadi ditulis sbb : P (A/B) Maka probabilitas B dan A akan terjadi dirumuskan sbb : P (A∩B) = P(B) x P(A/B)

P(A1 ∩A2) = P(A1) x P(A2/A1) = 4/6 X 3/8 = 1/4 Contoh: Dua buah tas berisi sejumlah bola. Tas peertama berisi 4 bola putih dan 2 bola hitam. Tas kedua berisi 3 bola putih dan 5 bola hitam. Jika sebuah bola diambil dari masing-masing tas tersebut, hitunglah probabilitasnya bahwa : a. Keduanya bola putih b. Keduanya bola hitam Misalnya A1 menunjukkan peristiwa terambilnya bola putih dari tas pertama dan A2 menunjukkan peristiwa terambilnya bola putih di tas kedua, maka : P(A1 ∩A2) = P(A1) x P(A2/A1) = 4/6 X 3/8 = 1/4 Misalnya A1 menunjukkan peristiwa tidak terambilnya bola putih dari tas pertama (berarti terambilnya bola hitam) dan A2 menunjukkan peristiwa tidak terambilnya bola putih dari tas kedua (berarti terambilnya bola hitam) maka : P(A1∩A2) = P(A1) x P(A2/A1) = 2/6 x 5/8 = 10/48 = 5/24 Probabilitas yang dimaksud adalah : P(A1∩B2) U P(B1∩A2)

Harapan Matematis Harapan matematis atau nilai harapan adalah jumlah semua hasil perkalian antara nilai variabel acak dengan probabilitas yang bersesuaian dengan nilai tersebut. Jika P1, P2…..Pk merupakan probabilitas terjadinya peristiwa maka E1, E2 …….Ek dan andaikan V1, V2…….Vk adalah nilai yang diperoleh jika masing-masing peristiwa diatas terjadi, maka harapan matematis untuk memperoleh sejumlah nilai adalah : E(V) = P1V1 + P2V2 + ………PkVk

Contoh: Dalam suatu permainan berhadiah, pihak penyelenggara akan membayar Rp. 180.000,- apabila pemain mendapat kartu Ace, dan akan membayar Rp. 100.000,- apabila mendapatkan kartu King dari setumpuk kartu bridge yang berisi 52 kartu. Bila tidak mendapatkan kartu ace dan kartu King pemain harus membayar Rp. 45.000,- . berapa harapan matematis pemain tersebut ? E (V) = Rp. 180.000 ( 4/52) + 100.000 (4/52) – 45.000 (44/52) = Rp. 16.538,46 = Rp. 16.500,-

Distribusi Teoritis Kunci aplikasi probabilitas dalam statistik adalah memperkirakan terjadinya peluang/probabilitas yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa tersebut dalam beberapa keadaan. Jika kita mengetahui keseluruhan probabilitas dari kemungkinan outcome yang terjadi, seluruh probabilitas kejadian tersebut akan membentuk suatu distribusi probabilitas.

Macam-macam Distribusi Teoritis 1. Distribusi Binomial (Bernaulli) Penemu Distribusi Binomial adalah James Bernaulli sehingga dikenal sebagai Distribusi Bernaulli. Menggambarkan fenomena dengan dua hasil atau outcome. Contoh: peluang sukses dan gagal, sehat dan sakit.

1. Jumlah trial merupakan bilangan bulat. Syarat-syarat distribusi binomial yaitu: 1. Jumlah trial merupakan bilangan bulat. Contoh melambungkan coin 2 kali, tidak mungkin 2 ½ kali. 2. Setiap eksperimen mempunyai dua outcome (hasil). Contoh:sukses/gagal,laki/perempuan,sehat/sakit,setuju/tidak setuju. 3. Peluang sukses sama setiap eksperimen. Contoh: Jika pada lambungan pertama peluang keluar mata H/sukses adalah ½, pada lambungan seterusnya juga ½. Jika sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima, maka dikatakan peluang sukses adalah1/6, sedangkan peluang gagal adalah 5/6.Untuk itu peluang sukses dilambangkan p, sedangkan peluang gagal adalah (1-p) atau biasa juga dilambangkan q, di mana q = 1-p.

Contoh: Simbol peristiwa Binomial adalah b (x,n,p) b=binomial x=banyaknya sukses yang diinginkan (bilangan random) n= Jumlah trial p= peluang sukses dalam satu kali trial. Dadu dilemparkan 5 kali, diharapkan keluar mata 6 dua kali, maka kejadian ini dapat ditulis b(2,5,1/6)  x=2, n=5, p=1/6

2. Distribusi Poisson Dalam mempelajari distribusi Binomial kita dihadapkan pada probabilitas variabel random diskrit (bilangan bulat) yang jumlah trial nya kecil (daftar binomial), sedangkan jika dihadapkan pada suatu kejadian dengan p <<< dan menyangkut kejadian yang luas n >>> maka digunakan distribusi Poisson. Distribusi Poisson dipakai untuk menentukan peluang suatu kejadian yang jarang terjadi, tetapi mengenai populasi yang luas atau area yang luas dan juga berhubungan dengan waktu.

Contoh: Diketahui probabilitas untuk terjadi shock pada saat imunisasi dengan vaksinasi meningitis adalah 0,0005. Kalau di suatu kota jumlah orang yang dilakukan vaksinasi sebanyak 4000. Hitunglah peluang tepat tiga orang akan terjadi shock. Penyelesaian: µ = λ = n.p = 4000 x 0,0005 = 2 p(x=3) = 23 x 2,71828-2 = 0,1804 3 x 2x 1

3. Distribusi Normal (Gauss) Pada kasus dimana n cukup besar dan p tidak terlalu kecil (tidak mendekati 0,….,1) dilakukan pendekatan memakai distribusi Normal (Gauss)

Contoh: Dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang berumur 40 – 60 tahun didapatkan rata- rata kadar kolesterol mereka 215 mg % dan simpangan baku Sd = 45 mg %. Hitunglah peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya: a. > 250 mg % b. < 200 mg % Nilai x ditransformasikan ke nilai z. Di dalam tabel nilai z berada pada kolom paling kiri dan baris paling atas. Ambillah nilai 2 ini tiga digit saja. Nanti 2 digit ada di kolom dan digit ketiga ada di baris. a. Z = 250 -215 = 0,76 45 0,76 = 0,7 + 0.06 (Lihat tabel) = 0,7 dilihat pada kolom ; 0,06 pada baris  lihat lampiran tabel III didapat nilai 0,2764, ini adalah luas area antara 215 s.d 250.  yang ditanyakan adalah p (x > 250 mg%), jadi untuk mendapatkan area > 250 mg% adalah 0,5 – 0,2764 = 0,2236 b. P (x < 200 mg%) Z = 200 -215 = 0,33 Tabel 0,1297 Jadi P (x < 200 mg%) = 0,5 – 0,1297 = 0,3703